فرض کنید گراف g یک گراف ساده غیرجهت دار و متناهی باشد. انرژی گراف g به صورت مجموع قدرمطلق مقادیرویژه گراف g تعریف می شود. در این رساله به تعریف و بررسی انرژی لاپلاسین انرژی وقوع و شبه انرژی لاپلاسین ناوردای یک گراف می پردازیم. به علاوه چندین کران برای انرژی های مختلف از یک گراف از جمله گراف خطی را مطالعه می کنیم و بعضی روابط مربوط به گراف های هم انرژی از گراف های هم مرتبه و غیرهم طیف را مورد توجه قرار می دهیم.

فرض کنید p و q مربع های لاتین جزیی یکتا تکمیل پذیر باشند. تعیین شرط لازم و کافی برای یکتا تکمیل پذیری حاصل ضرب تکمیل پذیر p ? q یک مسئله باز است. ثابت می کنیم اگر p و q مربع های لاتین جزیی یکتا تکمیل پذیر باشند‘ آن گاه ضرب تکمیل پذیر p ? q در دو حالت زیر یکتا تکمیل پذیر است: اگر p یا q قویا یکتا تکمیل پذیر باشد. اگر p یا q تقریبا قوی یکتا تکمیل پذیر باشد. گاور حدس زد"اگر p و q مربع های لاتین جزیی یکتا تکمیل پذیر باشند, آن گاه p ? q نیز یکتا تکمیل پذیر است". این حدس در دو حالت فوق درست است. اما اخیرا آدامز و خودکار برای رد حدس گاور مثال نقضی ارائه نموده اند. آن ها مربع لاتین جزیی یکتا تکمیل پذیر مانند p ارائه داده اند که حاصل p ? q یکتا تکمیل پذیر نیست. در این پایان نامه مفهوم تریدهای لاتین در مربع های لاتین و ارتباط آن با یکتا تکمیل پذیری مربع های لاتین جزیی را می آوریم. و در آخر یک رده کلی از مربع های لاتین جزیی یکتا تکمیل پذیر مانند p را مشخص می کنیم که ضرب تکمیل پذیر p ? p یکتا تکمیل پذیر نیست.

در این پایان نامه مجموعه های بحرانی در مربع های لاتین تعریف شده و چندین قضیه در ارتباط با آنها ثابت شده است.و نشان می دهیم که cn در صورتی که n زوج باشد، شامل یک مجموعه بحرانی مینیمال از اندازه n?/? است. کران های پایین برای اندازه مجموعه های بحر انی در مربع های لاتین و نیز در مربع های لاتین متناظر با برخی از گروه های خاص نشان داده شده است. به علاوه ثابت شده است که اگر n > 5 باشد، آن گاه scs(n) > n+? است. در آخر برای دو مربع لاتین(جزئی) m و n به ترتیب از مرتبه های m و n حاصلضرب ان ها تعریف شده و برای دو مربع لاتین جزئی یکتا تکمیل پذیر یا دو مجموعه بحرانی نشان می دهیم که تحت شرایط خاص حاصلضرب آن ها نیز یکتا تکمیل پذیر و یا بحرانی خواهد بود. به ویژه ثابت می کنیم: *فرض کنید p یک مربع لاتین جزئی قویأ یکتا تکمیل پذیر به مربع لاتین m از مرتبه m و q یک مربع لاتین جزئی یکتا تکمیل پذیر به مربع لاتین n از مرتبهn باشد. آن گاه مربع لاتین جزئی r = p * q یکتا تکمیل پذیر به ضرب مستقیم مربع لاتین l = m * n است. * اگر p و q مجموعه های 2- بحرانی باشند و حداقل یکی از آن ها نیمه قوی یا قویأ بحرانی باشند. آن گاه مربع لاتین جزئی r = p * q نیز 2- بحرانی خواهد بود. واژه های کلیدی: مربع لاتین- مربع لاتین جزئی- مجموعه بحرانی- یکتا تکمیل پذیر- ضرب تکمیل پذیر

فرض کنید x و y دو راس غیرمجاور بدون همسایه ی مشترک در گراف چنگک آزاد g باشند.ثابت می شود خوشه ی جداساز بین x و y یک مانع برای وجود حفره گذرنده از x و y است. در این رساله، یک مانع برای وجود یک x-z مسیرالقایی گذرنده از x و y و z رئوس مشخص شده در گراف چنگک آزاد هستند یافت می شود. همچنین وجود مسیر دور از دسترس بررسی شده است.به علاوه، با استفاده از جایگشت حذفی مینیمال الگوریتمی برای تجزیه گراف توسط خوشه های جداساز ارائه می دهیم و سپس به کاربردهای این الگوریتم در مسائل np-کامل می پردازیم.

در فصل اول این پایان نامه بعد از مطرح کردن تعاریف اساسی به بحث مربعات لاتین خود متعامد می پردازیم و قضیه مندلسون در این رابطه که بیان میکند برای هر عدد صحیح مثبت که نسبت به 6 اول است مربع لاتین خود متعامد وجود دارد را ثابت می کنیم سپس نشان می دهیم برای هر عددی که به صورت توانی از یک عدد اول باشد solsnوجود دارد و در آخر این فصل نشان می دهیم برای هر عدد مخالف 2 و 3 و 6 مربع لاتین خود متعامد وجود دارد. در فصل 2 به بحث مربع لاتین مجرد وارد می شویم و ثابت می کنیم برای هر عدد مخالف 1 و 3 مربع لاتین مجرد وجود دارد. فصل 3 را با تعاریف اولیه مربع لاتین تک متعامد شوع کرده و مربع لاتین موجدار را تعریف کرده و ثابت می کنیم برای هر عدد صحیح فرد مربع لاتین موجدار تک متعامد وجود دارد. در فصل آخر بعد از عنوان کردن دو ساختار ضربی و الصاق ثابت می کنیم برای هر n مخالف 1 و 2 و 4 و 5 و 6 و n مخالف 2p که در آن p عدد اول بزرگتر یا مساوی 11 است مربع لاتین تک متعامد وجود دارد.

در این پایان نامه مربعات لاتین چندگانه را مورد بررسی قرار می دهیم. مربع لاتین چندگانه از مرتبه n و با اندیس k ، آرایه ای n×n از مجموعه های چند گانه از اندازه k است ، به طوری که هر نماد از مجموعه ثابت از اندازه k، n بار در هر سطر و k بار در هر ستون قرار داشته باشد. مربع لاتین چندگانه با اندیس k، هم چنین به وسیله k- مربع لاتین نمایش داده می شود. رابطه میان k- مربعات لاتین با دیگر موضوعات ترکیبیاتی مانند آرایه های متعامد، شبه مربعات لاتین را مورد بحث قرار می دهیم. نشان می دهیم که اگر مکعب لاتین جزئی n×n×n شامل حداکثر1- n سلول پر باشد، تکمیل پذیر است. هم چنین نشان می دهیم که r- شبه مربع لاتین جزئی با حداکثر?- n سلول پر، تکمیل پذیر است.

اخیرا برخی از ریاضی دانها به مطالعه و بررسی مربعات لاتین جزیی یکتا تکمیل پذیر و تکمیل ناپذیر علاقمند شده اند. انواع خاصی از چنین مربعات لاتین جزیی را به ترتیب مجموعه بحرانی و مربع لاتین جزیی پریمیچر می گویند. همچنین مربعات لاتین جزیی ماکسیمال نیز در این راستا مطالعه شده اند. در این پایان نامه ارتباط بین این سه ساختار را بررسی کرده ایم و تعدادی مساله باز در این باره در فصل 2 و4 ارائه می نماییم.