: در این رساله، ابتدا اطلاعات سودمند و پایه ای در مورد فضاهای نرم دار ، باناخ و فضاهای ضرب داخلی و هیلبرت ارائه می شود. در ادامه مطالب مفصلی راجع به توابع محدب وشبه محدب و دیفرانسیل پذیری آنها، گردآوری وتألیف شده است. درفصل آخر ابتدا تعمیم نامساوی کلاسیک گراوس روی فضای ضرب داخلی، بیان می شود. سپس با تجزیه وتحلیل دقیق مقال? : a gruss type inequality for sequencs of vectors in inner product spaces and applications volume 1 , issue 2, article 12, 2000. به بحث در مورد نامساوی نوع گراوس زیر می پردازیم، فرض کنید (h;?.,.? ) یک فضای ضرب داخلی روی میدان k باشد که: ,x_i,y_i?h ,k=r,c p_i?k و ,p_i?0و (i=1,2,…,n)(n?2) ?_(i=1)^n?p_i =1. اگر x,x,y,y?hبه طوریکه : re?x-x_i ,x_i-x??0و re?y-y_(i ),y_i-y??0 ?i?{1,2,….n} آنگاه نامساوی زیر برقرار می باشد، |?_(i=1)^n??p_i ?x_i ,y_i ? ?-??_(i=1)^n??p_i x_i ? ,? ?_(i=1)^n??p_i y_i ?? ? |?1/4 ?x-x??y-y?. در ادامه، کاربردهای این نامساوی برای توابع محدب دیفرانسیل پذیر روی فضای ضرب داخلی و تبدیلهایی مانند تبدیل گسست? فوریه وملین بیان می شود

: این کار در ادامه مطالعات اخیری است که فنگ دای ویوانگ خو بر روی تئوری تقریب کره و گوی انجام داده اند. نتایج اصلی تعریف فضای سوبولف بر این دامنه ها، مطالعه تقریب به وسیله چند جمله ای ها روی توابع در این فضاها و شامل تقریب همزمان به وسیله چند جمله ای ها، و روابط بین بهترین تقریب یک تابع و مشتق های آن است.

نامساوی هرمیت-هادامارد یکی از نامساوی های مهمی است که توجه بسیاری از ریاضیدانان را به خود جلب کرده است. در این رساله ابتدا این نامساوی را برای تابع محدب بررسی می کنیم. سپس نامساوی هرمیت-هادامارد را برای برخی توابع محدب و شبه محدب دیفرانسیل پذیر ارائه می دهیم و کاربردهایی از میانگین های خاص را بیان می کنیم. به علاوه این نامساوی را برای تابع s-محدب نیز بررسی می کنیم، در ادامه پس از یک مطالعه ی گسترده درباره ی توابع s-محدب، نامساوی هرمیت-هادامارد را به حاصل ضرب دو تابع s-محدب گسترش می دهیم. در نهایت شرایطی را مطرح می کنیم که در آن این نامساوی برای توابع h-محدب و حاصل ضرب دو تابع h-محدب برقرار می گردد.

در این رساله ابتدا اطلاعات پایه ای و سودمند در مورد فضاهای نرم دار، باناخ و فضاهای ضرب داخلی و هیلبرت ارایه داده می شود. در فصل دوم اطلاعاتی راجع به انتگرال های برداری بیان شده است. در فصل سوم با تجزیه و تحلیل مقاله نامساوی انتگرالی گروس برای توابع با مقادیر در فضاهای هیلبرت نامساوی نوع گراوس روی فضاهای ارایه و اثبات می گردد، و کاربرد آن برای توابع محدب دیفرانسیل پذیر بیان می شود در آخر نیز در فصل چهارم با تجزیه و تحلیل مقاله نامساوی انتگرالی گراوس برای توابع برداری در فضاهای باناخ نامساوی نوع گراوس روی فضاهای باناخ ارایه و اثبات می گردد، و کاربرد آن برای نامساوی هایزن برگ بیان می شود

پژوهشگر : خانم خدیجه ناصری راد چکیده نامساوی گراوس یکی از نامساوی های مهمی است که توجه بسیاری از ریاضیدانان را به خود جلب کرده است. در این رساله، ابتدا به تعاریف و قضایایی مقدماتی درباره ی فضای ضرب داخلی، فضای هیلبرت و اندازه پذیری نیاز داریم که در فصل اول به آنها پرداخته ایم، سپس در ادامه ویژگی های از عملگرهای خطی کراندار را بیان می کنیم. پس از این مقدمات در فصل دوم مطالبی درباره ی انتگرال های برداری بیان می کنیم. سپس در فصل سوم مامساوی گراوس را برای تابع های برداری در فضاهای هیلبرت استفاده می کنیم و در نهایت نامساوی گراوس را برای تبدیلات فوریه متناهی و همچنین برخی تابع های برداری خاص به کار می بریم.

چندین نسخه ماتریسی از نامساوی نوع پولیا معرفی و اثبات می شود. ابتدا انواع میانگین و مقایسه ارتباط بین آنها بیان شده است. همچنین دو خانواده از میانگین ها ( میانگین های هینز و میانگین های هرون ) را که بین میانگین های حسابی و هندسی قرار می گیرند، در نظر گرفته شده اند. ارتباط بین این میانگین ها و نسخه ماتریسی آنها ارایه شده است. نامساوی کلاسیک پولیا و نسخه های ماتریسی آن ارایه و اثبات شده است. نامساوی های نرم و نامساوی های دقیق تر از نامساوی های ارایه شده، مورد بررسی قرار گرفته است. در نهایت نامساوی های مرتبط با نسخه ماتریسی نامساوی کلاسیک پولیا و ارتباط بین آنها برای نرم هیلبرت اشمیت را بدست آورده ایم. برای درک بهتر چند مثال ارایه شده است و نامساوی های بدست آمده با هم مقایسه شده اند.

چکیده ندارد.