در این پایان نامه ابتدا یک ضدمشتق را از یک جبرa به یک a- دومدول به صورت یک تابع خطی ?:a?m تعریف می کنیم که برای هر a ,b ? a : ?(ab)= b?(a)+ ?(b)a. همچنین نتاجی در مورد ضدمشتقات به دست می آوریم. آنگاه نشان می دهیم که هر مشتق جردن از جبر همه ی ماتریس های بالامثلثی n×n که آن را با (tn(c نشان می دهیم به یک دومدول آن به صورت مجموعی از یک مشتق و ضد مشتق است. همچنین یک ضدهمریختی را تعریف می کنیم و مثال هایی از آن را می آوریم. آنگاه پس از آنکه جمع تقریبی را تعریف کردیم نشان می دهیم که هر همریختی جردن از (tn(c به جبر b به صورت مجموعی از یک همریختی و یک ضدهمریختی است. اگر فرض کنیم که n?2 و m یک tn- دومدول و tn(c)?m :? یک مشتق جردن باشد آنگاه نشان می دهیم که ? به صورت مجموعی از یک مشتق d و ضدمشتق ? است که در اینجا اثبات با توجه به همریختی ها می باشد.

فرض کنید r یک حلقه ی شرکت پذیر و ? و ? دو خودسانی از حلقه ی r باشند. ما در این پایان نامه نخست به معرفی مشتق، مشتق جردن و (?,?)-مشتق ضربی روی r خواهیم پرداخت و سپس شرایطی را روی حلقه ی r قرار می دهیم که هر و (?,?)-مشتق ضربی روی r جمعی باشد. همچنین نشان می دهیم اگرa یک حلقه ی شرکت پذیر یکدار و m یک a-دو مدول 2-بی تاب باشد، آنگاه هر مشتق جردن از )(m_n^(a به (m_n^(m یک مشتق است.

فرض کنید r یک حلقه 2- بی تاب ، تعویض پذیر و یکدار، a و b دو جبر یکانی و 2- بی تاب روی r، و m یک (a,b)- دو مدول یکانی و 2- بی تاب باشد که هم به عنوان یک a- مدول چپ و هم به عنوان یک b- مدول راست باوفا باشد. فرض کنید tri(a,m,b)=? جبر مثلثی تشکیل شده توسط a،b و m، و d نگاشتی r-خطی از ? به توی خودش باشد. به علاوه، فرض کنید a و b فقط حاوی خودتوانهای بدیهی باشند، و نیز فرض کنید ? و ? خودریختی های ? باشند. در این پایان نامه نشان خواهیم داد که موارد زیر معادل اند: (1)d یک (?,?)-مشتق جردن ? است؛ (2)d یک (?,?)-مشتق جردن سه گانه ی ? است؛ (3)d یک (?,?)-مشتق ? است. سپس تعمیمی از نتایج را ارائه خواهیم داد. به علاوه، عمل خودریختی ها ومشتق های اریب روی جبر مثلثی ? را توصیف خواهیم نمود. در پایان به بررسی مشتق های تعمیم یافته روی حلقه های نیمه اول و 2-بی تاب خواهیم پرداخت و نشان خواهیم داد که هر مشتق جردن تعمیم یافته و نیز هر مشتق جردن سه گانه ی تعمیم یافته روی یک حلقه ی نیم اول 2-بی تاب، یک مشتق تعمیم یافته است، و این پاسخ مثبتی به حدس جینگ و لو در [28] است.

این پایان نامه را با بررسی برخی از خواص حلقه های که رارای عضو همانی چپ اند، شروع می کنیم. بخصوص ساختار ایده آلها و رادیکال جکوبسون این حلقه ها را مشخص شده است. و با استفاده از نتایحبدست امده ساختار ایده آلها و رادیکال حکوبسون حلقه ی ماتریسی بالامثلثی و همچنین ساحتار مشتق این حلقه ماتریسی که حلقه هایی با همانی ضربی زچپ تشکیل شده است ، مشخص شده است و در ادامهساختار ایده آلها و رادیکالهای حلقه ی ماتریسی بالامثلثیکه حلقه ای یکدار است مشخص شده است.همچنین به مشتق جردن و مشتق سه تایی جردن تعمیم یافته روی حلقه های نیمه اول که از مشخصه 2 نیستند، پرداخته شده است.