یک شاخص توپولوژیک کمیت عددی است که به یک گراف نسبت داده می شود و تحت خودریختی های گراف پایا است. در این رساله مقادیری فرینه برای شاخص های توپولوژیک بالابان، پاداماکار-ایوان راسی و هندسی-حسابی به دست آمده اند. به علاوه شاخص توپولوژیک سگد و پاداماکار-ایوان مقایسه و تحت شرایطی روابط بین آن ها را محاسبه کرده ایم. سپس ضمن بررسی شاخص های توپولوژیک فولرن ها، فولرن‎ هایی را که گراف کیلی هستند کاملاً به دست آمده اند. در پایان ضمن آنکه گراف اقلیدسی دسته هایی از فولرن ها را مطالعه کرده و با اثبات قضایایی به درک بهتر این نانو ساختارها پرداخته ایم، شاخص های پاداماکار-ایوان راسی و شاخص سگد دسته ای از فولرن ها را محاسبه کرده ایم.

امروزه نظریه گراف یکی از پربارترین شاخه های ریاضیات و علوم کامپیوتر شده است. دلیل این امر هم کاربرد قابل ملاحظه این شاخه در زمینه های گوناگونی چون علوم نانو، فیزیک، بیولوژی، شیمی، انتقال اطلاعات و به طور کلی بررسی و تجزیه و تحلیل وابستگی اشیاء به یکدیگر، است. شاخص های توپولوژیک گراف ها، در بسیاری از علوم و از جمله ریاضی-شیمی، به طور چشمگیری مورد استفاده قرار می گیرند. از مهم ترین شاخص های توپولوژیک، شاخص زاگرب است که در بسیاری از محاسبات نیز ظاهر می شود و نقش مهمی در این شاخه دارد. این شاخص در یافتن کران هایی برای شاخص های دیگر و کران هایی برای دیگر موارد وابسته به گراف مانند انرژی گراف کمک بسیاری می کند. یکی از چشمگیرترین کاربرد شیمیایی نظریه گراف، رابطه نزدیک مقادیر ویژه گراف و سطوح انرژی اوربیتال ملکولی ‎$pi$-‎الکترون ها است. انرژی ابتدا در شیمی کوانتمی مورد مطالعه قرار گرفته است. در سال ‎1970‎ ایوان گوتمن ارتباط بین فرمول انتگرال کولسون، برای محاسبه انرژی و مقادیر ویژه گراف را یافت و با استفاده از آن، انرژی یک گراف را در حالت کلی تعریف نمود. شاخص زاگرب نیز در سال ‎1972‎ توسط گوتمن و تریناژستیک معرفی شد. این پایان نامه به صورت زیر ساماندهی شده است: در فصل اول مفاهیم مقدماتی و قضایایی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرند بیان شده است. فصل دوم، شامل چهار بخش است. در بخش اول، پایاهای جمعی-رأسی و جمعی-یالی یک گراف را معرفی کرده و مثال ها و نتایجی در رابطه با آن ارائه نموده ایم. در بخش دوم، روش محاسبه این پایاها، با استفاده از عمل گروه خودریختی گراف روی رأس ها و یال ها داده شده است. در بخش سوم، دنباله درجات گراف و شاخص زاگرب را با توجه به مرجع ‎[8]‎ مورد بررسی قرار داده و کران هایی برای شاخص زاگرب آورده شده است. پس از آن اهمیت شاخص زاگرب را طی چند قضیه بیان کرده و در آخر این شاخص را برای تعدادی از اعمال گراف محاسبه نموده ایم. در بخش چهارم، طی دو قضیه که از مرجع ‎[7]‎ استفاده شده است، مقادیر فرینه برای شاخص زاگرب گراف های دوبخشی محاسبه شده است. در فصل سوم پس از ارائه تاریخچه ای از انرژی گراف ها و گراف های ملکولی، که یکی از مهمترین کمیت های وابسته به گراف است، به تعریف و بررسی آن پرداخته ایم. در بخش سوم این فصل در پی یافتن کرانی مناسب برای انرژی گراف ها، خصوصاً گراف های دوبخشی هستیم. با معرفی ‎$ k $-‎درجات رئوس یک گراف، دنباله ‎$ (s_k)_{k>0} $‎ داده شده، که کران بالای انرژی را که در ‎[9‎ و ‎11]‎ معرفی شده، بهبود می بخشد. در انتهای این بخش از مرجع ‎[10]‎ برای یافتن کران پایین برای گراف ها استفاده کرده ایم. در فصل چهارم، ضمن معرفی گراف ‎$ p_m imes c_n $‎، ماتریس مجاورت این گراف را در حالت کلی به دست آورده ایم. در ادامه نانولوله ها را به عنوان زیرگرافی از این گراف معرفی کرده و چندجمله ای هوسویای آن ها را به دست آورده ایم. در این فصل، شاخص زاگرب و کران های انرژی برحسب شاخص زاگرب این نانولوله ها داده شده است. نتایج این فصل در مراجع ‎[16-12]‎ به چاپ رسیده است. در فصل پنج، با معرفی دندریمرها و نانوستاره ها، گروه خودریختی آن ها را محاسبه کرده و نشان داده ایم که دندریمرها مکعب جزئی هستند. در این فصل به محاسبه شاخص های توپولوژیک نانوستاره ها با استفاده از قضایای معرفی شده در بخش دو از فصل دوم، پرداخته ایم. از جمله می توان به شاخص ها وینر، بالابان، پاداماکار-ایوان، زاگرب و هندسی-حسابی اشاره کرد. برای مطالب این فصل از مراجع ‎[24-17]‎ استفاده شده است.

در این پایان نامه هدف معرفی شاخص جدیدی به نام نارومی-کاتایاما و ارائه ی کاربردهای آن می باشد. یکی از مهم ترین آن ها یافتن کران هایی برای پیچیدگی در گراف است. سپس کران هایی برای این شاخص با استفاده از مفهوم پوشش در گراف می یابیم. همچنین مقادیر فرینه ی این شاخص را در کلاس های مختلفی از گراف ها همچون گراف های همبند، درخت ها و درخت های شیمیایی بیان کرده و مقدار این شاخص را در گراف های مولکولی فولرن ها، نانولوله ها و نانوستاره ها محاسبه می کنیم.