گروه متناهی g را یک گروه گویا (q-گروه) نامند هرگاه تمام سرشتهای g دارای مقادیر گویا باشند. در این رساله به مطالعه این گروهها و موضوعات مرتبط با این گروهها خواهیم پرداخت. فصل اول رساله به بیان پیشنیازها اختصاص دارد. فصل دوم این رساله به مطالعه گروههای گویای 2-فروبنیوس اختصاص دارد. در این راستا نتایج جالبی به دست آمد. به ویژه نشان دادیم که مرتبه چنین گروههایی تنها توسط دو عدد اول 2 و 3 شمرده می شوند. در ادامه نشان دادیم که چنین گروههایی همواره یک زیرگروه نرمال دارند که گروه خارج قسمتی با گروه متقارن از درجه 4 یکریخت است. در ادامه نیز چندین مثال از این گروهها را بیان کردیم. فصل سوم این رساله به مطالعه q1-گروهها اختصاص دارد. گروه متناهی g را یک q1-گروه نامند هرگاه سرشتهای غیرخطی آن گویا باشند. این مفهوم تعمیمی از مفهوم گروه گویا می باشد که به صورت سره مفهوم گروههای گویا را در بر میگیرد. در این مطالعه یک معیار مبتنی بر نظریه گروه برای شناسایی این گروهها به دست آمد که در مطالعه این گروهها بسیار مفید می باشد. همچنین چندین قضیه ساختاری در مورد این گروهها به دست آمد. در ادامه نشان دادیم که مفهوم گروه گویا و q1-گروه در مورد گروههای غیرحلپذیر، دو مفهوم کاملا یکسان هستند. پس از آن به مطالعه 2-گروههای از نوع q1-گروه پرداختیم که در این راستا چند قضیه ساختاری به دست آمد. در فصل چهارم این رساله به مطالعه q1-گروههای فروبنیوس و 2-فروبنیوس پرداختیم. در این قسمت با توجه به ارتباط بین زیرگروه غیرپوچ و هسته فروبنیوس حالتهای مختلفی به دست آمد که این حالتهای در فصل چهارم بیان شده اند. همچنین برای هر حالت مثالهایی نیز ارائه کردیم. در نهایت توابع استفاده شده در نرم افزار gap، که برای محاسبات رساله و یافتن مثالها مورد استفاده قرار گرفته بود را بیان کردیم.

فرض کنید g یک گروه جایگشتی اولیه متناهی است که روی مجموعه ای عمل می کند. اگر مداری نابدیهی یا اجتماعی از مدارهای پایدارساز شامل مدار تک-نقطه ای داشته باشیم آنگاه می توان دید که آن مدار تحت g یک طرح متقارن است. به علاوه، اگر مدار خود-جفت باشد آنگاه طرحی خود-دوگان بدست می آید. در این رساله طرحهای حاصل از کلیه نمایشهای جایگشتی برخی گروههای خطی خاص تصویری و نیز کدهای دودویی برخی طرحهای حاصل با استفاده از نرم افزار مگما ساخته شده و همچنین، ویژگیهای اساسی و گروههای خودریختی آنها محاسبه میگردد. همچنین، طرحها و کدها را در حالتی کلی نیز بررسی می نماییم.

کدهای خطی با مینیمم فاصله ی بزرگ از کدهای مهم تصحیح کننده ی خطا در نظریه ی اطلاعات هستند‎.‎ کدهای متعامد کاربردهای زیادی در دیگر شاخه های ریاضیات دارند‎.‎ در این پایان نامه کدهای متعامد دوتایی تولید شده توسط ماتریس های وزن مدول های متناهی البعد جبر لی ساده ی sl(n, c)را مطالعه می کنیم‎.‎ در تعیین مینیمم فاصله ها‎،‎ از گروه های وایل و شاخه ای از قوانین نمایش های تحویل ناپذیر جبر لی ساده ی‎ sl(n,c) ‎ استفاده کرده ایم.این پایان نامه‎،‎ شامل ‎4‎ فصل می باشد‎.‎ در فصل اول‎،‎ با تعاریف و مفاهیمی در نظریه ی کدگذاری آشنا می شویم‎.‎ در فصل دوم‎،‎ اصطلاحات و قضایایی از جبر لی گنجانده شده است‎.‎ فصل سوم‎،‎ بررسی نمایش جبر لی ساده ی‎ sl(n, c) ،‎متشکل از ماتریس های ‎ n * n با اثر صفر‎،‎ می باشد‎;‎ در این فصل گروه وایل و عمل آن روی فضاهای وزن مطرح می شود که نتایجی از این مطالب در تعیین مینیمم فاصله های کدها‎،‎ که به طور کلی کار راحتی نیست‎،‎ نقش موثری دارند و در نهایت در فصل چهارم‎،‎ کد ساخته شده توسط جبر لی ساده یsl(n,c) ‎ معرفی می شود.

در این پایان نامه به بررسی گروه های تجزیه ناپذیری که فراتینی این گروه ها زیر گروهی نرمال ماکسیمال است،می پردازیم و نشان خواهیم داد این گروه های تجزیه ناپذیر به ازای شرایطی، گروه هایی نیم ساده خواهند بود و همچنین در انتها به کند و کاوش در گروه های ساده ایی که حاصلضرب (4)l3 و گروهی جایگشتی یا متناوبند، خواهیم پرداخت.

فرض کنیم g یک گروه متناهی و d(g)دنباله درجات رئوس گراف اول آن باشد. در این صورت گروه g را k-تشخیص پذیر توسط مرتبه و دنباله درجات رئوس گراف اول گوییم هرگاه k گروه غیر یکریخت مانند h وجود داشته باشد به طوری که |g|=|h| و d(g)=d(h). حال اگر k=1 آن گاه گوییم گروه g تشخیص پذیر است. در این رساله نشان می دهیم که گروه خطی خاص تصویری psl_3(2^n به ازای n=4,5,6,7,8,10,12 تشخیص پذیر است. سپس به رده بندی گروه های تقریبا ساده مرتبط با psl_3(8) و e_6(2) تو سط مرتبه و دنباله درجات رئوس گراف اول آن ها خواهیم پرداخت.

در این رساله‏، تشخیص پذیری برخی از گروه های تقریبا ساده را با دو ابزار مرتبه ی گروه و دنباله درجه رئوس گراف اول گروه‏، بررسی خواهیم کرد. ‏یک بار گروه های تقریبا ساده را مرتبط با گروه ساده ی ‎$ ‎psu‎_{3}((17)‎‎ $‎ و بار دیگر مرتبط با ‎$ psl‎_{3}(25)‎ $‎ در نظر می گیریم. تفاوت هایی که بین کارهای ما و دیگر مقالات کار شده در این زمینه وجود دارد این است که‏، گراف اول گروه های تقریبا ساده ی مورد مطالعه ی ما در حد یکریختی منحصر به فرد نخواهند بود و همچنین گروه ساده ی $ psl‎_{3}(25)‎ $‏، بزرگ ترین گروه خودریختی خارجی را در بین کارهای مشابه دارا می باشد. ‎‎‏بنابراین این ویژگی ها‏، کارهای ما را از دیگر کارهای مشابه در این زمینه مجزا می کنند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

علاقمندی به مطالعه فضاهای تانسوری متقارن شده، به ساختارهای فضاهای گراسمان برمی گردد. توسیع نظریه گراسمان به فرمهای دیفرانسیل خارجی که توسط کاردان انجام شد و کاربردهای وسیع این فرمها در همه جای هندسه دیفرانسیل، مظریه های فیزیکی و معادلات دیفرانسیل تصادفی، انگیزه بیشتری برای مطالعه آنها برانگیخت . کارهای کلاسیک دیگر کلاس تقارن تانسورها در زیرفضاهای همگن حلقه های چند جمله ای ظاهر شده است . در واقع فضاهای گراسمان و زیرفضاهای همگن حلقه های چند جمله ای، حالات خاصی از کلاس تقارن تانسورها هستند که در اواخر قرن نوزدهم شناخته شده اند و لذا مطالعه روی این کلاس ها قدمتی حدود یک قرن دارد. در سالهای اخیر مطالعه روی این کلاس ها یکی از پرجاذبه ترین موضوع های جبر چند خطی بوده است و ریاضیدانان زیادی روی رده وسیعی از مسائلی که با این کلاس ها ارتباط دارند، کار کرده اند. در سی سال اخیر، مطالعه این کلاس ها روی زوج (g,x) که در آن g یک گروه جایگشتی روی n حرف و x یک سرشت تحویل ناپذیر آن می باشد، متمرکز بوده است . با داشتن فضای برداری v، کلاس تقارن تانسوری وابسته به گروه جایگشتی g و سرشت تحلیل ناپذیر x را با نماد vnx(g) نسبت داده اند و یا این کلاس ها تجزیه ای برای حاصلضرب تانسوری توان nام، v یعنی nv بدست آورده اند. (این کار توسط پبرس [pi] و فریز [f] بطور مستقل در اوایل دهه 70 میلادی انجام شده است . مسائل عمده و اساسی که مورد بحث بوده و هستند، یافتن فرمول صریح بعد کلاس تقارن تانسوری vnx(g) برای گروههای جایگشتی دلخواه g روی n حرف به همراه سرشتهای تحویل ناپذیر آن می باشد. اولا برای کدام gها و کدام xها، vnx(g) نابدیهی است و ثانیا در صورت نابدیهی بودن این فضاها بحث وجود یا عدم وجود -o پایه، برای این فضاهای خاص مطرح است . مسائل تحقیقاتی حل نشده ای هستند که عمری حدود چهل سال دارند. کارهای بسیار قوی روی دو جنبه مسئله از دهه 70 میلادی شروع شده است . بعنوان مثال، مریس [m3, 4, 5, 6]، الویرا و سیلوا [od1,2]، مارکوس و شولت [mc1, 2, 3, 4]، هولمز و تم [h,ht]، شهابی و شهریاری [ss]، درفشه و پورنکی [dp1, 2, 3, 4] روی این مسائل کار کرده اند. ما در این رساله علاوه بر اینکه مسائل را بصورت مجرد برای حاصلضرب مستقیم و مرکزی گروههای جایگشتی بررسی می کنیم، آنرا بصورت دیگری روی توابع کلاسی تعمیم خواهیم داد و مسائل فوق را نیز برای رده ای از گروههای جایگشتی معروف به u6n و v8n بررسی خواهیم نمود. لذا این رساله را در پنج فصل تقسیم کرده ایم، در فصل نخست به یادآوری مطالبی سنتی درمورد گروههای جایگشتی و حاصلضربهای مستقیم و مرکزی گروهها و تکنیکهایی از نظریه سرشت و نمایش گروههای متناهی و مباحثی در جبر چند خطی اشاره کرده ایم، که در واقع چارچوب اصلی رساله را تشکیل می دهند. در فصل دوم کلاس تقارن تانسوری را معرفی نموده ایم تا بتوانیم کارهای تحقیقاتی را بیان نماییم. در فصل سوم ابعاد فضاهای تانسوری متقارن محاسبه می شوند و در پی آن در فصل چهارم پایه های متعامد این فضاها بررسی می شود. سرانجام، در فصل پنجم به بررسی پایه های متعامد در کلاس تقارن تانسوری وابسته به u6n و v8n پرداخته ایم. از این رساله در حال حاضر سه مقاله استخراج شده است که در مجلات بین المللی پذیرش چاپ یا تحت بررسی قرار دارند.

این پایان نامه در چهار فصل شامل دوازده بخش نوشته شده است که فصل آخر آن کارهای تحقیقاتی است که شخصا"انجام شده است . فصل اول که شامل بخشهای 0 ، 1 ، 2 ، می باشد، مفاهیم و تعاریف مقدماتی و قضایای لازم را بیان می کند. در فصل دوم که شامل بخشهای 3 و 4 می باشد، قضیه اساسی گروههای بطورکلی بازنویس پذیر را ثابت کرده و ساختار گروهها در p3 را بررسی می کند. در فصل سوم که شامل بخشهای 8-5 می باشد، خواص گروههای بازنویس پذیر را مورد مطالعه قرار می دهد. در فصل چهارم که شامل بخشهای 11-9 می باشد، حلپذیری و پوچتوانی را تعمیم می دهد.

با توجه به اینکه نمایش ها و سرشت های یک گروه در نظریه گروهها دارای جایگاه خاصی هستند برآن شدیم تا p - گروههای متناهی که دارای سرشتهای تحویل ناپذیر باوفا و از درجه متمایز هستند دسته بندی کنیم در این راستا ابتدا نمایش و سرشت ها بطور کامل توصیف شده، سپس دو p - گروه خاص معروف به special extra و حاصلضرب حلقوی دو p - گروه معرفی شده است .

در فصل اول تاریخچه ای فشرده از نظریه گروههای جایگشتی ذکر شده است . در فصل دوم یکسری مفاهیم و قضایای بنیادی گروههای جایگشتی به همراه ایده های اساسی آورده شده است که البته شاید شامل همه مفاهیم گروههای جایگشتی نباشد. (مرجع [6] منبع نسبتا جامعی برای مفاهیم بنیادی گروههای جایگشتی است). در ادامه این فصل با تعریف گروههای شبه متناهی، گروههای جایگشتی نامتناهی مطرح می شوند و سپس گروههای متناهیک به عنوان دوگان گروههای شبه متناهی تعریف شده و یکسری خواص مقدماتی این نوع گروهها ذکر شده است . جایگشت متناهیک تنها تعداد متناهی نقطه ثابت دارد و ترکیب دو جایگشت متناهیک ، ممکن است متناهیک نباشند ولی نشان می دهیم چنین گروههایی وجود دارند. این خاصیت سرمنشاء مشاهده یکسری خواص عجیب در این نوع گروهها خواهد بود. در فصل سوم به مطالعه ساختار این نوع گروهها خواهیم پرداخت . ابتدا به رده بندی گروههای متناهیکی که همه مدارهای آنها متناهی است می پردازیم و در بخش 3.2 به مطالعه زیرگروههای نرمال یک گروه متناهیک خواهیم پرداخت . در بخش 3.3 نشان می دهیم اگر شمارا باشد، مجموعه زیرگروههای متناهیک در sym() ناشماراست و هر زیرگروه متناهیک مشمول زیرگروهی متناهیک و ناشماراست . در بخش 3.4 گروههای متناهیک را به عنوان زیرگروههای sym() در نظر می گیریم. مهمترین نتیجه ای که در این بخش می گیریم این است که اندیش هر زیرگروه متناهیک در sym() ناشماراست . همچنین در این بخش نشان می دهیم هیچ زیرگروه متناهیکی از sym() نمی تواند نرمال و یا ماکسیمال باشد. در فصل چهارم مثالهایی متنوع از گروههای متناهیک را معرفی خواهیم کرد و نشان می دهیم که یکسری گروههای معروف را می توان به عنوان گروههای متناهیک در نظر گرفت . از جمله گروههای فروبینیوس نامتناهی خواهیم دید که در حالت نامتناهی خواص شناخته شده گروههای فروبینیوس برقرار نیست . گروه برنساید، b(n,r) یعنی گروهی با n مولد و توان r یکی دیگر از گروههای معروف است که متناهیک بودن آنها را در حالتی که نامتناهی باشند، نشان خواهیم داد. تعدادی مساله باز نیز در جای مربوط به خود مطرح خواهند شد.

گروه g ساده است ، اگر و فقط اگر زیر گروه قطری gxg، یک زیر گروه ماکسیمال باشد. این خصوصیت جالب بسیار ساده اثبات می شود و انگیزه ای برای پاسخ به این سوال ایجاد می کند که چگونه می توان همه زیرگروههای ماکسیمال gn را تعیین کرد، در حالی که منظور از gn، حاصلضرب مستقیم n نسخه از g می باشد. هدف اول این پایان نامه پاسخ دادن به این سوال می باشد. بخصوص نشان خواهیم داد که اگر g یک گروه کامل باشد، آنگاه هر زیر گروه ماکسیما gn، تصویر معکوس یک زیر گروه ماکسیمال g2 وابسته به یک نگاشت تصویر چون :gn--->g2 بر روی دو عامل می باشد. اگر g یک گروه متناهی باشد، ما تعداد زیرگروههای ماکسیمال gn را با m(gn) نشان می دهیم. اگر gcp گروه دوری از مرتبه p باشد، آنگاه m(cnp)pn-1/p-1 بنابراین m(cnp) یک تابع نمایی از n می باشد، از این مطلب براحتی نتیجه می شود که اگر g کامل نباشد، آنگاه m(gn) به طور نمایی رشد می کند. بالعکس ، اگر g کامل باشد، این واقعیت که هر زیر گروه ماکسیمال gn حاصل از g2 می باشد متضمن این نکته است که m(gn) یک چند جمله ای درجه دوم بر حسب n می باشد. ما یک فرمول صریح برای m(gn) بدست خواهیم آورد (بر حسب متغیرهایی که تنها به g بستگی دارند). حداقل تعداد مولدهای یک گروه متناهی h که با d(h) نشان می دهیم، قویا وابسته به تعداد زیر گروههای ماکسیمال h می باشد. به طور مثال اگر h تنها یک زیر گروه ماکسیمال داشته باشد، آنگاه h دوری است (مرتبه اش یک عدد اول می باشد) و d(h)1 بنابراین چندان تعجب آور نیست که نتایج فوق مبین این مطلب هستند که d(gn) لگاریتمی رشد می کند و وقتی g کامل نیست d(gn) خطی رفتار می کند. این نتایج اساسا از [w1, w2] wiegold می باشند، ولی [t] thevenaz حلی جدید ارائه داده است که مبتنی بر مطالعه و بررسی زیر گروههای ماکسیمال می باشد. یک روش عمومی برای پیدا کردن زیر گروههای ماکسیمال یک گروه متناهی را aschbacher و [a-s] scott ارائه کرده اند. البته بررسی ما در ارتباط با زیرگروههای ماکسیمال به کار مهم آنها وابسته نیست . یک تصوری که ممکن است وجود داشته باشد، این است که اگر g یک گروه متناهی مولد باشد با بزرگ شدن n، d(gn) نیز به سمت بینهایت می گراید. در فصل سوم با ارائه مثالی که از [h] hirshon است ، نشان می دهیم که این تصور اشتباه است ، مثالی که ارائه خواهیم کرد دارای این خاصیت است که d(gn) برای هر n ثابت و برابر چهار است . در این بررسی نیازمند یک سری تعاریف ، قضایا و مسائل و مفاهیم مقدماتی هستیم که در فصل پیشتازها به آنها خواهیم پرداخت .

این پایان نامه در چهار فصل تنظیم شده است: فصل اول ، تعاریف و مفاهیم اولیه .فصل دوم، سرشت نمایی گروههای متناهی توسط مرتبه مولفه های همبند آنها. فصل 3،مرتبه عناصر گروه ‏‎t<out(g),(psl3(q):t‎‏ فصل 4، سرشت نمایی گروههای ‏‎psl(3,q)‎‏ به ازای مقادیر معینی برای ‏‎q‎‏ توسط مرتبه عناصر این گروهها.

یکی از موضوعات جالب توجه در نظریه گروهها، بحث در مورد گروههای تجزیه پذیر می باشد. گروه ‏‎g‎‏ را تجزیه پذیر گویند اگر زیر گروههای محض از ‏‎g‎‏ مانند ‏‎b,a‎‏ موجود باشند بطوریکه ‏‎g=ab‎‏. هر گاه ‏‎b,a‎‏ زیرگروههای ماکسیمال ‏‎g‎‏ باشند این تجزیه را ماکسیمال می نامند. نمونه های بسیاری از گروههایی که تجزیه پذیر نیستند وجود دارد. اگرچه تجزیه ماکسیمال کلیه گروههای ساده متناهی پیدا شده اند ولی تا زمان نگارش این رساله شناسایی کلیه گروههای تجزیه پذیر بعنوان یک مسئله حل نشده مطرح است. تعدادی از محققین تلاش خود را روی این موضوع متمرکز کرده اند که اگر ‏‎b,a‎‏ دارای خواص معینی (نظیر پوچتوانی، حلبپذیری، آبلی، دوری و ...) باشند آنگاه در مورد ‏‎g‎‏ چه می توان گفت. و تعدادی دیگر به شناسایی گروههای تجزیه پذیر که عوامل تجزیه آنها یکریخت با گروه متناوب یا متقارن روی ‏‎n‎‏ حرف باشد پرداخته اند. برای اولین بار در سال 1975 میلادی ‏‎w.r.scott‎‏ کلیه گروههای متناهی تجزیه پذیر که یکی از عوامل تجزیه آن با گروه متناوب ‏‎a5‎‏ یکریخت است را شناسایی کرد. در سال 1992 میلادی ‏‎g.l.walls‎‏ مسئله را در حالتی که یکی از عوامل تجزیه با گروه متقارن ‏‎‏‎s5‎‏ یکریخت باشد و عامل دیگر در تجزیه، زیرگروهی ساده باشد را حل کرد. در ادامه کارهای تحقیقاتی ‏‎g.l.walls‎‏ در این رساله ابتدا کلیه گروههای تجزیه پذیر که یکی از عوامل تجزیه با گروه متناوب ‏‎a6‎‏ یکریخت بوده و عامل دیگر با گروه متقارن ‏‎sn‎‏ برای ‏‎n>5‎‏ یکریخت است را شناسایی خواهیم کرد. سپس به شناسایی کلیه گروههای تجزیه پذیر ‏‎g‎‏ که یکی از عوامل تجزیه با گروه متقارن ‏‎s6‎‏ یکریخت بوده و عامل دیگر، زیر گروهی ساده از ‏‎g‎‏ می باشد، خواهیم پرداخت. برای رسیدن به این اهداف مفاهیمی از نظریه گروههای جایگشتی و بالاخص رده بندی گروههای جایگشتی اولیه با درجات معین، مورد استفاده قرار می گیرد.

در این پایان نامه به بحث بر روی حدس مشهور ‏‎s3‎‏ در پاسخ به این سوال که در کدامیک از گروههای متناهی هیچ دو کلاس تزویج متمایز هم مرتبه وجود ندارد؟، پرداخته و سپس مساله جدیدی که اخیرا مطرح شده است را مورد بررسی قرار می دهد. در این مساله نقیض مساله فوق یعنی تعیین آن دسته از گروههای متناهی که دقیقا دو کلاس تزویج متمایز هم مرتبه دارند، مورد بحث واقع می شود.