فرض کنیم b و f دو منیفلد ریمانی با ابعاد مثبت و به ترتیب مجهز به متریک های ریمانی gb و gf باشند. تابع دیفرانسیل پذیر مثبت f روی b را در نظر می گیریم. منیفلد حاصلضرب b×f مجهز به متریک ریمانی g = gb+(f^2)gf را حاصل ضرب تاب دار b و f نامیم. منیفلد حاصلضرب(b × f, g) را با m = b ×f f نشان می دهیم. فرض کنید m1 ×? m2 حاصلضرب تاب دار از دو منیفلد ریمانی باشد و ?i : ni ?? mi برای i = 1, 2، غوطه وری های ایزومتریک از منیفلدهای ریمانی n1 و n2 به ترتیب بر روی منیفلدهای ریمانی m1 و m2 باشند. تابع مثبت f روی n1 را به صورت f = ?o?1 تعریف می کنیم. در این صورت نگاشت ? : n1 ×f n2 ?? m1 ×? m2 تعریف شده توسط ((?(x1, x2) = (?1(x1), ?2(x2 یک غوطه وری ایزومتریک است که غوطه وری حاصلضرب تاب دار نامیده می شود.

در این پایان نامه معادلاتی که کلاسی از متریک های فینسلر مسطح تصویری با انحنای پرچمی ثابت را به طور موضعی مشخص می کنند، پیدا می کنیم. انحنای پرچمی در هندسه فینسلری مشابه هندسه ریمانی تعریف می شود و تابعی از صفحه دو بعدی مماس بر منیفلد است.

بعد از شکل گیری هندسه فراکتالی‏، توجه ریاضیدانان به برآورد بعد مجموعه ها و بعد فراکتالی مجموعه ها در فضاهای مختلف جلب شد. ‎‎در فصل سه از این گردایه به بررسی قضایایی پیرامون بعد جعبه ای مجموعه ها می پردازیم و در فصل بعد‏، برآوردی از بعد فراکتالی مجموعه های پایا در منیفلد ریمانی کامل را خواهیم داشت و در نهایت کاربردی از آنچه بدان اشاره می کنیم را می آوریم.

در این پایان نامه حاصلضرب تابدار منیفلد ها با ارتباط غیر متریک شبه متقارن را بررسی می کنیم ورابظه ای مابین ارتباط لوی سویتا و ارتباط غیر متریک شبه متقارن از حاصلضرب تابدار دو منیفلد را پیدا می کنیم.همچنین نتایجی از منیفلدهای حاصلضرب انیشتینی با ارتباط غیر متریک شبه متقارن را بیان می کنیم.

در این پایان نامه‎‎، متریک فینسلر ‎‎با انحناء پرچم اسکالر بیان می شود. بررسی می شود کمیت های غیر ریمانی به انحناء پرچم ارتباط بیشتری دارد نشان داده می شود که انحناء پرچم ایزوتورپیک ضعیف است اگر و تنها اگر کمیت غیر ریمانی فرم خاصی بگیرد. این منجر به درک بهتری روی متریک فینسلر از انحناء پرچم اسکالر خواهد شد. در ادامه کمیت های غیر ریمانی و انحناء های ریمانی بیان می شود‏، کمیت غیر ریمانی ‎$‎‎‎h‎$‎ معرفی می شود و سپس تعمیمی از لم شور بیان خواهد شد. علاوه بر این‏،‎ یک معادله بین انحناء پرچم ‎‎‎$‎‎‎‎mathbf{k}‎‎$‎‎ و ‎‎$‎‎‎‎mathbf{h}‎‎$ ‎‎ برای متریک فینسلر از انحناء پرچم اسکالر بیان می شود. در نهایت، معادله بین انحناء پرچم ‎‎‎$‎‎‎‎mathbf{k}‎‎$‎‎ و ‎‎$‎‎‎‎mathbf{h}‎‎$ ‎‎ برای متریک فینسلر از انحناء پرچم اسکالر با برهانی از قضیه اثبات خواهد شد.

فرم فضای ساساکین تعمیم یافته نخستین بار در [ 1] معرفی شده است . از آن در [ 2]و نامساوی چن در [ 3] و ساختار زیرمنیفلدهای شیب دار جانشین شده در[ ?]،cr-زیرمنیفلدهادر [ ?] بررسی شده اند.همچنین انحنای ریچی تعدادی از زیرمنیفلدها در[ 8] وهمدیسهای هموار وموضعا متقارن در[ 9] ،وضعیت های متقارن دیگر در[ 7]و غوطه وری حاصل ضرب تابدار در [ 10 ] مطالعه شده اند.

زیرخمینه های شیبدار خمینه های تقریبا تماسی و تقریبا فرا تماسی لورنتسی

در این پایان نامه خمینه های شبه متری تماسی و خمینه های ‎$cr$‎ معرفی شده و رابطه بین این دو بررسی می شود. همچنین برخی قضایا که درمورد یک خمینه شبه متری تماسی برقرار است برای یک خمینه تقریبا ‎$cr$‎ ناتبهگون نیز اثبات می شود.