در این پایان نامه معادلات انتگرال با دو ثابت تاخیر را در نظر می گیریم. در اینجا هدف تطبیق دادن روش ذوزنقه ای برای حل نوعی از معادلات انتگرال ولترا با هسته های ناپیوسته ومطالعه پایداری با استفاده از معادله آزمون است. مچنین در مورد وجود و یکتائی جواب و پایداری جواب معادله انتگرال در حالتهای ممکن برای هسته های معادله انتگرال بحث شده است. به علاوه بررسی می کنیم، که تحت چه شرایطی معادله آزمون به طور مجانبی پایدار است.

در این پایان نامه ابتدا حسابان کسری را به طور مختصر معرفی کرده سپس به معرفی و تقسیم بندی معادلات انتگرال معمولی و کسری می پردازیم. در ادامه پس از بیان تعاریف و مفاهیم لازم درباره ی موجک ها، به طور خاص موجک هار را مورد بررسی قرار داده و به کمک این موجک و با استفاده از روش هم محلی به حل معادلات انتگرال فردهلم و ولترای کسری و نیز معادلات انتگرال- دیفرانسیل کسری می پردازیم. دیدیم که وقتی اندیس سطح تفکیک موجک افزایش می یابد، تقریب های بهتری به دست می آید. از مزایای روش موجک هار نسبت به سایر موجک ها می توان به سادگی و سطح محاسبات نسبتاً کم آن اشاره کرد در فصل چهارم روش تبدیل دیفرانسیلی کسری را برای حل معادلات انتگرال- دیفرانسیل ولترای کسری بررسی می کنیم و با ذکر چند مثال نشان می دهیم که این روش قابل استفاده برای مسائل مقدار اولیه و مقدار مرزی خطی یا غیر خطی می باشد. همچنین امکان پیاده سازی روش بر روی دستگاه معادلات انتگرال- دیفرانسیل کسری وجود دارد. با ارائه ی یک مثال نشان می دهیم که اگر جواب معادله به صورت سری توانی باشد، این روش جواب دقیق را به دست می دهد. در سایر موارد، با افزایش تعداد جملات درنظرگرفته شده در جواب سری می توان دقت را بهبود بخشید. با مقایسه جواب های به دست آمده از این روش و روش موجک هار می توان نتیجه گرفت که این روش دارای دقت خوبی است و حتی دقت آن از روش موجک هار نیز بیشتر می باشد. در پایان باید به این نکته نیز توجه کرد که روش تبدیل دیفرانسیلی با وجود تمام مزایا فقط قابل استفاده برای معادلاتی است که بتوان تبدیل دیفرانسیلی تمام جملات آن را نوشت و این باعث محدود شدن دامنه اعمال روش می شود.

در این پایان نامه، ابتدا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی وانواع آن و شرایط مرزی و اولیه برای یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بیان شده است. سپس تحلیل روش های tanh و tanh-cothو چگونگی حل معادلات غیر خطی با مشتقات جزئی با این روش ها ارائه شده است. جهت روشن شدن مطلب، معادلات غیر خطی kdv، گرما، معادله ی موج و ... با این روش ها حل شده است. در نهایت این موضوع که با استفاده از روش های tanh و tanh-coth می توان به تمامی دسته جواب های یک معادله ی غیر خطی با مشتقات جزئی دست پیدا کرد، مورد بررسی قرار گرفته است.

در این پایان نامه ابتدا مشتق و انتگرال کسری ریمان لیوویل را معرفی کرده ایم، پس از آن مشتق کسری کاپوتو بر اساس مشتق کسری ریمان-لیوویل و با خصوصیات بهتر از آن بیان شده و ویژگی های آن مورد بررسی قرار می گیرد. بحث با معرفی مسأله مقدار مرزی کسری و شرایط وجود و یکتایی جواب در حالات مختلف پیگیری شده و با تعریف تابع گرین کسری و مقایسه آن با تابع گرین معمولی ادامه می یابد. در پایان تفاوت بنیادی تابع گرین کسری و تابع گرین معمولی بیان و شرح داده شده است.

در این پایان نامه پایداری نمایی دستگاه های لوتکا-ولترای رقابتی با تأخیرات گسسته بررسی شده است. با ساختن توابع لیاپونوف مناسب و روش بهینه سازی نامعادله مخطی ماتریسی(lmi) برخی معیارهای کافی به دست می آید که بااستفاده از این معیارهاپایداری نمایی دستگاه های لوتکا-ولترای رقابتیدو گونه ای باتأخیرات گسسته بررسی می شود.

در این رساله ابتدا روش های طیفی و آنالیز فوریه معرفی و خواص همگرایی آنها مورد بررسی قرار می گیرند. سپس به معرفی چندجمله ای های انتقال یافته لژاندر و چبیشف و ویژگی های آنها پرداخته می شود. با استفاده از ویژگی های این چندجمله ای ها، ماتریس های عملگر مشتق معمولی و مشتق کسری کاپوتو برای این چندجمله ای ها محاسبه می شوند. همچنین کاربرد این چندجمله ای ها همراه با ماتریس های عملگر آنها برای حل معادلات لایه مرزی در حوزه ی مکانیک سیالات و معادلات دیفرانسیل کسری مورد بررسی قرار خواهد گرفت. در ادامه موجک های لژاندر و چبیشف معرفی و ماتریس های عملگر مشتق این موجک ها تعیین می شوند. با تعمیم این ماتریس های عملگر مشتق به مشتق کسری کاپوتو، ماتریس های عملگر مشتق کسری برای این موجک ها نیز بدست آورده می شوند و یک روند کلی برای محاسبه این ماتریس ها معرفی می شود. سپس همگرایی پایه های موجک و بویژه موجک لژاندر و چبیشف مورد بررسی قرار خواهد گرفت. با استفاده از پایه های چندجمله ای انتقال یافته و موجک های لژاندر و چبیشف همراه با ماتریس های عملگر آنها، حل معادلات تابعی گوناگون مانند معادلات دیفرانسیل سخت، معادلات ریکاتی، معادلات مقدار مرزی تکین و معادلات دیفرانسیل کسری چندمرتبه ای مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه روش توابع دورگه ی لژاندر- ضربه ای قطعه ای برای حل عددی معادلات انتگرال ولترا و فردهلم نوع دوم بیان ‎شد‎ه است‎.‎‎‎‎‎ این روش یک روش عملگری برای حل معادلات انتگرال است که با استفاده از ماتریس های عملگری انتگرالی و ضربی‏، معادلات انتگرال را به یک دستگاه معادلات جبری حل پذیر تبدیل می کند. در ادامه چند روش دیگر که اساس کار آنها نیز استفاده از ماتریس های عملگری است‏، برای حل عددی این دسته از معادلات انتگرال مطرح شده است. به علاوه با انجام یک مقایسه ی عددی کارآیی این روش ها مورد بررسی قرار گرفته است.

هدف اصلی این پایان نامه، مطالعه ی معادلات انتگرال و انتگرو- دیفرانسیل است که شامل دو نوع مختلف از عملگرهای انتگرالی هستند. این معادلات، معادلات انتگرال و انتگرو- دیفرانسیل ولترا- فردهلم نامیده می شوند. این پایان نامه موضوعات زیر را شامل می شود: ‎ 1-قضایای وجود و یگانگی جواب معادلات انتگرال و انتگرو- دیفرانسیل ولترا- فردهلم خطی و غیرخطی را توسط قضیه ی نقطه ثابت باناخ مورد بحث قرار می دهد. ‎2-برخی روندهای عددی و تحلیلی موثر برای حل معادلات انتگرو- دیفرانسیل ولترا- فردهلم خطی و غیرخطی مرتبه بالا از قبیل روش اختلال هموتوپی، روش چندجمله ای تیلور، روش تجزیه اصلاح شده، روش هم محلی چبیشف و روش هم محلی گسسته را ارائه می دهد. 3-با بیان چند مثال به مقایسه ی سرعت همگرایی و دقت روش های ذکرشده می پردازد. این روند به طور عمده به روش بسط تیلور بستگی دارد.

هدف اصلی این پایان نامه، مطالعه ی معادلات انتگرال و انتگرو- دیفرانسیل است که شامل دو نوع مختلف از عملگرهای انتگرالی هستند. این معادلات، معادلات انتگرال و انتگرو- دیفرانسیل ولترا- فردهلم نامیده می شوند. این پایان نامه موضوعات زیر را شامل می شود: ‎1-قضایای وجود و یگانگی جواب معادلات انتگرال و انتگرو- دیفرانسیل ولترا- فردهلم خطی و غیرخطی را توسط قضیه ی نقطه ثابت باناخ مورد بحث قرار میدهد. 2- برخی روندهای عددی و تحلیلی موثر برای حل معادلات انتگرو- دیفرانسیل ولترا- فردهلم خطی و غیرخطی مرتبه بالا از قبیل روش اختلال هموتوپی، روش چندجمله ای تیلور، روش تجزیه اصلاح شده، روش هم محلی چبیشف و روش هم محلی گسسته را ارائه می دهد. ‎3- با بیان چند مثال به مقایسه ی سرعت همگرایی و دقت روش های ذکرشده می پردازد. این روند به طور عمده به روش بسط تیلور بستگی دارد.

درونیابی به وسیله چند جممله ای ها یا دیگر توابع، یک روش نسبتا قدیمی در ریاضیات کاربردی است که اولین بار توسط جی والیس در سال 1655 مطرح شد. درونیابی به وسیله توابع چندمتغیره موضوع نسبتا جدید و جذابی است که در چند دهه اخیر مورد توجه قرار گرفته است، چرا که وجود جواب و یگانگی آن به سادگی تضمین نمی شود و علاوه بر تعداد نقاط ، نحوه قرار گیری آن ها نیز در این امر دخیل است. در سال 1977، چانگ و یاو یک توصیف هندسی از درونیابی لاگرانژ چند متغیره ارائه کردند و پس از آن اشخاص دیگری به این سمت روی آوردند و روش های مختلفی از جمله درونیابی هرمیت چند متغیره، نیوتن چند متغیره را معرفی کردند. همچنین افراد زیادی از شکل های مختلف درونیابی در کارهایی چون پیش بینی سیل، شمارش سنگریزه و نظایر آن استفاده کرده اند. اگر تابع رباضی یک پدیده به طور کامل در اختیار باشد قطعا قضاوت ها و تصمیم گیری های بعدی در مورد آن پدیده دقیق تر و کامل تر خواهد بود. رسیدن از داده های گسسته محدود به تابع پیوسته یک پدیده را درونیابی آن پدیده گویند از این رو در بسیاری از پیش بینی ها، برآوردها, تقریب ها و آزمایش ها می توان از درونیابی استفاده کرد.

بسیاری از پدیده های موجود در علوم ریاضی، فیزیک ، مهندسی و دیگر علوم، توسط معادلات دیفرانسیل غیرخطی مدل سازی می شوند.از این جهت جستجوی راه هایی برای بیان جواب های دقیق این معادلات، در زمینه ی مطالعه و درک پدیده های فیزیکی و پیچیده ی غیرخطی بسیار با اهمیت است. موضوع اصلی در این پایان نامه یافتن شکل عمومی رده ای از معادلات دیفرانسیل عادی غیرخطی مرتبه دوم، سوم و چهارم است که می توانیم جواب های دقیق آن ها را به یک روش بسط جدید تعیین کنیم.

در این پایان نامه سه معادله ی پر کاربرد در زمینه ی مکانیک سیالات و انتقال حرارت با استفاده از روش شبه طیفی مورد بررسی قرار گرفته اند. این معادلات دیفرانسیل جزئی که همگی روی بازه ی نیم نامتناهی‎ تعریف شده اند، با استفاده از یک تغییر متغیر مناسب به صورت معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل شده و با استفاده از روش شبه طیفی حل شده اند. چون این معادلات روی بازه ی نیم نامتناهی تعریف شده اند، یکی از بهترین گزینه ها، استفاده از توابع هرمیت به دلیل سازگاری با بازه ی بیان شده است. نرخ بالای همگرایی این روش، با استفاده از نتایج عددی اثبات شده و برای نشان دادن دقت بالای این روش، با نتیجه های به دست آمده از حل های تحلیلی و عددی به دست آمده از مقاله های موجود مقایسه ای صورت پذیرفت که این مقایسه، دقت بالای این روش پیشنهادی را تایید می نماید.

در این پایان نامه یک روش عددی جدید برای حل مسائل منبع معکوس که براساس ترکیبی از دو روش جواب 1- جواب های بنیادی و 2- دوگان معکوس پایه گذاری شده است، را مورد بررسی قرار می دهیم. هدف تعیین یک تابع منبع معکوس نامعلوم f است. هرگاه تابع سمت راست همساز باشد، روش پیشنهادی برای حل مسئله منبع معکوس، تبدیل آن به یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه چهار است. لازم به ذکر است که مسائل با تابع سمت راست غیرهمساز از طریق معادلات با مشتقات جزئی مرتبه چهار قابل حل نمی باشند. روش دیگر برای حل مسائل منبع معکوس روش دوگان معکوس است که روش جواب های خصوصی نیز نامیده می شود.هدف کلی این روش دو بخش کردن جواب به صورت مجموعی از یک جواب همگن باشرایط مرزی جدید ‎‎‎ و یک جواب خصوصی از معادله غیرهمگن پواسن‎‎‎ با شرط مرزی همگن است. نتایج عددی این روش نسبت به روش های مشهور قبلی که مورد مقایسه قرار می گیرند از دقت، سرعت همگرایی و قابلیت اجرایی بالاتری برخوردار است.

روش نقاط مرزی بدون شبکه گالرکین براساس فرمول بندی ضعیف می باشد . فرضیات مسئله در این روش معادلات دیفرانسیل با شرائط مرزی مخلوط می باشد.در این روش ابتدا با استفاده از قضیه گرین و با استفاده از شرائط مرزی داده شده معادله دیفرانسیل با مشتقات حزئی به یک معادله انتگرال مرزی تبدیل می شود.در مرحله بعد با استفاده از روش کلاسیک گالرکین مسئله به مسئله معادل تبدیل کرده و در نهایت با استفاده از روش تقریب کمترین مربعات متحرک که یکی از انواع روش های بدون شبکه مرزی می باشد مجهولات مرزی را به دست می آوریم . در مثال های عددی مشاهده می شود که استفاده از این روش ابعاد محاسباتی مسئله را کاهش می دهد .آنالیز خطا نیز مشخص می کند که خطای تابع محهول با مشتقات متوالیش از مرتبه یکسانی برخوردار است و همکرایی این روش بسیار مناسب است و لین روش یک روش پایدار عددی می باشد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.