در سال های اخیر موضوع قاب ها که به آن توپولوژی بی نقطه می گویند نظر نویسندگان بسیاری را به خود جلب کرده است . این پایان نامه مشتمل بر چهار فصل است . در فصل اول ابتدا مفاهیم مورد نیاز از نظریه مشبکه ها را به اختصار بیان می نماییم و سپس قاب ها را معرفی کرده و انواع و وِیژگی های آن مانند قاب های مننظم و فشرده را بیان می کنیم . فصل دوم که مهم ترین فصل این پایان نامه شامل دو بخش است که در بلخش اول قاب های یاشیدا را معرفی می کنیم و برای درک بهتر مثابل هایی را می آوریم و در بخش دوم قاب های نرمال و وابسته را معرفی می کنیم و قضایای مرتبط با آن ها را بیان می نماییم . در انتها قاب های به طور متناهی اندازه را معرفی کرده و نشان می دهیم که در شرایط خاص با قاب یاشیدا معادل می باشند. در فصل سوم گروه هاس مشبکه ای مرتب را تعریف می کنیم و نشان می دهیم که مشبکه ای از تمام زیر مشبکه ههای محدب یک قاب تشکیل می دهند. فصل آخر را به مطالعه قاب های یاشیدا در فضاهایب متفتوت می پردازیم . ابتدا کاربردها در فضای توپولوژیکی مانند فضای تیخونوف و حلقه توابع پیوسته را بیان کرده و سپس به بیان کاربردها در یک دامنه صحیح می پردازیم .

در این نوشتار به طور ممتد به بررسی بعد در قاب های جبری می پردازیم.فرض کنیم l یک قاب جبری باشد. اگر عناصر اول po,p1,…,pk متعلق به l به قسمی موجود باشند که po<p1<…<pk ,آن گاه ماکزیمم طول ممکن برای این زنجیر از عناصر اول l را در صورت وجود بعد l می نامیم. در این پایان نامه یک اثبات قابی- تئوریکی برای محاسبه ی بعد l بر حسب خارج قسمت های کران داری ارائه می کنیم و در عین حال آن را به قاب هایی که لزوما فشرده نیستند، تعمیم می دهیم.

در فصل اول، به بیان مفاهیم و تعاریف اولیه پرداخته و سپس نشان می دهیم که تکواره های معکوس پذیر، مطلقا هموار هستند. فصل بعدی را با معرفی رسته - سیستم های مرتب جزیی آغاز نموده و در ادامه ساختارهای کلی در رسته pos-sرا مورد بررسی فرار داده، سپس برخی خواص نظریه ای رسته ای را برای آن بیان می کنیم. در فصل سوم، ابتدا به معرفی تکواره های جزیی مرتب مطلقا هموار پرداخته، نشان می دهیم که نیم مشبکه مرتب s با عضو همانی، مطلقا هموار راست است اگر و تنها اگر اندازه s کمتر مساوی 2 است.همچنین اگر s یک نیم گروه کاملا ساده باشد، در این صورت s به عنوان یک تکواره، مطلقا هموار است اگر و تنها اگر یک گروه چپ باشد. در اداه نشان می دهیم که برای یک s- سیستم مرتب، اگر نیم گروه ماتریسی ریس بدون صفر با الحاق 1 باشد، به طوری که s با یک ترتیب سازگار مطلقا هموار راست است، آن گاه a تک عضوی است و همچنین g یک گروه تناوبی است.

اهم بحث در این نوشته برروی s-همریختی ها و درون ریختی هاروی نیم گروه های کلیفورد متمرکز شده است.دراین نوشته نیم گروه های کلیفورد وساختار کلی این چنین نیم گروه ها شرح داده شدهاست وبا معرفی شرط zدر s وشرط z در y شرایطی را فراهم می کنیم تا انژکتیوی و انژکتیوی c-ضعیف و همچنین خودانژکتیوی ضعیف را برای نوع خاصی از همریختی های تعریف کننده وگروه هایی با ویژگیهای خاص تعریف می کنیم وبا تعریف کردن یک رابطه جزئئ مرتب روی نیم گروه منظم به بررسی این نیم گروه می پردازیم

در این پایان نامه رسته s-سیستم های مرتب و ساختارهای کلی این رسته را شرح داده وبا معرفی شرط e و شرط p به بیان خواص همواری s-سیستم های مرتب می پردازیم.بعلاوه نتایج حاصل از آنها را برای سیستم های مرتب دوری تحلیل می کنیم ونهایتا تکوارههای مرتب نیم تام pp و psfرا با توجه به خواص همواری s-سیستم های مرتب دوری توصیف می کنیم.از نتایج مهم حاصل شده بیان خاصیت های هموار مرتب ضعیف وهموار مرتب ضعیف اصلی برای pp-سیستمهای مرتب و psf-سیستمهای مرتب فقط به کمک روابط ترتیبی آنها و تکواره های مرتب مرتبط با آنها می باشد

در این پایان نامه نشان می دهیم اعضای رسته قاب های قویا تصویرپذیر دقیقا اشیاء کامل پوشا در رسته قاب های منظم فشرده است . هم چنین نگاشت های اسکلتی را بررسی می کنیم

اهم بحث در این رساله بر نیم گروههای کاملا منظم، کاملا ساده و روابط ? و ? روی این نیم گروهها متمرکز شده است. نیم گروه s را کلیفورد می گوییم هرگاه یک نیم گروه کاملا منظم و معکوس باشد. در این نوشته بعضی روابط مربوط به کوچکترین همنهشتی کلیفورد روی نیم گروههای کاملا منظم مشخص شده اند. در ابتدا ارتباط بین ? و ? را روی نیم گروههای کاملا منظم مشخص می کنیم و سپس نشان می دهیم که *? در کوچکترین همنهشتی کلیفورد روی نیم گروههای کاملا منظم مشمول می باشد. به علاوه روابط ?، ? و*? را روی نیم گروههای کاملا منظم و کاملا ساده مورد بررسی قرار می دهیم. در انتها با ذکر چند مثال، ساختارها و روابط مذکور را مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم.

رسته ی s-سیستم های مرتب جزئی تلفیقی از رسته ی s-سیستم های و رسته ی مجموعه های مرتب جزئی است. در این پایان نامه به معرفی مفهوم شبه مرتب روی s-سیستم های مرتب جزئی و روابط بین همنهشتی ها و شبه مرتب هاو شبه زنجیر ها پرداخته شده است. در پایان به وسیله ی نتایج به دست آمده به بررسی نوعی از s-سیستم ها ی مرتب جزئی و s-سیستم ها پرداخته است.جبرهای تصویری مرتب را معرفی کرده طی لمی اثبات کرده که هر همنهشتی s=سیستمی روی جبرهای تصویری مرتب یک همنهشتی مرتب روی جبرهای تصویری مرتب است. ودرپایان s-سیستم های مرتب جزئی روی نیم گروه های مرتب صفر و صفر چپ را بررسی می کند.

یک نیم گروه نابدیهی منظم s به همراه صفر که هر بازه از اعضای خودتوان آن یک زنجیر متناهی باشد را نیم گروه ?-منظم می نامیم. این پایان نامه مشتمل بر سه فصل است. در فصل اول ابتدا مفاهیم مورد نیاز مشبکه ها و نیم گروه ها و همچنین همنهشتی ها و روابط گرین بیان می-شوند. در فصل دوم به معرفی نیم گروه t-منظم و ساختار این نیم گروه ها بر حسب درخت هایی از نیم گروه های کاملا صفرساده و مقطع و اتصال همنهشتی ها بر حسب تراکم همنهشتی می پردازیم. در فصل سوم هسته ی و اثر یک همنهشتی را معرفی می کنیم.

در این پایان نامه خواص مولدها و مولدهای تصویری دوری را در رسته ی s-سیستم های مرتب جزئی مورد مطالعه قرار می دهیم که در آن s یک تکواره مرتب جزئی است. نشان می دهیم برای هر a در رسته ی pos نگاشت pos(-,a) با عملی که روی آن تعریف می کنیم یک تابعگون مرتب جزئی با این ویژگی است که هر شیء از pos(s) پس از قرار گرفتن در آن می تواند به یک شیء در رسته ی (t)pos و بالعکس تبدیل شود. این ویژگی تحت شرایطی به ارتباط بین اشیاء تصویری دوری و مولدها در رسته های متفاوت می پردازد. در پایان شرایط معادلی را برای اشیاء تصویری دوری بیان می کنیم. ایده ی اصلی این پایان نامه از مقاله ی laan, v. generators in the category of s-posets. cent. eur. math. 6(3), 357-363(2008) گرفته شده است.

می دانیم در رسته s – سیستم ها ، شی انژکتیو موجود است ، نشان می دهیم مجموعه های مرتب جزئی و s - سیستم های مرتب ، شی انژکتیو غیر بدیهی ندارند و همچنین مجموعه های مرتب جزئی انژکتیو منظم دقیقا مجموعه های مرتب جزئی کامل هستند. سپس نشان می دهیم که هر سیستم مرتب انژکتیو منظم کامل است و عکس آن نیز در حالتی که s - گروه جزئی مرتب باشد برقرار می شود. در این پایان نامه ، ابتدا مفاهیم مورد نیاز از مجموعه های مرتب جزئی را بیان می کنیم و سپس به مفاهیم کلی رسته ها و s- سیستم ها می پردازیم.پس از آن رسته s– سیستم های مرتب و کامل را معرفی می کنیم و رابطه همنهشتی و تکریختی و بروریختی در رسته s- سیستم های مرتب را بیان می نماییم.در ادامه m- انژکتیو های منظم و کامل را در مجموعه های مرتب جزئی و s- سیستم های مرتب را مورد مطالعه قرار می دهیم. ایده اصلی این تحقیق از مقاله زیر که در سال 2010 تحت عنوان : banaschewskis theorem for s-poset : regular injectivity and completeness توسط ابراهیمی و محمودی و رسولی به چاپ رسیده ، گرفته شده است و با استفاده از سایر منابع ، سعی شده اکثر مفاهیم به طور پایه ای و دقیق مورد بررسی قرار گیرند.

مفهوم گاما-حلقه اولین بار توسط نوباساوا در سال 1964 معرفی شد. این پایان نامه با هدف فراهم نمودن مرجعی مناسب برای دانشجویان علاقمند در سرآغاز تحقیقات و مطالعات در رابطه با نظریه گاما-حلقه ها تدوین شده است. پژوهش حاضر بررسی گاما-حلقه ها را به همراه تنوع مطلب بسیاری در خود داده است. روند بررسی موضوع به نحوی انتخاب شده است که در ابتدا ابزار مورد نیاز را فراهم آورده و در ادامه کاربرد هریک به نحو شایسته بیان شود. برای این منظور مطالب در چهار فصل با عناوین مفاهیم و قضایای مقدماتی، گاما-حلقه ها، حلقه های عملگر وابسته و رادیکال اول و رادیکال جیکوبسن تدوین شده است.

ما یک نیاز جدید و شرط کافی برای سیستم های دوری که یک پوشش پروژکتیو می دهند را ارائه میدهیم.ما یک برهان جدید از کلاسهای ایزوبل ونتیجه درباره ی پوشش های پروژکتیوی ارائه می دهیم وما نشان می دهیم شرط p پوشش ها یکتا نیست.

و s ??act -سیستم ها s از رسته ?? تلفیق (s ??pos)?? -سیستم های مرتب جزئ s رسته است. (pos) ?? رسته مجموعه های مرتب جزئ s روی mr و k ،d? ، a رابطه بین شرط های ? ?? در این پایان نامه بررس ?? مبحث اصل -سیستم های مرتب هموار قوی و تصویری s و همچنین رابطه بین s و تمامیت مرتب باشد. ?? م s با تمامیت مرتب نوشته ی perfection for pomonoids این پایان نامه تحقیق از مقاله ?? ایده ی اصل شده ?? گرفته شده و با استفاده از سایر منابع سع v ictoria gould: lubna shaheen قرار گیرند. ?? است مفاهیم به طور دقیق مورد بررس -سیستم های مرتب تصویری، s -سیستم مرتب، s واره مرتب، ?? واژه های کلیدی: ت واره مرتب کامل. ?? -سیستم های مرتب هموار قوی و ت s

در این پایان نامه ابتدا در مورد نظریه ی کوروش رادیکال از s- سیستم ها بحث می شود و سپس رادیکال های موروثی مورد بررسی قرار داده می شوند. هنک رادیکال موروثی که به هر s- سیستم a یک ریس همنهشتی تخصیص می دهد، کوروش رادیکال موروثی می باشد. در ادامه، کلاس های هم ارزی s- سیستم های انژکتیو، تاب موروثی t را تعریف می کنند که تاب موروثی t ، دقیقا هنک رادیکال های موروثی اند. اما یا این تفاوت که همنهشتی t(a) از a نیاز نیست که ریس همنهشتی باشد. کلاس های تاب و بی تاب معین شوند. هم چنین چندین تاب موروثی ممکن است کلاس تاب یکسانی را مشخص کنند که همیشه یک کلاس رادیکال است که تحت زیرسیستم ها بسته می باشد. در پایان، مثال ها نشان می دهند که یک تاب موروثی نیاز نیست که رادیکال موروثی باشد.

در این پایان نامه، رسته ای از سیستم ها روی یک نیم گروه (رده تکریختی های خالص)، بر اساس نوعی خاص از تکریختی های خالص با روشی برگرفته از روش گولد را مورد مطالعه قرار می دهیم. سپس به تفصیل به بررسی سه نوع اساسی بودن نسبت به این رده می پردازیم و چند معیار مفید جهت ویژگی های داخلی آن ها ارائه می دهیم. سرانجام ارتباط بین انژکتیوی، اساسی بودن، درون بری و پوشش های انژکتیوی نسبت به رده ی تکریختی های خالص دنباله ای را مورد بررسی قرار می دهیم.

قضیه ی شور بیان می کند که برای گروه g، متناهی بودن g/z(g)، متناهی بودن g را نتیجه می دهد. عکس این قضیه در حالت کلی برقرار نیست. در این پایان نامه نشان می دهیم که تحت شرایطی، عکس قضیه ی شور برقرار است. و کران هایی مناسب برای گروه خارج قسمتی g/z(g) پیدا می کنیم. در واقع نشان می دهیم که اگر g متناهیاً تولید شده باشد به طوری که g متناهی باشد، آن گاه g/z(g) متناهی است. و اگر g گروهی دلخواه باشد و d(g/z(g)) و g متناهی باشند آن گاه. |g/z(g)| ?| g|d(g/z(g)) که d(x)، حداقل تعداد مولدهای گروه x است. هم چنین در این پایان نامه گروه هایی را معرفی می کنیم که در عکس قضیه ی شور صدق می کنند.

تکواره های مرتب جزیی s را به صورت در نظر می گیریم که g یک گروه مرتب جزیی و i یک ایده ال مرتب جزیی s است و نشان می دهیم که اگر یک s- سیستم مرتب جزیی به عنوان یک - سیستم مرتب جزیی، هموار ضعیف اصلی، هموار (ضعیف)، هموار مرتب جزیی، هموار مرتب جزیی ضعیف (اصلی) و بی تاب (مرتب جزیی) باشد یا در شرط های ، ، ، ، ، یا صدق کند، آنگاه به عنوان یک s- سیستم نیز این خاصیـت ها را دارد . همچنین نشان می دهیم یــک s- سیستم مرتب که به عنوان یک - سیستم مرتب جزیی، آزاد، تصویری یا هموار قوی باشد، در حالت کلی ممکن نیست به عنوان یک s- سیستم مرتب جزیی این خاصیت- ها را داشته باشد .

در سال ‎1971‎ اشتنتروم با هدف مطالعه –s ‎سیستم هایی خاص، که او آنها را هموار قوی نامید، مقاله ای را چاپ و منتشر کرد ]17[. مقاله اشتنتروم به ‎-s‎سیستم هایی چون ‎ اختصاص دارد و بیان می کند که تابعگون ×--‎ که از رسته ‎-s‎سیستم های چپ به رسته مجموعه هاست، تحت شرایطی، عقب بر و برابر ساز را حفظ می کند. ولی در مورد حفظ سایر حدود از جمله حاصل ضرب یا اشتراک متناهی یا دلخواه،درمطالعه ای انجام نشده است. از جمله کسانی که تحقیقات اشتنتروم را ادامه دادند، بولمن- فلمینگ و لان بودند که در سال ‎‎2001 مقاله ای تحت عنوان «‎‎حاصل ضرب تانسوری و حفظ حدود، برای سیستم هایی که روی تکواره ها تعریف می شوند»‎]6[‎ را چاپ و منتشر کردند که مرجع اصلی این پایان نامه می باشد. در این پایان نامه، با استفاده از مقاله فوق و چند منبع دیگر، حالات مختلف همواری در ‎-s‎سیستم ها و به خصوص ‎-sسیستم های خارج قسمتی مورد بحث و بررسی قرار گرفته و در پایان ارتباط بین آنها بیان شده است.

در این پایان نامه ابتدا چند تعریف اساسی را بیان می کنیم و در ادامه هدف اصلی نگارش این رساله را عنوان می کنیم. یک شبه گروه ) . (q , را که شامل عضو همانی 1 باشد, یک طوقه می نامیم. حال اگرq یک طوقه متناهی باشد, آن گاه می توانیم به ازای هر عضو a در q دو جایگشت ra و la را روی q la(x)=a.x ) و ra(x)=x.a) تعریف کنیم. در نتیجه < la , ra : a ? q > m(q)=را گروه ضربی از q و i(q) را گروه نگاشت داخلی از طوقه q می نامیم. این دو گروه که نظریه ی طوقه ها و نظریه ی گروه ها را به هم مرتبط می کند توسط براک در سال 1946 معرفی شد و او اولین کسی بود که به بررسی ساختار طوقه ها با به کار گیری نظریه گروه ها پرداخت. فرض کنیم g یک گروه و h یک زیرگروه آن باشد. در این صورت g?g hg ? را هسته h در g گوییم و با نماد lg(h)=hg نمایش می دهیم. اگر گروهی هم چون g با گروه نگاشت داخلی از یک طوقه هم چون q, (inn(q)) یکریخت باشد, آن گاه g را یک گروه طوقه ای توانا می نامیم. هدف اصلی ما در این پایان نامه در حقیقت پاسخ به این سوال است که آیا همه ی گروه های آبلی می توانند طوقه ای توانا باشند یا نه؟ که در پاسخ به این سوال نیمنما ثابت می کند گروه های آبلی متناهی با هسته نابدیهی نمی توانند طوقه ای توانا باشند, لذا به کمک این حکم ساختار برخی گروه های آبلی متناهی که نمی توانند طوقه ای توانا باشند تعیین می شود که هدف اصلی این رساله می باشد.

هدف از این پایان نامه توصیف نیم گروه ها با سیستم های انژکتیو چگال دنباله ای ‏است. ‏مفهوم تکریختی های چگال دنباله ای و انژکتیوی اولین بار توسط ژولی برای سیستم ها )n?,min)تکر?خت?هایچگال دنبالهای وانژکت?وی اول?نبار توسط ژول? برای س?ستمها رویتکواره ‎ ‎ ‏معرفی گردید. ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎در این پایان نامه این مفهوم‏‏، روی یک نیم گروه دلخواه توسعه ‏داده می شود. رفتار مفاهیم انژکتیوی‏، ضرب‏، هم ضرب‏ و ضرب انژکتیوی آن ها را مورد مطالعه قرار می دهیم. رسته ی ‎s‎‎‎‏-سیستم ها از سیستم ها را روی نیم گروه ‎‎‎‎s‎‎‏ و زیر رده قراردادی ‎m‎‎‏ از تکریختی ها می گیریم و به طور مشابه مفاهیم انژکتیوی تحت ‎‎‎‎ m‎ و مفاهیم ضرب‏، هم ضرب و ضرب انژکتیوی را روی آن ها مورد مطالعه و بحث قرار می دهیم

با در نظر گرفتن m به‎ عنوان کلاسی از همه تکریختی ها در رسته a ، برای‎ مفاهیم ریاضی ‏نظیر انژکتیوی‏، حاصلضرب های تانسور و یکدست بودن نیاز به اطلاعات جبری بیشتری در خصوص زوج (a,m) داریم. ‎در‎ این پایان نامه a را‎‎‎‎‎‎ رسته همه ‎‎-sسیستم ها روی نیم گروه s و m_d را کلاس تکریختی های چگال دنباله ای در نظر می گیریم.در این خصوص مفاهیمی از قبیل حد و هم حد ا‏ین زوج ها را مورد مطالعه قرار می دهیم.بخشی از پایان نامه به طور مختصر به مبحث عملگر بستار ‏دنباله ای اختصاص دارد.