از آنجایی که رده بندی پوشش ها در نظریه ی پوشش های کلاسیک برای فضاهایی با رفتارهای خوب موضعی یعنی همبند مسیری موضعی و همبند ساده نیم موضعی انجام می شود، هنگام ظاهر شدن رفتارهای موضعی پیچیده، استفاده کردن از برخی نتیجه های این نظریه ناممکن است. از جمله می توان به وجود فضای پوششی جهانی اشاره کرد که شرط لازم و کافی شناخته شده برای وجود آن همبند مسیری موضعی و همبند ساده نیم موضعی بودن فضا است. ما در این رساله با بررسی پوشش های برخی از این فضاها که رفتار موضعی خوبی از خود نشان نمی دهند، پوشش های جدیدی معرفی نموده، بعد از نمایش اینکه آن ها فضاهای پوششی جهانی هستند، شرط لازم و کافی برای وجود چنین فضاهای پوششی جهانی ارائه می نماییم. همچنین، با استفاده از گروه هایی به نام اسپنیر که نخستین بار در کتاب خود او ( البته نه به این نام ) به کار گرفته شده است و با معرفی فضاهایی به نام فضای اسپنیر، اثبات می کنیم که همه ی فضاهای پوششی جهانی فضای اسپنیر هستند و بدین شکل فضای پوششی جهانی هر فضای دلخواه شناخته می شود. یکی دیگر از مفاهیمی که ارتباط عمیقی با نظریه ی پوشش ها دارد و اخیراً هم مورد توجه بسیاری از ریاضی دانان قرار گرفته است، گروه بنیادی توپولوژی است. از آنجایی که تناظر یک به یکی بین زیرگروه های باز این گروه ها که در ابتدا به عنوان گروه های توپولوژی شناخته می شدند و پوشش های یک فضا وجود دارد، نتیجه هایی نیز با استفاده از پوشش های معرفی شده در این رساله برای گروه های بنیادی توپولوژی بدست می آوریم. البته ابتدا با معرفی اشیاء خارج قسمتی در رسته ی ‎$h$‎-گروه ها و تعمیم نتایجی از رسته ی گروه های توپولوژی به این رسته، با دیدگاه دیگری به مبحث توپولوژی دار کردن گروه بنیادی می پردازیم. سپس اثبات های جدیدی از برخی نتیجه های قدیمی، ارائه داده و نتیجه های جدیدتری را نیز بدست می آوریم. در فصل پایانی این رساله، کاربردهایی از آنچه که در فصل های پیش ارائه شده در نظریه ی گروه های بنیادی توپولوژی بیان می کنیم که از جمله می توان به یافتن شرط هایی اشاره کرد که موجب ‎$t_1$‎ شدن توپولوژی گروه بنیادی می شود.

یک ناحیه نامرئی از یک جاذب ناحیه باز از جاذب است که مدار تقریبا هر نقطه با بسامد میانگین بسیار کم از آن ناحیه عبور می کند.

در این پایان نامه بعضی از ویژگی های سیستم های تابع تکرار و پادضرب ها را مطالعه می کنیم که تحت اختلال های کوچک استوار می مانند. در ابتدا نشان می دهیم سیستم های تکرار تابعی وجود دارند که دارای بیشمار نقطه تناوبی جاذب و دافع می باشند و این ویژگی تحت اختلال های کوچک استوار می ماند. همچنین آبشاری از پادضرب ها می سازیم که یک رویه ی فشرده را به عنوان تار اختیار می کنند و همگی دارای اندازه های ناوردای ناهذلولوی می باشند. در ادامه گوی بازی در فضای پادضرب ها در ‎$c^1$‎- توپولوژی معرفی می کنیم به طوری که هر پادضرب از رده ی ‎$c^2$‎ واقع در آن ساختاراً پایدار است و به علاوه دارای جاذبی بیشین است که یک سادک ‎$m$‎- بعدی را در درون خود جای می د هد. به ویژه، نشان خواهیم داد که این ویژگی ها تحت اختلال های کوچک این پادضرب ها در فضای دیفیومورفیسم های هموار حفظ می شود. در انتها، مجموعه ی بازی از پاد ضرب ها روی یک منیفلد فشرده ی ‎$m$‎- بعدی را می سازیم که روی یک مجموعه ی ناوردای فشرده با درون ناتهی، آمیخته ی توپولوژیکی هستند و این ویژگی تحت اختلال های کوچک در فضای پادضرب ها استوار می ماند. به علاوه برای تقریباً تمام نقاط واقع در یک تار، فاصله ی مدار مثبتشان به صفر میل می کند. به عبارت دیگر هر پادضرب در این مجموعه دارای یک نقطه ی چاهک تصادفی است.

در این پایان نامه دستگاه های تابع تکرار بررسی می شوند و شرایطی که تحت آن ها یک دستگاه تابع تکرار بتواند در قضیه ی تجزیه طیفی اسمیل صدق کند، ارائه می شود. فرض کنیم که ‎$ f $‎ و ‎$ g $‎ دو دیفیومورفیسم مورس -اسمیل و حافظ- جهت روی دایره باشند به طوری که نقطه ثابت مشترک ندارند. در این صورت اگر ‎$ f $‎ و ‎$ g $‎ بحد کافی در ‎$ c^{2} $‎ -توپولوژی نزدیک به نگاشت همانی باشند, آن گاه دستگاه تابع تکرار حاصل از ‎$ f $‎ و ‎$ g $‎ تجزیه طیفی اختیار می کند. همچنین با ایجاد شرایط لازم وجود مجموعه های ‎$ cs $-‎بلندر-مانند نمادین در فضای ‎$ mathcal{s}_{k}^{alpha,r}(m) $‎ اثبات می شود.

در این پایان نامه به بررسی دیفیومورفیسم های موضعی می پردازیم که به شکل یک پاد ضرب روی نگاشت نعل اسب می باشند و در ویژگی های ترایای توپولوژیکی و هذلولوی جزئی صدق می کنند. این نوع سیستم ها از یک رده ی هموکلینیکی منتج می شوند که شامل تعداد متناهی نقاط تناوبی هذلولوی با اندیس های مختلف است و بنابراین این رده نمی تواند هذلولوی باشد. مجموعه ی ناوردا و ترایای متناظر با این سیستم ها دارای ساختار تاری غنی می باشد و این سیستم ها شامل تعداد نا شمارا تار بدیهی و غیر بدیهی است. بعلاوه در طیف نماهای لیاپانوف مرکزی این سیستم روی این مجموعه ی ناوردا، یک فاصله وجود دارد که منجر به یک جابه جایی فاز مرتبه ی اول می شود. برای ساختن این سیستم از دستگاه های تابع تکرار استفاده می شود.