یک مجموعه ی تحمیلی برای تطابق کامل m در گراف g زیرمجموعه ی s ازm است به طوری که s در هیج تطابق کامل دیگری از گراف g واقع نشده باشد. عدد تحمیلی تطابق کامل m در گراف g اندازه ی کوچکترین مجموعه ی تحمیلی تطابق m است. مفهوم عدد تحمیلی در گراف ها، در سال ???? توسط هرری و همکارانش برای دستگاه های بنزنی مطرح شد و مفهوم مشابه با آن در سال ???? توسط کلین و رندیک با عنوان درجه ی آزادی ذاتی گراف ارائه شده بود. دراین پایان نامه عدد تحمیلی برای گراف های فولرن مورد بررسی قرار می گیرد. گراف فولرن یک گراف مسطح همبند و ?-منتظم است که همه ی وجه هایش پنج ضلعی و شش ضلعی هستند. با توجه به ?-گسترش پذیری و همبندی یالی دوری ? درگراف های فولرن که اخیرا ثابت شده است و ترکیب آن با نتیجه ی قدیمی کوتزیگ درباره ی گراف هایی که تطابق کامل یکتا دارند، نشان داده می شود که عدد تحمیلی برای تطابق های کامل در آن ها کم تراز ? نیست. این کران برای تعداد نامتناهی از گراف های فولرن به دست آمده است.

فرض کنید ‎$g$‎ یک گراف بدون پل و ‎${mathcal{c}}={c_1,ldots‎ , ‎c_k}$‎ گردایه ای از دورهای ‎$g$‎ باشد، به طوری که هر یال ‎$g$‎ دقیقاً در دو عنصر ‎${mathcal{c}}$‎ ظاهر شود، در این صورت ‎${mathcal{c}}$‎ را یک ‎gi{cdc}‎ ‎$g$‎ می نامند و آن را به اختصار با ‎gi{n:cdc}‎ نشان می دهند. در سال ‎1979‎ سیمور‎ ‎%‎‎‎ ‎gi{seymour}‎ حدس زد هر گراف بدون پل دارای یک ‎gi{n:cdc}‎ است. تاکنون هیچ مثال نقضی برای این حدس که به حدس ‎gi{n:cdc}‎ شهرت یافته، پیدا نشده و هم چنان بررسی درستی این حدس یکی از مسائل پژوهشی مهم و نسبتاً سخت در نظریه گراف است. از طرفی ارتباط تنگاتنگ این مفهوم با مفاهیم پرکاربردی مانند ‎gi{4-nzf}‎ بر اهمیت این حدس می افزاید. بنا بر رسم دیرینه، تعمیم هر مفهوم نیز درخور توجه است. از این رو حدس هایی تحت عناوین حدس ‎gi{ocdc}‎ و حدس ‎gi{scdc}‎ به عنوان مهم ترین تعمیم های حدس ‎gi{n:cdc}‎ مورد توجه محققان بوده اند. در این رساله در اولین گام به بررسی ‎gi{oppdc}‎ گراف ها می پردازیم. سپس حدسی را تحت عنوان حدس ‎gi{socdc}‎ ارائه و بررسی می کنیم که ترکیبی از حدس ‎gi{ocdc}‎ و حدس ‎gi{scdc}‎ است. سپس با بررسی مفهوم ‎gi{se}‎، رابطه ای بین ‎gi{2se}‎ و ‎gi{cdc}‎ به دست می آوریم. در پایان به مفهوم ‎gi{cdc}‎ برای گراف های نامتناهی می پردازیم.