یکی از مسائل اساسی در جبر خطی عددی حل دستگاه معادلات خطی ax=b است. این مسأله تقریباً در تمام شاخه های علوم و مهندسی ظاهر می شود. استفاده از روشهای تکراری برای حل چنین دستگاهی با بزرگ شدن ابعاد آن نسبت به روشهای مستقیم مانند روش حذفی گاوس روز به روز گسترش بیشتری می یابد. یکی از روشهای شناخته شده روش گاوس-سایدل است. ما با ایجاد تغییر در ساختار این روش، روند تکراری جدیدی را معرفی می کنیم که می توان آن را نسخه اصلاح شده ای از روش اصلی در نظر گرفت. در هر مرحله از این روش اصلاح شده دو مولفه از جواب تقریبی تصحیح می شود و لذا می تواند تا دو برابر سریعتر از روش اصلی باشد. در ادامه نشان می دهیم که روش اصلاح شده یک روش تصویری دوبعدی است. از این رو با بهره گیری از ویژگیهای بهینگی روشهای تصویری روش جدید را مجدداً اصلاح و تعدیل می کنیم و به الگوریتمی می رسیم که هم از نظر تئوری و هم به لحاظ عددی نتایج بهتری نسبت به روشهای پیشین بدست می دهد. در ادامه تعمیم های مهمی از روش اخیر به روشهای تصویری m بعدی و نیز برای حل دستگاههای نا معین مثبت و همچنین شگردی موثر برای سرعت بخشیدن به روند همگرایی این روشها ارائه می گردد. در پایان کارایی روشهای جدید و مقایسه آنها در ضمن حل مثالهای عددی مختلف مورد آزمایش قرار گرفته و تأیید می شود.

یکی از اساسی ترین مسائل در علوم و مهندسی به دست آوردن جواب دستگاه خطی از معادلات است. نیاز به دقت بالاتر و دستیابی به اطلاعات بیشتر به دلیل پیشرفت علوم مختلف موجب افزایش ابعاد و در نتیجه مشکلات حل این مسئله شده است. محاسبه جواب هنگامی که در دقت متناهی و با تعداد متناهی از عملیات انجام می شود می تواند (از نقطه نظر عملی) بسیار پیچیده یا حتی غیرممکن شود. روش های سنتی کارایی از خود نشان نمی دهند و نیاز به روش های جدید با کارایی بالاتر احساس می شود. پیشرفت های بسیار فن آوری در علوم و مهندسی موجب افزایش چشمگیری در فعالیت های مربوط به روش های تکراری شده است. شش دهه اخیر غنی از پیشرفت ها و توسعه های بسیار است که منجر به فراهم شدن جعبه ابزارهای ارزشمند از الگوریتم ها برای حل مسائل بزرگی شده اند که در مدل های محاسباتی صنعتی و علمی پدیدار می شوند. روش های زیرفضای کریلف با تقسیم به دو دسته روش های با خاصیت بهینگی و روش های با بازگشت های کوتاه (و همچنین روش های ترکیب کننده این دو خاصیت) به عنوان گونه ای از روش های تصویر کارایی خوبی از خود نشان می دهند. تمرکز اصلی این پایان نامه روی برخی از مهم ترین واقعه ها در توسعه (نظری و عملی) روش های زیرفضای کریلف? به خصوص روش های با بازگشت های کوتاه و همچنین روش های ترکیب کننده دو خاصیت ذکرشده برای حل دستگاه های بزرگ با ماتریس ضرایب نامتقارن است. ابتدا تعریف کارایی یک الگوریتم و نکاتی در حل عددی مسائل با ابعاد بزرگ بیان می شود. پس از آن به بررسی نظریه روش های زیرفضای کریلف، تجزیه و تحلیل و پیاده سازی آن ها و سپس روش هایی با کارایی بیشتر استوار بر کاهش بعد القاشده و روش های ترکیبی گرادیان دومزدوج پرداخته می شود. در نهایت به وسیله آزمایش های عددی رفتار همگرایی و کارایی این الگوریتم ها نشان داده می شوند.

یکی از مسائل اساسی درجبر خطی عددی حل دستگاه معادلات خطی ax=bاست.دستگاههای معادلات خطی با ضرایب m-ماتریس در زمینه علمی گسترده ای پدیدار می شوند.همان طور که می دانیم روشهای aor یک دسته از روشهای تکراری پر کاربرد برای حل چنین دستگاههایی هستند.در این پایان نامه ابتدا این روشها را از نحوه ی استخراج تا آنالیزهمگرایی شان بررسی می کنیمو برخی ویژگیهای اساسی آنها را مطالعه می نماییم و مشاهده می کنیم که این روشها در قالب یک تعمیم دوپارامتری از روش sor قابل تفسیرندوبه ازای مقادیر مشخصی از این پارامتر هامی توان روشهای sor ،گاوس-سایدل،jor و ژاکوبی را از این قالب کلی به دست آورد.هدف عمده ما در این پایان نامه بهبود همگرایی روشهای aor از طریق بکارگیری شگرد های پیش حالت سازی است.بنابر این در قالب یک فصل کامل پیش حالت سازی و شگردهای پیش حالت سازی استانداردواثرات پیش حالت سازی روی شعاع طیفی و سرعت همگرایی روشهای تکراری را بررسی کرده ایم.برای افزایش سرعت همگرایی روشهای aor در حل دستگاههای خطی با ماتریس ضرائب نامنفرداز نوعm-ماتریسهاپیش حالت سازی جدیدی ارائه شده اند که کارایی آنها هم به لحاظ تئوریکی وهم از نظر عددی ثابت شدهو با روش اصلی مقایسه گردیده است.به این منظور عمدتا از دو نوع ماتریس پیش حالت ساز کوتاکه موری به شکلp=i+l و پیش حالت ساز های p=i+l+u استفاده کرده ونتایج را با بکارگیری روش gmres آزمایش نموده ایم.این پیش حالت سازها بطور مو ثری طیف ماتریس ضرائب رامتراکم و شعاع طیفی آن را کوچک می کنند.لازمبه ذکر است که این پایان نامه بر اساس مقاله ی" روشهای تکراری پیش حالت سازaor برایm-ماتریسها"تدوین شده است.