در این رساله به بررسی خواص متناهی بودن مدولهای کوهمولوژی مو ضعی می پردازیم. دو مقوله ی مهم مد نظر ما یکی هم متناهی بودن این مدولها و دیگری متناهی بودن مجموعه ی ایده آلهای اول وابسته ی این مدولهاست. از نقطه نظر هم متناهی بودن این مدولها ثابت کرده ایم که اگرi ایده آلی از حلقه ی نو تری r و m یک -r مدول با تولید متناهی باشد بقسمی که dim(m/im)=1 آنگاه تمامی مدولهای کوهمولوژی m نسبت به ایده آل i ، -i هم متناهی هستند که این نتیجه تمامی مطالب قبلی را تعمیم میدهد. بعلاوه از نقطه نظر متناهی بودن مجموعه ی ایده آلهای اول مدولهای کو همولوژی موضعی ، ثابت کرده ایم که اگرi ایده آلی از حلقه ی موضعی و نو تری r و m یک -r مدول با تولید متناهی باشد بقسمی که dim(m/im)=2 آنگاه تمامی مجموعه ی ایده آلهای اول وابسته ی تمامی مدولهای کوهمولوژی m نسبت به ایده آل i متناهی هستند . در بخش دیگری از این رساله برخی شرایط جزئی معادل برای متناهی مولد بودن مدولهای کو همولوژی مو ضعی نسبت به ایده آل ماکزیمال یک حلقه ی مو ضعی و نوتری ارائی می دهیم . در بخش دیگری از رساله به اثبات نا متناهی بودن مجموعه ی ایده آلهای اول وابسته ی دوگان ماتلیس مدولهای کوهمولوژی مو ضعی نسبت به بعضی از ایده آلهای یک حلقه ی موضعی و نوتری می پردازیم. در بخش پایانی رساله کرانهای بالا و پایینی برای رتبه ی حسابی ایده آلهای یک حلقه ی نوتری ارائه می دهیم.

فرض کنیم (m,r) یک حلقه جابجایی موضعی (نوتری) و m یک r- مدول با تولید متناهی با بعد پروژکتیو متناهی n باشد . فرض کنیم n یک r– مدول دلخواه و a یک ایده آل r باشد که با s عضو تولید می شود. ابتدا مفهوم ایده آل های اول هم وابسته را بعنوان دوگان ایده آل های اول وابسته معرفی و سپس یک r –همومورفیسم پوشا از مدول کوهمولوژی موضعی معمولی به -rمدول کوهمولوژی موضعی تعمیم یافتهh_a^(n+s ) (m,n) ، که در آن m,np n- امین سی زی جی یک تحلیل پروژکتیو m است، بیان می کنیم. با استفاده از این اپی مورفیسم نتایجی در مورد ایده آل های اول چسبیده، ایده آل های اول هم وابسته، اعداد بتی و خواص آرتینی بودن مدول های کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته ثابت می کنیم.

در مقاله ای فوکز، هینزر و البردینگ برای ایده آل های یک حلقه جابجایی، یک تجزیه به صورت اشتراکی از مولفه های ایزوله اولیه را بدست آورده اند. سپس فوکز و ریس این ایده ها را به شبکه های ضربی توسیع دادند. هدف از این پایان نامه توجه به این نکته است که در حالت شبکه ای برای ایده آل های یک حلقه جابجایی، تجزیه ارائه شده توسط فوکز و ریس، تجزیه بدست آمده در مقاله فوکز، هینز و البردینگ را نتیجه نمی دهد و دو حالت برای تجزیه فوکز و ریس بدست می آید. در یکی از این حالتها، با در نظر گرفتن خاصیت شبکه ای برای ایده آل های یک حلقه، تجزیه ارائه شده توسط فوکز، هینزر و البردینگ بدست می آید و در حالت دیگر، تجزیه ای که از برخی جهات برتر است نتیجه می شود.

دراین پایان نامه حالت خاصی از مدول های یکدست، انژکتیو و پروژکتیو گرنشتاین را مطالعه می کنیم، که به ترتیب، مدول های یکدست، انژکتیو و پروژکتیو بطور قوی گرنشتاین می نامیم. این سه دسته از مدول ها، ویژگی جدیدی از مدول های قبلی ارائه می دهد و نشان می دهد که شباهتی بین مفهوم مدول های یکدست، انژکتیو و پروژکتیو گرنشتاین و مفهوم مدول های یکدست، انژکتیو و پروژکتیو معمولی وجود دارند. این مدول های جدید به کمک مدول های معمولی معرفی شده ساخته می شود که با مشاهده آنها در روند کلی پایان نامه با خواص و ویژگی های جالبی از این سری مدول ها آشنا خواهیم شد.

فرض کنید m یک مدول متناهی مولد روی حلقه نوتری، جابجایی و یکدارr باشد. اگرr موضعی باشد، نشان داده می شود که m کوهن- مکالی تعمیم یافته است، هرگاه یک ایده الa موجود باشد، به طوریکه همه مدول های کوهمولوژی موضعیm ، نسبت به a با طول متناهی باشند. همچنین نشان داده می شود که اگرr یک عدد صحیحی باشد، به طوریکه(m) ??dim?_r 0?rآنگاه هر عضو ماکسیمال مجموعه غیر تهی {a:? نیست آرتینی h?_a^(i ) (m) طوریکه به باشد داشته وجود i?r} از ایده ال های r ، یک ایده ال اول است و برای هر i?r همه اعداد باس h_q^i (m) متناهی هستند.

در این پایان نامه، خواص زیر از تجزیه های اولیه روی حلقه نوتری ‎$r$‎ مطالعه خواهد شد: ‎egin{description}‎ ‎item[1)]‎ به ازای مدول های متناهی مولد ‎$nsubseteq m$‎ و زیرمجموعه ‎$x=lbrace p_{1}‎, ‎p_{2},ldots‎, ‎p_{r} brace$‎ از ‎$mathrm{ass}(m/n)$‎، یک مولفه ‎$-x$‎اولیه ‎$nsubseteq m$‎ را به صورت مقطع ‎$n=q_{1}cap q_{2}capcdotscap q_{r}$‎ تعریف می کنیم که در آن ‎$ q_{i}$‎ها مولفه های ‎$ p_{i}$-‎اولیه ‎$nsubseteq m$‎ هستند. سپس خاصیت سازگاری تجزیه های اولیه را اثبات کرده و به کمک آن، مولفه های ‎$-x$‎اولیه ماکسیمال ‎$nsubseteq m$‎ را بررسی می کنیم و در نهایت به بررسی مجموعه های باز ‎$mathrm{ass}(m/n)$‎ می پردازیم. ‎item[2)]‎ خاصیت رشد خطی را تعریف کرده و ارتباط آن را با اعداد آرتین-ریس بیان می کنیم. ‎item[3)]‎ خاصیت رشد خطی ‎$mathrm{ext}$‎ و ‎$mathrm{tor}$‎ را اثبات می کنیم، یعنی نشان می دهیم به ازای مدول های با تولید متناهی ‎$n$‎ و ‎$ m$‎، ایدآل های ‎$i_{1}‎, ‎i_{2},ldots‎, ‎i_{t}$‎ از ‎$ r$‎ و هر عدد صحیح نامنفی ‎$ i$‎، یک عدد طبیعی ‎$ k$‎ یافت می شود به طوری که به ازای هر ‎$underline{n}=(n_{1}‎, ‎n_{2},ldots‎, ‎n_{t})inmathbb{n}^{t}$‎ می توان یک تجزیه اولیه از زیرمدول صفر در ‎$mathrm{e}_{underline{n}}=mathrm{ext}_{r}^{i}(n‎, ‎m/i_{1}^{n_{1}} i_{2}^{n_{2}}ldots i_{t}^{n_{t}}m)$‎ ( یا زیرمدول صفر در ‎$mathrm{t}_{underline{n}}=mathrm{tor}_{i}^{r}(n‎, ‎m/i_{1}^{n_{1}} i_{2}^{n_{2}}ldots i_{t}^{n_{t}}m)$)‎ پیدا کرد به طوری که هر مولفه ‎$‎ ‎-p$‎اولیه ‎$ q$‎ از این تجزیه شامل ‎$p^{kvertunderline{n}vert}mathrm{e}_{underline{n}}$‎ (یا ‎$p^{kvertunderline{n}vert}mathrm{t}_{underline{n}}$)‎ باشد، که در آن ‎$vert{underline{n}}vert=n_{1}+n_{2}+cdots+n_{t}$‎. ) به ازای مدول های متناهی مولد n ? m و زیرمجموعه x = {p?, p?, . . . , pr} از ass(m/n)، یک مولفه x-اولیه n ? m را به صورت مقطع n = q??q??· · ·?qr تعریف می کنیم که در آن qiها مولفه های pi-اولیه n ? m

فرض کنیم g گروه متناهی و d درجه کاراکتر تحویل ناپذیر باشد. می دانیم که d مرتبه g را عاد می کند و مرتبه g بزرگتر مساوی توان دو d خواهد بود ثابت می کنیم مرتبه g کوچکتر مساوی e بتوان6 منهای e بتوان4

فرض کنید r یک حلقه ی جابجایی و یکدار باشد. اصل ایده آل اول بیان می کند که اگر f یک خانواده ی آکو یا اوکا از ایده آل های r باشد، آنگاه(max(f?) ? spec(r که در آن f مکمل f است. فرض کنیم f یک خانواده ی نیم فیلتر از ایده آل های r باشد و هر زنجیره غیرخالی در f (با رابطه ی شمول) دارای کران بالایی در f باشد، در این صورت همه ی خواص مذکور در دیاگرام استنباطی زیر معادل هستند: (p?) =? (p?) =? (p?) =? str.ako =? ako ? ? ? str.oka =? oka =? p.i.p فرض کنیم f خانواده ای از ایده آل ها در یک حلقه ی منظم فون نیومن r باشد، بطوری که r ? f. در این صورت هر یک از شرایط (p2) و (p3) معادل با منوئیدال بودن f است.

نوسبکاج لاک?دار طسوت هدش د?لوت یژولوپوت هب تبسن لماک ?عضوم-م?ن هقلح ک? r م?نک ضرف .دشاب دلوم ?هانتم لودم-r ک? m و r لآهد?ا ک? a م?نک ضرف .دشاب .دشاب س?لتام ناگود روتکناف dr (?) = homr (?, e ) و e = ? m?maxr e(r/m) م?نک ضرف ?هانتم د?لوت اب ext j r (r/a,d r (h i a (m ))) هک?روطب دشاب تبثم ح?حص ددع ک? n م?نک ضرف هک م?هد?م ناشن ،j ? 0 ره و t > n ره یارب .تسا homr (r/a,d r (h n a (m )) .تسا ?هانتم v (a) ? coassr (h n a (r)) هعومجم هک م?هد?م ناشن هژ?وب .تسا ?هانتم د?لوت اب

فرض کنید r یک حلقه ی نوتری جابجایی‏،‎ i یک ایده آل از r‎ و m یک‎-rمدول باشد.‎‎‏ در این پایان نامه نشان می دهیم که اگر ‎ mیک-r مدول با تولید متناهی باشد و dim??m/im>1 ? و t?gdepth (i,m)، آنگاه r-مدول ‎?{n| n?h_i^t (m),dim??n?1? } i-هم مینیماکس است و xی در r وجود دارد که rx+i-هم متناهی است. فرض کنید t عدد صحیح نامنفی باشد بطوریکه برای هر i<t، dim??h_i^i (m)?1?. در این صورت نشان می دهیم که اگر r حلقه نیم موضعی و m یک مدول لاسکرین ضعیف باشد، آنگاه برای هر زیرمدول n از h_i^t (m) که dim??n?1? ایده آل های اول وابسته از h_i^t (m)/n متناهی است. در نهایت نشان می دهیم که اگر(r,m) یک حلقه ی موضعی و m یک r-مدول با تولید متناهی باشد و همچنین t یک عدد صحیح نامنفی باشد بطوریکه برای هر i<t، dim??h_i^i (m)?1? و dim??h_i^t (m)>1?، آنگاه رشته منظم x_1 ,…,x_t?i روی m موجود است بطوریکه ?ass?_r h_i^t (m){m}??ass?_r (m/(x_1 ,…,x_t )m){m}. بعلاوه اگر p ??ass?_r (m/(x_1 ,…,x_t )m){m} و dim??r/p>1?، آنگاه ?ass?_r (m/(x_1 ,…,x_t )m){m}??ass?_r h_i^t (m){m}.

فرض کنیم r یک حلقه ی جابجایی و یکدار باشد. در این پایان نامه برای هر r-مدول m، زیر مدول قویاًاول تعریف و نشان داده می شود که زیر مدول های قویاً اول، بیشتر خواص اصلی زیر مدول های اول را دارا می باشند. به ویژه تعمیم قضیه ی ایده آل اصلی کرول به مدول ها توسعه داده می شود.