یک $k$-رنگ آمیزی یالی در گراف $g$ تابعی مانند $f:e(g)longrightarrow l$ می باشد به طوری که $|l|=k$ و برای هر دو یال مجاور $e_1$ و $e_2$ در $g$، داشته باشیم $f(e_1) eq f(e_2)$. گراف $g$، $k$-رنگ پذیر یالی است اگر برای $g$ یک $k$-رنگ آمیزی یالی وجود داشته باشد. عدد رنگی یالی گراف $g$ که با نماد $chi(g)$ نمایش داده می شود، کوچکترین مقدار $k$ است که $g$ دارای $k$-رنگ آمیزی یالی است. مشهورترین قضیه در رنگ آمیزی یالی گراف ها منسوب به ویزینگ می باشد و بیان می کند برای گراف دلخواه $g$، همواره $delta(g)le chi(g)le delta(g)+1$، که در آن $delta(g)$ ماکزیمم درجه گراف می باشد. بر این اساس یک گراف را کلاس $1$ گویند اگر $chi(g)=delta(g)$ و کلاس $2$ گویند اگر $chi(g)=delta(g)+1$. همچنین زیر گراف القائی روی رئوس ماکزیمم درجه در گراف $g$ را هسته گراف می گویند و آن را با نماد $g_{delta}$ نمایش می دهند. تعیین کلاس 1 یا کلاس 2 بودن یک گراف از جمله مهم ترین مسائل در مبحث رنگ آمیزی یالی گراف ها می باشد. برای مثال ثابت شده است که اگر $g_{delta}$ جنگل باشد، آن گاه $g$ کلاس 1 است. در این رساله این قضیه را بدین صورت تعمیم داده ایم که اگر $g_{delta}$ به صورت اجتماعی از درخت ها و گراف های تک دور باشد و اجتماعی از دورها نباشد، آن گاه $g$ کلاس 1 است. همچنین حدس بسیار مهمی در رنگ آمیزی یالی گراف ها توسط هیلتون و ژائو مطرح شده است که در آن گراف های کلاس $2$ را بر اساس ساختار هسته شان رده بندی می کند و بیان می کند اگر $g$ گرافی همبند بوده به طوری که $delta(g_{delta})leq 2$، آن گاه $g$ کلاس $2$ است اگر و تنها اگر $|e(g)| > iglfloor frac{|v(g)|}{2}ig floor delta(g)$ یا $g= p^*$، که در آن $p^*$ گراف حاصل از حذف یک رأس گراف پترسن است. در راستای این حدس تا به حال نتایج گوناگونی بدست آمده است که حدس را برای حالاتی خاص مانند $|g_{delta}|in {3,4,5}$ یا $delta(g)=3$ ثابت می کنند. در این رساله توانسته ایم این حدس را برای گراف هائی که دارای برش یالی از سایز حداکثر 2 هستند، برای گراف های زوج رأسی که دارای هسته ای فرد رأسی هستند و همچنین برای گراف های زوج رأسی که سایز هسته شان حداکثر $9$ رأس باشد یا هسته شان یک دور از سایز حداکثر $13$ باشد ثابت کنیم.

در این پایان نامه فرض می شود کهr ‎، یک حلقه،s ‎یک منوئید کاملا مرتب شده و همچنین ‎?:s?end(r یک همریختی منوئیدی باشد. حلقه ی سری های توانی اریب تعمیم یافته r[[s,?]] ‎ یک تعمیم طبیعی از حلقه ی چند جمله ای های اریب، حلقه ی سری های توانی اریب و حلقه ی چند جمله ای های لوران‎ ‎‎است. در این پایان نامه شرط ‎ (s,?)‎ - آرمنداریز را روی ‎ r ‎ مطالعه ‎‎می‎‎کنیم که یک تعمیم از شرط متعارف آرمنداریز از چند جمله ای ها به سری های توانی اریب تعمیم یافته است. همچنین ساختار حلقه های ‎ (s,?) ‎ - آرمنداریز را تحلیل کرده و شرایط لازم یا کافی مختلفی را بدست می آوریم برای این که یک حلقه بتواند ‎ (s,?) ‎ - آرمنداریز باشد. یکسان سازی و تعمیم یک تعداد از شرایط شبه آرمنداریز شناخته شده در موارد خاص گفته شده در بالا یکی دیگر از اهداف است. به علاوه از نتایج بدست آمده این است که قضیه های جدید متعددی تحت شرط آرمنداریز بدست می آید. برای مثال نشان می دهیم که حلقه های همردیفی‎‎چپ آرمنداریز هستند. همچنین نشان داده خواهد شد چه وقت یک حلقه ی سری های توانی اریب تعمیم یافته کاهشی یا نیم جابجایی است و یک مشخص سازی نسبی برای این که حلقه مذکور برگشت پذیر یا ‎2‎- اولیه باشد‏، ارائه می‎‎گردد. ‎ {واژگان کلیدی}: حلقه های سری توانی اریب تعمیم یافته، (s,?) - آرمنداریز، نیم جابجایی، برگشت پذیر، کاهشی، ‎2-‎اولیه، همردیفی.

امروزه در صنعت بیودیزل کاتالیست¬های ناهمگن بازی مورد توجه زیادی قرار ¬گرفته¬اند. کاتالیست اکسید کلسیم توسط محققان زیادی مورد بررسی قرار گرفته است. این کاتالیست علاوه بر فعالیت کاتالیستی بالا دارای منابع طبیعی ارزان قیمت مانند صدف است. یکی از مسائل مهم مربوط به کاتالیست¬های ناهمگن، زمان بالای واکنش است. در این واکنش¬ها بدلیل وجود سه فاز در محیط واکنش (کاتالیست جامد،الکل و روغن) سرعت انتقال جرم واکنش دهنده¬ها به سطح کاتالیست پایین است. در این مطالعه از دو راه¬کار برای کاهش زمان واکنش استفاده شد. یک راهکار استفاده از حلال نرمال هگزان و راهکار دوم استفاده از پایه¬ی متخلخل برای کاتالیست بود. آزمایش¬های قسمت اول با کاتالیست صدف کلسینه شده (کلسیم اکسید) و کمک حلال نرمال هگزان انجام شدند. از طراحی آزمایش (طرح باکس-بنکن) برای بررسی تأثیر چهار پارامتر دما، زمان، نسبت مولار الکل به روغن و نسبت حجمی هگزان به روغن استفاده شد. تأثیر هگزان در این آزمایش¬ها مثبت بود. و میزان تبدیل (95%) در نقطه¬ی بهینه در شرایط، دمای واکنش برابر ?c60، زمان واکنش برابر4 ساعت و 48 دقیقه ، نسبت مولی متانول به روغن برابر 1:6 و نسبت حجمی n- هگزان به روغن برابر 91/0 :1 بدست آمد. در قسمت دوم تأثیر همزمان دو عامل موثر در کاهش زمان واکنش و افزایش درصد تبدیل یعنی اضافه کردن حلال و استفاده از پایه¬ی کاتالیست، بررسی شد. 40 درصد وزنی، کلسیم اکسید به روش تلقیح برروی پایه¬ی متخلخل به¬دست آمده از پوکه معدنی (اسکوریا) قرار گرفت. در این قسمت تقریباً تمامی آزمایش¬ها با توجه به طراحی آزمایش دارای درصد تبدیل بالا (بیش از 70%) بودند. تأثیر افزایش هگزان در این آزمایش¬ها با توجه به طراحی آزمایش نیز مثبت بود و میزان تبدیل (7/97%) در نقطه¬ی بهینه در شرایط ،دمای °c 7/59، زمان 4 ساعت و 13 دقیقه نسبت مولار متانول به روغن برابر با 76/14: 1 نسبت حجمی هگزان به روغن برابر با91/0: 1 به¬دست آمد.