با داشتن اطلاعات کافی از مباحث هندسه فینسلروار می توان، یک رهیافت هندسی جدید و پیشرفته را در جستجوی تعمیم معادلات نظریه کیهان شناسی مرسوم، در پیش گرفت. برای الگو دادن به فیزیک جهان در راستای این تعمیم، همانند حالت ریمانی می پذیریم که جهان همگن وهمسانگرد است. یک برداشت و نتیجه گیری ساده از حالت فینسلروار معادلات کیهان شناسی، این است که این نوع تعمیم به حالت فینسلروار، توصیف بهتری از پارامتر کاهش سرعت بدون فرض فشار منفی می دهد. در چارچوب این هندسه پدیده ای که صرفاً این امکان را فراهم می سازد حضور پارامتر فینسلروار g است.

هندسه تماسی به بررسی ساختارهای تماسی روی منیفلدهای هموار می پردازد. در این پژوهش انواع ساختارهای تماسی و رابطه آنها با یکدیگر را بررسی می کنیم. در فصل اول ابتدا مفاهیم مورد نیاز را مطرح نموده و مباحثی از هندسه دیفرانسیل (نظیر برگ بندی، شار و جهت پذیری)، نکاتی از توپولوژی دیفرانسیل (نظیر تقاطع و عدد اشتراک) و مفاهیمی از توپولوژی جبری (همچون سادک ها و cw‎مجتمع ) را بیان می کنیم و در پایان این فصل به تعاریف مقدماتی هندسه تماس و نظریه گره اشاره می کنیم. از آنجا که ساختارهای تماسی به دو نوع برپیچنده و محکم تقسیم می شوند، در فصل دوم ساختار تماسی برپیچنده را معرفی نموده و ثابت می کنیم که چگونه با استفاده از پیچش لوتز می توان هر ساختار تماسی را به یک ساختار تماسی برپیچنده تبدیل کرد. سپس قضیه مهم و اساسی الیشبرگ را که به رابطه بین ساختارهای تماسی برپیچنده و توزیعات مسطح دو بعدی می پردازد، مطرح نموده و با استفاده از مفاهیمی همچون برگ بندی مشخصه روی کره ها، برهان این قضیه را ارائه می دهیم. در پایان این فصل، چگونگی دستیابی به ساختارهای برپیچنده تماسی را بیان می نماییم وآن را با استفاده از لم حذف اثبات می کنیم. در فصل سوم، ابتدا به معرفی ساختار تماسی محکم پرداخته و برای درک بهتر آن،مثال هایی را ارائه می دهیم. سپس این ساختار را در فضای سه بعدی مطرح می نماییم. در پایان منیفلد سفت و برگ بندی سفت را تعریف کرده و با اثبات قضیه اصلی، رابطه بین این نوع ساختار تماسی و برگ بندی سفت را بیان می کنیم.

در این پایان نامه، الگوریتم های فراگیری منیفلد مورد مطالعه قرار می گیرند. با استفاده از این الگوریتم ها پارامتر های ذاتی سیستم که عامل اصلی تمایز دادگان از یکدیگرند، شناسایی شده و کل مجموعه بر روی منیفلدی که بیان کننده ارتباط واقعی پارامتر هاست، قرار می گیرد. بدین ترتیب ارتباط بین دادگان در فضایی با بعد کمتر بیان می شود. یکی از کاربردهای موفق این الگوریتم ها در تحلیل تصاویر است. با این دیدگاه فرض می شود هر تصویر داده ای در بعد بالا بوده که هر پیکسل یک بعد از فضا را اشغال می کند. در صورتی که این مجموعه تصاویر از شیئی خاص اخذ شده باشند که بر اساس پارامتر های کمی با یکدیگر تفاوت دارند؛ می توان با استفاده از ابزارهای مناسب فراگیری منیفلد، این مجموعه تصاویر را در فضایی با بعد کمتر به گونه ای نگاشت کرد که ارتباط ذاتی پارامترها حفظ شود. در این پایان نامه چگونگی به کارگیری این ابزار برای تحلیل مجموعه تصاویر ام آر آی مغز مورد بررسی قرار می گیرد.

فصل اول این پژوهش به نظریه ی کلی فرکتال ها و هندسه ی آن ها مرتبط است. هدف اصلی آن فراهم آوردن زمینه ای در ریاضیات مرتبط با فرکتال ها و ابعاد است در حدی که برای کاربران این موضوع، در ریاضی و دیگر علوم قابل درک باشد. فرکتال علم جدیدی در ریاضیات است که به عنوان زیر شاخه ای از آنالیز مختلط برای رفع ضعف های هندسه اقلیدسی و بیان و مدل سازی از پدیده های طبیعی، بسط و گسترش یافته است و روش های جدیدی را طرح می کند تا پیچیدگی بین اجزای طبیعی را با روابط ریاضی و قوانین هندسه تبیین کند. مجموعه ها و توابعی که به اندازه ی کافی هموار و منظم نیستند و در همه جا پیوسته اما در همه جا مشتق پذیر نبوده به عنوان فرکتال در نظر گرفته می شوند و همواره دارای بعد کسری می باشند. همانطور که می دانید وجود شکستگی ها و بی نظمی ها در سطح درزه باعث می شود آن را به عنوان فرکتال در نظر بگیریم سپس با بیان ارتباط میان بعد فرکتالی و ضریب زبری درزه که این ضریب هر سه پارامتر زاویه ی اصطکاک، اتساع و مقاومت برشی حداکثر را تحت تأثیر خود قرار می دهد، به اهمیت کاربرد این ابعاد پی برده و بدین وسیله از دقت بالای ریاضیات برای کاهش میزان خطا در محاسبات و همچنین صرفه جویی در زمان و هزینه استفاده خواهیم نمود. در فصل دو و سه این پژوهش پس از معرفی مقاومت برشی ناپیوستگی ها و عوامل موثر بر آن، مطالبی درباره ی پردازش تصویر دیجیتالی بیان شده است. در ادامه با استفاده از کدی که در $ mathematica $ تهیه شده، می توان عکس درزه ی مورد نظر را در کمترین زمان پردازش کرده و بعد فرکتالی آن را نیز مجدداً توسط کدی که در $ matlab $ با استفاده از تکنیک جدایش کمانی تهیه شده، محاسبه نمود. در فصل پایانی پس از معرفی روش های محاسبه ی ابعاد فرکتالی در رویه ها، به تعمیم این ابعاد در حجم ها پرداخته که روال محاسباتی این بخش نیز در نرم افزار $ matlab $ پیاده سازی و اجرا شده است.

در این رساله، ‏برخی‎ خواص مشتق روی حلقه ها و $(f,g)$-مشتق دوتایی متقارن روی گاما‎حلقه ها مورد بررسی قرار گرفته است.‎ مفهوم مشتق روی ابرحلقه های ضربی و کراسنر به عنوان تعمیمی از مفهوم مشتق روی حلقه ها معرفی و برخی خواص آن مورد مطالعه قرار گرفته است. در این میان‏، ابرحلقه های (ضربی و کراسنر) دیفرانسیل معرفی و برخی خواص آن ها مورد بررسی قرار گرفته است. سپس، به تعمیم مفهوم مشتق پرداخته شده و بدین ترتیب (f,g)-مشتق روی ابرحلقه های ضربی و کراسنر معرفی شده است. همچنین، به معرفی و تجزیه و تحلیل برخی خواص مشتق روی گاما (نیم )‎ ابرحلقه ها پرداخته شده است. در پایان، مشتق، ‎-$f$‎مشتق و ‎-$(f,g)$‎مشتق روی برخی از جبرهای منطقی از جمله مشبکه ها، ‎-$bci bck$‎جبرها، ‎-$b$‎جبرها و ‎$mv$‎-جبرها معرفی و برخی خواص آن ها مورد مطالعه قرار گرفته است‎.

در این پایان نامه، به بررسی معادلات دیفرانسیل تصادفی بر منیفلدها می پردازیم. سپس دو صورت عمده از معادلات دیفرانسیل تصادفی به فرم ایتو واستراتنویچ برمنیفلد را ارائه می کنیم. همچنین فیلتر کالمن-باسی که به برآورد بهینه از سیستم های خطی با نوفه گوسی می پردازد، را معرفی می کنیم. همچنین با توجه به نظریه مورد نیاز پیرامون بیان فیلتر کالمن-باسی، هندسه آن را مورد مطالعه قرارمی دهیم. مسئله برآورد بهینه جریان در مدار rl را نیز با استفاده از فیلتر کالمن-باسی حل می کنیم. سپس به کاربردهای قابل توجه این فیلتر در سیگنال های صوتی خواهیم پرداخت. در آخر الگوریتم فیلتر کالمن-باسی را با فیلتر rls برای یک سیگنال گفتار تمیز، شبیه سازی و مقایسه می کنیم.

صرف نظر از جزئیات، منیفلدها به طور موضعی شبیه به یک فضای اقلیدسی هستند. در حالی که اربیفلدها با مدل شدن روی فضای مدارهای عمل یک گروه متناهی از دیفئومورفیسم های یک منیفلد همبند، منیفلدها را تعمیم می دهند. مفهوم اربیفلد، نخستین بار در دهه پنجاه میلادی توسط ساتاکه با نام v-منیفلدها معرفی شد. اما در حدود سال 1970 ترستن با این مفهوم را به عنوان ابزاری برای مطالعه توپولوژی منیفلدهای سه بعدی، به طور مستقل ابداع و اصطلاح اربیفلد را برای آن برگزید. نتایج اولیه در این نظریه، برانگیخته از تعمیم مفاهیم و قضایا از منیفلدها به اربیفلدها، بیان شباهت ها و تفاوت های آنها و یافتن پایاها است. مشکلی که وجود دارد، آن است که بعضی از مفاهیم در رسته منیفلدها، تعمیم منحصربفرد و صحیحی به رسته اربیفلدها ندارند. با این وجود، بسیاری از نتایج پس از پیکربندی دوباره، قابل گسترش هستند.اربیفلدها در تقاطع زمینه های مختلف ریاضیات و حتی علوم دیگر نظیر فیزیک قرار دارند. از این رو به فراخور کاربرد، روش های گوناگونی برای ارائه اربیفلدها وجود دارد. اربیفلدها می توانند متناظر با کلاس های خاصی از گروه واره های لی در نظر گرفته شوند. شیوه دیگر، بیان اربیفلدها به صورت استک ها است. اما روشی که در این پایان نامه اتخاذ می شود، به مانند منیفلدها، استفاده از کارت ها و اطلس ها است. به نظر می رسد، این روشبرای بیان دیدگاه های هندسه ریمانی منیفلدها در اربیفلدها مناسب تر است. در فصل اول، برخی تعاریف و مفاهیم مورد نیاز درباره اربیفلدهای ریمانی مانند فضاهای طولی،منیفلدهای ریمانی، انحنای توپونوگوف 5 و در نهایت عمل گروه های متناهی از دیفئومورفیسم های یک منیفلد همبند مورد بررسی قرار می گیرد. فصل دوم، به مطالعه اربیفلدها اختصاصدارد. اربیفلدها شاید به اندازه منیفلدها همگن نباشند. اما یکی از ویژگی های خاص آنها داشتن نقاط تکین است؛ یک مجموعه بسته و هیچ جا چگال که وجود آن یک اربیفلد را از منیفلدها متمایز می کند. در واقع منیفلدها، اربیفلدهای بدون نقاط تکین هستند. حتی ممکن است فضای توپولوژیک زمینه یک اربیفلد، منیفلد نباشد. مانند هر کاتگوری دیگر، ریخت ها تحت عنوان نگاشت اربیفلد معرفی می گردند. با بحث درباره تارهای مماس اربیفلدها که برخلاف منیفلدها دیگر فضای برداری نیستند، فصل خاتمه می یابد. سرانجام در فصل سوم، ساختار اربیفلد ریمانی ارائه شده و به پیاده سازی ایده های هندسه ریمانی بر روی آن پرداخته می شود. پس از تعریف ژئودزیک ها و نگاشت نمایی اربیفلدها، ساختار طولی اربیفلدها مورد بحث قرار می گیرد. نشان داده می شود، یک قطعه ژئودزیک با نقاط انتهایی منظم (ناتکین) هیچ گاه از نقاط تکین عبور نمی کند. همچنین، قضیه مقایسه نسبت حجمی بیشاپ برای اربیفلدهای با انحنای ریچی از پایین کران دار، قابل توسیع است. تعمیمی از قضیه قطر بیشینه چنگ برای اربیفلدها ثابت می شود. به خصوص، یک رده بندی از اربیفلدهای ریمانی خوب و کامل با قطر بیشینه و انحنای ریچی از پایین کران دار ارائه می شود. در آخرین مبحث، نسخه ای از قضیه شکافتگی برای اربیفلدها مطرح و اثبات می گردد.

در این پایان نامه، جبر کلیفورد را به صورت جبر شرکت پذیر به طور آزاد تولید شده توسط یک ، تحت رابطه v فضای ضرب داخلی vw + wv = -2<v,w> , v,w in v به همراه کاربرد جبر کلیفورد روی کره ها مورد مطالعه قرار می دهیم. در واقع، پس از مطالعه مبانی فضای ضرب داخلی و جبر به بررسی ساختار جبر کلیفورد، مدول کلیفورد، ضرب تانسوری مدول های کلیفورد و تعمیم برخی از قضایا نظیر قضیه هاری بال به هندسه کلیفورد، کاربرد جبر کلیفورد روی کره ها بیان می گردد.