در سال های اخیر هندسه فینسلر نه تنها به عنوان موضوعی مدرن که شامل قضایا و تکنیک های متعدد می باشد مطرح است، بلکه بعنوان موضوعی مهم در حل مسایل ترمودینامیک، اپتیک، اکولوژی، بیولوژی و ... پیشرفت های چشم گیری داشته است. در این پایان نامه متریک های ریشه m-ام تعمیم یافته، روی یک منیفلد n-بعدی m را مورد بررسی قرار می دهیم که خواص جبری خاصی دارند. در مقاله(on einstein m-th root metrics)، نویسندگان خواص جبری متریک های ریشه m-ام غیر ریمانی را بررسی کردند. هدف بدست آوردن شرطی برای متریک ریشه m-ام اینشتین غیر ریمانی fبود که تحت آن شرط، f ریچی-مسطح باشد و نیز ثابت کرد که اگر fیک متریک اینشتین ضعیف غیر ریمانی باشد آنگاه 0ric=. نشان می دهیم که نتایج نویسندگان در مقاله (on einstein m-th root metrics) برای مترهای ریشه m-ام تعمیم یافته نیز برقرار می باشد.

در این پژوهش مسئله سازگاری بین یک همبندی غیر خطی وبعضی ساختارهای هندسی دیگر روی جبرواره های لی و امتداد آن روی تصویر کلاف برداری را مطالعه و بررسی می کنیم. نشان می دهیم همبندی غیر خطی استاندارد تولید شده با لاگرانژ منظم روی یک جبرواره لی یک همبند منحصربفرد است، و با ساختار سیمپلکتیک ( ساختار اتصالی ) محاسبه پذیر است.

دردزینسکی و روتر [2] در سال 1977، خمینه های متقارن همدیس را بررسی کردند، همچنین کوان و بک[11] در سال 2004، خمینه های بازگشتی همدیس را مورد مطالعه قرار دادند. یانو و ساواکی [13] در سال 1968، اولین بار کشان خمیدگی شبه همدیس را معرفی کردند که شامل هر دوی کشان خمیدگی همدیس و کشان خمیدگی هم دوری می باشد. w_jkl^m = -(n-2)bc_jkl^m + [a+(n-2)b] c ?_jkl^m در این پایان نامه، ابتدا خمینه های متقارن همدیس و سپس خمینه های متقارن شبه همدیس تعریف و مورد بررسی قرار گرفت و نتایج جالبی بدست آمد.فصل چهارم این پایان نامه شامل سه بخش است که در واقع از دو مقاله تشکیل شده است. در مقاله اول نشان داده شده است که یک خمینه ریمانی بازگشتی همدیس m با همبندی ریمانی ? و همراه با کشان خمیدگی همدیس همساز، متقارن همدیس است. و در مقاله دوم نشان داده شده که یک خمینه ریمانی شبه بازگشتی که دارای کشان خمیدگی شبه همدیس همساز است، متقارن همدیس است.

در این پایان نامه‏، متر راندرز با انحنای ریمان مربعی‏، نظیر متر ریمانی‏، مورد بررسی قرار گرفت که در آن معادلات به دست آمده مترهای راندرز‎‎‎ricci ‎‎-مربعی و ‎‎r-مربعی را مشخص می کنند. به خصوص نشان داده‎‎‎ شده است که مترهای راندرز ‎‎‎‎r‎‎‎-مربعی باید دارای ‎‎‎‎s‎‎‎-انحنای ثابت باشند. در ادامه با معرفی انحنای ویل‎‎‎‎ معادلات مشخص کننده مترهای راندرز ‎‎‎‎w‎‎‎-مربعی‎ یافته شد.

در این پایان نامه با معرفی میدان های برداری همدیس روی یک خمینه ریمانی ،قضیه های موجود را بررسی نموده وبه دلیل اهمیت موضوع ،وجود نکات جدیدوگستردگی مطالب سعی بر این است که پیرامون آن مطالب جدیدی را ارائه نمائیم.

دراین پایان نامه یک کلاس جدیدازمترهای فینسلری را خواهیم ساخت که درواقع یک توسیع ازکلاس مترهای بروالدمی باشند. ماثابت می کنیم که هرمترفینسلری کامل دراین کلاس ،ریمانی است ، هرگاه تانسورکارتان آن کراندارباشد.سپس نشان خواهیم دادکه مترهای داگلاس - ویل شامل این کلاس جدیدازمترهای فینسلری می باشند.

فرض کنیم گراف ‎$g=(v,e)$‎، ‎$ s subseteq v(g)$‎ و ‎$c$‎ یک k-رنگ آمیزی معتبر از رأس های ‎$s$‎ باشد. اگر ‎$c$‎ را بتوان به طور منحصر به فرد به یک k‎-رنگ آمیزی معتبر از ‎$g$‎ گسترش دهیم، دراین صورت ‎$s$‎ را یک مجموعه ی تعیین کننده برای ‎$g$‎ می نامیم. اندازه کوچک ترین مجموعه ی تعیین کننده را عدد تعیین کننده ی ‎$g$‎ نامیده و با نماد ‎$d(g‎, ‎k)$‎ نشان می دهیم. مجموعه تعیین کنندگی برای رنگ آمیزی ابرگراف ها نیز به طور مشابه تعریف می شود. در این رساله مفهوم تعیین کنندگی را برای انواع رنگ آمیزی ها مورد بحث و بررسی قرار می دهیم. فرض کنیم ‎$i$‎ یک مجموعه مستقل ماکسیمم برای گراف ‎$r$-‎منتظم ‎$g$‎ باشد. یک ‎$(r+1)$-‎رنگ آمیزی معتبر ‎$c$‎ را رنگ آمیزی نقره ای نسبت به ‎$i$‎ می نامیم، هرگاه برای هر رأس ‎$v in i$‎، تمامی ‎$(r+1)$‎ رنگ، در همسایگی بسته ‎$v$‎ ظاهر شوند. گراف ‎$g$‎ را نقره ای می نامیم اگر دارای یک رنگ آمیزی نقره ای نسبت به یک مجموعه مستقل ماکسیمم ‎$i$‎ باشد. رنگ آمیزی نقره ای با مفهوم مجموعه تعیین کننده رنگی در ارتباط است و می توان گفت گراف ‎$r$-‎منتظم ‎$g$‎ نقره ای است اگر و فقط اگر عدد تعیین کنندگی رنگی آن با ‎$(r+1)$‎ رنگ برابر باشد با: ‎$d(g,r+1)= |v(g)|‎- ‎alpha(g)$‎. بنابراین این مسأله مطرح شده است که: ‎‎دسته گراف های ‎$r$-‎منتظمی را تعیین کنید که نقره ای باشند‎.‎ برای جواب دادن به این مسأله در فصل ‎ ef{ch‎: ‎silver}‎، گراف های ‎$i$-‎اشتراک بلوکی طرح های اشتاینری ‎$s(2,k,v)$‎، را در نظر گرفته و نشان می دهیم که تحت چه شرایطی این گراف ها نقره ای هستند. منظور از گراف ‎$i$-‎اشتراک بلوکی، گرافی است که رأس های آن بلوک های طرح است و دو رأس آن مجاور هستند اگر و فقط اگر بلوک های متناظر با آن ها دارای دقیقاً ‎$i$‎ عنصر مشترک باشند. از آن جائی که تعریف رنگ آمیزی نقره ای وابسته به مجموعه مستقل ماکسیمم گراف است، برای آن که نقره ای بودن گراف های پترسن تعمیم یافته، ‎$p(n,k)$‎، را بررسی کنیم، ابتدا عدد استقلال آن ها را مورد بررسی قرار می دهیم. لذا ‎کران هایی به ازای هر عدد زوج ‎$k$‎، ‎$k >2$‎، ارائه می دهیم و به ازای برخی مقادیر ‎$n$‎ و ‎$k$‎ مقدار دقیق ‎$alpha (p(n,k))$‎ را مشخص می کنیم. در مورد عدد استقلال گراف های پترسن تعمیم یافته این حدس وجود دارد که به ازای هر ‎$n$‎ و ‎$k$‎، ‎$alpha(p(n,k))geq lfloor{frac{4n}{5}} floor$‎. با استفاده از کران هایی به دست آمده، نشان می دهیم که به ازای ‎$ n > 3k$‎ این حدس درست است. در بخش آخر نقره ای بودن گراف های پترسن تعمیم یافته را بررسی کرده و نتایجی را در مورد آن به دست می آوریم. رنگ آمیزی ابرگراف ها از سال ‎1966‎ به بعد مورد توجه بوده است و رنگ آمیزی های مختلفی برای آن ها تعریف شده است. از آن جائی که هر طرح بلوکی را می توان به صورت یک ابرگراف در نظر گرفت، لذا به بررسی مجموعه ی تعیین کننده ی ‎$3$-‎رنگ آمیزی سیستم های سه گانه اشتاینر، ‎${ m sts}(v)$‎، می پردازیم. برای هر ‎${ m sts}(v)$‎، ‎$ 7 leq v leq 15$‎، کوچک ترین مجموعه ی تعیین کننده و بزرگ ترین مجموعه ی تعیین کننده ی می نیمال را محاسبه می کنیم. خاطر نشان می کنیم که به ازای هر ‎$ v geq 25$‎، یک ‎${ m sts}(v)$‎ وجود دارد که عدد تعیین کننده ی رنگی آن برابر ‎2‎ است و به ازای هر ‎$ v =6n+3$‎، می توان یک ‎${ m sts}(v)$‎ ساخت که اندازه بزرگ ترین مجموعه ی تعیین کننده ی می نیمال آن برابر ‎$v$‎ باشد و به ازای هر ‎$ v =6n+1$‎، می توان یک ‎${ m sts}(v)$‎ ساخت که اندازه بزرگ ترین مجموعه ی تعیین کننده ی می نیمال آن بزرگ تر یا مساوی با ‎$(v-n)$‎ باشد. هر مربع لاتین را می توان به صورت یک ابرگراف ‎$3$-‎بخشی، ‎$n$-‎متعادل در نظر گرفت. بنابراین به رنگ آمیزی این ابرگراف ها می پردازیم. یک تور‎$(k,n)$-‎ ‎$ k geq 3$‎، یک سیستم وقوع شامل ‎$n^2$‎ نقطه و ‎$kn$‎ خط ‎(بلوک)‎ است، به طوری که هر خط دارای ‎$n$‎ نقطه است. خطوط به ‎$k$‎ کلاس موازی که هر کلاس شامل ‎$n$‎ خط است، افراز می شوند و هر دو خط حداکثر در یک نقطه مشترک هستند. گرافی را که رئوس آن نقاط تور است و دو رأس آن مجاورند اگر و فقط اگر روی یک خط از تور واقع شده باشند، را گراف تور نامیده و با نماد ‎$l_k(n)$‎ نمایش می دهیم. حالت خاص ‎$k=3$‎ را گراف مربع لاتین، ‎$l_3(n)$‎ می نامیم. فرض کنیم ‎$h$‎ ابرگراف متناظر با مربع لاتین ‎$n imes n$‎، ‎$l$‎ باشد. اگر گراف یالی ‎$h$‎ را درنظر بگیریم، ‎$l(h) cong l_3(n)$‎ و رنگ آمیزی رأسی ‎$l_3(n)$‎ معادل با رنگ آمیزی یالی ابرگراف ‎$h$‎ است. % برای برخی از مقادیر خاص ‎$k$‎، عدد رنگی گراف ‎$l_k(n)$‎ را به دست می آوریم. سپس کران هایی را برای عدد رنگی گراف مربع لاتین به دست آورده و عدد رنگی برخی از مربع های لاتین را که از جدول کیلی یک گروه به دست آمده اند، محاسبه می کنیم. هم چنین به بررسی مختصری از نقره ای بودن گراف تور پرداخته و نتایجی را در مورد مجموعه ی تعیین کننده ی رنگی گراف مربع لاتین به دست می آوریم.

چون عملگر مشتق همورد یکتایی در هندسه فینسلر نداریم لذا حرکت در این مسیر کار آسانی نیست. اما مفهوم یکتایی به نام افشانه موجود است که نقش اساسی را در بنیان هندسه ریمانی و هندسه فینسلری بازی می کند. این پایان نامه بسطی از مقاله هم راستایی های خمیدگی در خمینه های افشانه ای می باشد که توسط توث و اسزیلاسی نوشته شده است. در این پایان نامه، بحث های اساسی روی کلاف برگردان از کلاف مماس روی تصویر کلاف محذوف خواهد بود. یک هم راستایی خمیدگی از یک کشان خمیدگی از یک خمینه افشانه ای، یک میدان برداری تصویرپذیر روی کلاف مماس محذوف است بطوریکه مشتق لی از این کشان خمیدگی صفر باشد. در این پایان نامه، به کمک کشان انحراف آفین، ابتدا خمیدگی های اساسی از خمینه ی افشانه ای معرفی می شود. سپس نشان می دهیم اگر یک میدان برداری روی یک خمینه یک تقارن لی باشد آنگاه میدان برداری یک هم راستایی خمیدگی برای همه خمیدگی های معرفی شده در بالا می باشد.

یکی از مباحث مورد علاقه محققان در زمینه هندسه دیفرانسیل به خصوص در سال های اخیر، بررسی تانسورهای انحنای مختلف بر روی منیفلدها و بحث در مورد خواص هندسی آن ها است‎.‎ در همین راستا این پایان نامه، به معرفی و بررسی برخی خواص منیفلد های ریمانی مشهور از قبیل منیفلدهای ساساکین، منیفلد های ساساکین تعمیم یافته، منیفلدهای ‎$n(k)$-‎شبه اینشتین، منیفلدهای کنموتسو و ... پرداخته و در ادامه برخی از تانسورهای انحنا از جمله تانسور انحنای تصویری، تانسور انحنای شبه تصویری، تانسور انحنای همدیس، تانسور انحنای شبه همدیس و ... را روی این منیفلدها مورد بحث وبررسی قرار داده و نتایج به دست آمده به صورت قضایایی در این پایان نامه مطرح گردید‎.‎ در فصل ‎1‎ این پایان نامه به بیان برخی از تعاریف مقدماتی و مورد نیاز می پردازیم. در فصل ‎2‎ تانسورهای انحنا را روی منیفلدهای ‎$n(k)$-‎شبه اینشتین مورد بررسی قرار گرفتند. در ادامه این فصل منیفلدهای شبه اینشتین تعمیم یافته و منیفلدهای شبه اینشتین تعمیم یافته ترکیبی به عنوان تعمیمی از منیفلدهای شبه اینشتین مورد مطالعه قرار گرفتند. نتایج حاصل از بررسی تانسورهای انحنای ‎$d$-‎همدیس و شبه تصویری بر روی منیفلدهای ساساکین وساساکین تعمیم یافته نیز در فصل سوم بیان گردید. سرانجام منیفلد های کنموتسو نیز در فصل ‎4‎ مورد بحث و بررسی قرار گرفتند. ‎‎

فرض کنید algn یک جبر آشیانه ای مربوط به آشیانه n روی فضای هیلبرت ( مختلط یا حقیقی) بالشد.گوییم algn یک مشخصه ضرب صفر است اگر برای هر فضای خطی v و هر نگاشت دوخطی ? : algn * algn - v ، یک نگاشت خطی t وجود داشته باشد که در شرایط زیر صدق کند: ?(a;b) = t(ab برای هر a و b عضو algn. همچنین نشان می دهیم اگر به جای ضرب معمولی، ضرب جردن یا لی را جایگزین کنیم آنگاه algn یک مشخصه ضرب صفر جردن یا لی است.

در این پایان نامه، مفهوم تقارن در فضا-زمان ریمانی و فینسلری بحث شده و درباره ی نسبیت و حرکت شناسی متری های فینسلری مطالبی عنوان شده است. در زمینه ی تقارن ها به بیان انواع تقارن های کیلینگ، نوتری، همدیس پرداختیم و با بیان مثال های متعدد به محاسبه ی تقارن های کیلینگ و نوتری و همچنین قوانین بقا برای نوع خاصی از فضا-زمان ‎(2+1)‎- بعدی اقدام نموده ایم. سپس مفهوم کنج لخت در چارچوب هندسه ی تصویری را گسترش دادیم. کنج های لخت در فضا-زمان فینسلر تخت تصویری مورد بررسی قرار گرفتند. حرکت لخت در یک فضا-زمان فینسلر خاص, فضا-زمان ‎$(alpha,eta)$‎ تخت تصویری با انحنای پرچمی ثابت را مورد مطالعه قرار دادیم. فضا-زمان ‎$(alpha,eta)$‎ تخت تصویری با انحنای پرچمی ثابت را می توان به چهار نوع تقسیم کرد: ما نشان دادیم که حرکت لخت و تقارن در فضا-زمان نوع ‎$a$‎ و‎$b$‎ به ترتیب تنها یکی در نسبیت خیلی خاص و یکی در نسبیت خاص دوگان هستند. و قانون پراکندگی در نوع ‎$c$‎ و ‎$d$‎ را می توان به عنوان یک نوع قانون پراکندگی خمینه در نسبیت خاص دوتایی در نظر گرفت. چهار نوع فضا-زمان ‎$(alpha,eta)$‎ شامل دو پارامتر سرعت نور و یک پارامتر هندسی هستند که ممکن است مربوط به مقیاس فیزیکی جدید باشند. درحالی که پارامتر هندسی صفر می شود چهار نوع فضا-زمان به فضا-زمان مینکوفسکی کشان های اندازه ی حرکت و کشان های اندازه ی حرکت زاویه ای، به یک چیز در فضا-زمان مینکوفسکی کاهش می یابند, جبرلی متناظر به آن به جبر پوانکاره و حرکت لخت به چیزی در نسبیت خاص کاهش می یابند. در انتها جدولی آمده که ویژگی های اساسی حرکت شناسی و تقارن در چهار نوع فضا-زمان را به صورت فهرست قرار دادیم.

رسته ای(کتگوری) از کلاف های برداری باناخ متکی را در نظر می گیریم و در مورد مفهوم نیمه افشانه ها بحث می کنیم. بر اساس مجموعه برش هایی از یک کلاف برداری باناخ متکی، یک براکت لی با خواصش به مفهوم جبرواره لی می شود. ثابت می کنیم جبرواره های لی تشکیل یک رسته(کتگوری) می دهد. یک ساختار دیراک روی یک خمینه باناخ m به صورت یک زیر کلاف از کلاف مماس بزرگ tm?t*m تعریف می شود که نسبت به متر طبیعی استاندارد مساوی متمم عمودش است و نسبت به براکت کورانت بسته است. اگر e یک جبرواره لی و*e دوگانش باشد، فرم دو خطی و متقارن را روی کلاف برداری *e?eتعریف می کنیم و می گوییم که زیر کلافی از این کلاف برداری یک ساختار دیراک ضعیف است، اگر مساوی با متمم عمودش باشد. هدف اصلی ما این است که هر ساختار دیراک که نسبت به نوعی براکت کورانت بسته می باشد با یک تکیه گاه(آنکر) طبیعی داده شده، یک جبرواره لی است.

در ابتدا لازم است به این موضوع اشاره کنیم که برای مطالعه ی یک مدل هندسی از ستون فقرات انسان، باید یک حدمینیمم از یک تابع با مقدار حقیقی که روی یک ضرب از گروههای متعامد ویژه تعریف شده‎‎‏، پیدا کنیم. برای نتیجه گرفتن از ساختار گروه لی آن، از روش نیوتن روی این خمینه استفاده می کنیم.

چکیده ندارد.