الف – تعریف مسئله و فرضیات : تعریف1: خانواده شمارای را یک قاب برای گویند هرگاه ثابتهایی مانند وجود داشته باشد بطوریکه (1) اعداد را کرانهای قاب گویند. که این کرانها منحصربفرد نیستند. اگر آنگاه قاب را قاب تنگ و اگر آنرا قاب تنگ پارسوال نامند. اگر در (1) فقط نامساوی سمت راست به ازای هر برقرار باشد آنگاه یک دنباله بسل نامیده می شود. تعریف 2. یک g- قاب برای نسبت به نامیده می شود هرگاه ثابتهایی مانند وجود داشته باشند بطوریکه (2) در حالت خاص اگر آنگاه را یک g- قاب تنگ و اگر آنگاه را یک g-قاب پارسوال گوییم. اگر در (2) فقط نامساوی سمت راست به ازای هر برقرارباشد آنگاه را یک خانواده g- بسل می نامیم. که زیر مجموعه حداکثر شمارا از اعداد طبیعی است.

این پایان نامه براساس مقاله های {15} و {26} نوشته شده و در سه فصل تنظیم شده است فصل اول شامل تعاریف و مقدماتی است که در فصل های بعدی از آنها استفاده خواهد شد. در فصل دوم با استفاده از عملگر شبه معکوس شرایط معادل با قاب باناخ بودن در یک فضای باناخ را بدست می آوریم. همچنین پایداری تحت آشفتگی را برای x_d - قاب ها در فضای باناخ x بررسی می کنیم. در فصل سوم دنباله بسل (p,y)- عملگر و قاب های (p,y)- عملگر و پایه های ریز (p,y)- عملگر را در فضاهای باناخ معرفی می کنیم. نشان می دهیم مجموعه دنباله های بسل (p,y)- عملگر برای فضای باناخ x یک فضای باناخ است و بین این فضا و فضای ((b(x,l^p(y d یک ایزومرفیسم ایزومتری وجود دارد. همچنین قاب (p,y)- عملگر مستقل را برای x معرفی کرده و نشان می دهیم که قاب (p,y)- عملگر مستقل یک پایه ریز(p,y)- عملگر برای x است.

در طول این پایان نامه پایداری نا برابری های مربعی پیکسیدر شده دو نوع تابع را ثابت می کنیم .

در این پایان نامه، ‏برخی از مشخص سازی ها را برای دوگان ‎g-قابها ارائه می دهیم . ‏علاوه بر این ثابت می کنیم که اگر دو g-قاب به هم نزدیک باشند می توان دوگانهایی برای آنها یافت که آنها نیز به هم نزدیک باشند . همچنین شرایطی را برای دنباله ی {w_i} فراهم می کنیم تا آن دنباله ‏، r- دوگان یک قاب مانند {f_i} ‏باشد . نهایتا دنباله ‏های r- دوگان ‎‎‎‎‎‎‎در فضای هیلبرت‎‎‏را مشخص سازی می کنیم.

در این پایان نامه، با فرض اینکه ‎ v‎ یک *c - مدول هیلبرت تولید شده ی شمارا روی یک ‎$ c^{ast} $,‎ـ جبر ‎$ a $‎ است، ثابت خواهیم کرد که دنباله ی ‎$ lbrace f_{i}:iin i brace subseteq v $‎ یک قاب استاندارد برای ‎$ v $‎ است اگر و تنها اگر سری ‎$ sum_{iin i} langle x,f_{i} angle langle f_{i},x angle $‎ برای هر ‎$ xin v $‎ همگرا (در نرم) باشد و ثابت های ‎$d>0$‎ و ‎$c $‎ موجود باشند به طوری که برای هر ‎$ xin v $‎ نابرابری زیر برقرار باشد ‎$$ cvert xvert^{2}leqslant igvert sum_{iin i}langle x,f_{i} angle langle f_{i},x angle igvert leqslant dvert xvert^{2}‎. ‎$$‎ همچنین ثابت خواهد شد که عملگرهای الحاقی پذیر پوشا یک قاب استاندارد را به یک قاب استاندارد تصویر می کنند. در خاتمه، رده ای از قاب ها برای ‎$ c^{ast} $,‎ـ مدول های هیلبرت تولید شده ی شمارا روی ‎$ c^{ast} $,‎ـ جبر همه ی عملگرهای فشرده روی فضاهای هیلبرت، مورد بحث قرار خواهد گرفت. ‎

در این پایان نامه، خاصیت r -دوگانی را در فضاهای باناخ مورد مطالعه قرار می دهیم و چند مشخص سازی از دنباله های r-دوگان در فضاهای باناخ را بدست می آوریم. از طرف دیگر در ارتباط با خاصیت r- دوگانی، فضای باناخی را معرفی می کنیم که برای آن فضا، پایه p- ریس با کرانهای بالا و پایین برابر یک، وجود نداشته باشد. نهایتا نتایجی را درباره ی پایداری g-باناخ قابها تحت آشفتگی بدست می آوریم.