در این رساله ابتدا روش هایی مبتنی بر تجزی? دامنه‏، برای حل عددی معادلات دیفرانسیل بر روی دامنه های بزرگ ارائه شده است. همچنین از آنجا که تعیین مناسب پارامتر شکل نقش مهمی در تأمین دقت مطلوب روش های مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی ایفا می کند، الگوریتمی بر اساس بهینه سازی ژنتیک برای رسیدن به این مهم معرفی شده و مورد بررسی قرار گرفته است در بخشی از این رساله بر حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی بر روی دامنه های بزرگ‏ که در بخش هایی از دامنه محاسباتی خود‏، به صورت موضعی‏، دارای رفتارهای شبه تکین هستند‏، تمرکز شده است. به این منظور الگوریتمی ارائه شده که ناحیه یا نواحی دارای تغییرات سریع را شناسایی نموده و به علاوه الگوی تولید چیدمان های انطباق یافته را تنها در نواحی بد رفتار اِعمال می نماید. همچنین این الگوریتم قادر است عدد شرطی و حافظه به کار رفته در الگوریتم را نیز تحت کنترل داشته باشد. در پایان یک روش بدون شبکه تحت عنوان روش کمترین مربعات وزن دار پویا به منظور تقریب کمترین مربعات مسائلی که در بخش یا بخش هایی از دامنه با داده های مختل شده مواجه اند ارائه‏ شده، وجود و یکتایی جواب بررسی شده و در پایان روش پیشنهادی مورد تجزیه و تحلیل عددی قرار گرفته است.

در این پایان نامه بهینه سازی ژنتیک بر روی روش هم محلی به منظور تعیین پارامترهای شکل بهینه توابع پایه شعاعی در حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی اعمال می گردد.بدین منظور، ابتدا مروری مختصر بر معادلات دیفرانسیل، انواع آن و تعاریف و روش های حل عددی در ارتباط با آنها خواهیم داشت. در ادامه به معرفی الگوریتم ژنتیک پرداخته شده است. بعلاوه ضرورت و ویژگی های توابع پایه شعاعی و چند قضیه در ارتباط با آن بیان شده است. در انتها معادلات دیفرانسیل سخت و چالش های موجود در به کارگیری برخی از روش های تک گامی و چندگامی در حل عددی این معادلات بیان شده و از روش هم محلی مبتنی بر توابع پایه شعاعی(بابکارگیری پارامترهای شکل بهینه) برای حل معادلات دیفرانسیل سخت استفاده شده است.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی توابع پایه شعاعی پرداخته و سپس با استفاده از روش تفاضلات متناهی و روش هم محلی مبتنی بر توابع پایه شعاعی به حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی پرداخته می شود. در حل این معادلات بر روی دامنه های بزرگ با استفاده از روش هم محلی مبتنی بر توابع پایه شعاعی، احتمال بدوضعی ماتریس ضرائب دستگاه معادلات خطی حاصل بالا می رود. برای غلبه بر این مشکل، روشی تحت عنوان روش تجزیه دامنه ارائه می شود که در این روش دامنه مسئله به چندین زیر دامنه تقسیم می شود و سپس جواب مسئله بر روی هریک از این زیر دامنه ها بدست می آید. این کار باعث تنک تر شدن ماتریس ضرائب و به دنبال آن کاهش بد وضعی ماتریس ضرائب می شود.

در این پایان نامه روش تبدیل لاپلاس برای حل عددی معادلات انتگرال ولترا خطی استفاده شده است. همچنین با ترکیب تبدیل لاپلاس و تجزیه آدومیان با حدس اولیه یک روش تکراری برای حل عددی معادلات انتگرال ولترا غیرخطی و دستگاه معادلات انتگرال ولترا خطی و غیرخطی پیشنهاد شده است. علاوه بر این با یک تغییرساده در حدس اولیه یک الگوریتم برای یافتن جواب دقیق بعضی از معادلات انتگرال ولترا غیرخطی و همچنین دستگاه معادلات انتگرال ولترا خطی و غیرخطی معرفی می شود. در نهایت مفید بودن روش های پیشنهادی با ارایه چند مثال عددی نشان داده می شود.

در این پایان نامه، روش کمترین مربعات وزن دار مبتنی بر توابع پایه شعاعی برای برازش داده های پراکنده بررسی می گردد. بدین منظور ابتدا به معرفی توابع پایه شعاعی و ویژگی های آن می پردازیم‏، سپس با معرفی فضاهای سوبولوف و اسپلاین‏، روش کمترین مربعات وزن دار را برای برازش داده های پراکنده ی اختلال یافته ارایه می ‏دهیم. در ادامه اثبات وجود و یکتایی جواب را مطرح می کنیم و کران خطا را بدست می آوریم. به منظور نمایش کارآمدی روش ارایه شده چند مثال عددی را حل می کنیم و نشان خواهیم داد که روش کمترین مربعات مطرح شده به روش کمترین مربعات رایج در مورد داده های اختلال یافته ترجیح داده می شود. بعلاوه روش کمترین مربعات وزن دار را برای برازش داده های پراکنده هرمیتی اختلال یافته ارائه می دهیم و به تجزیه و تحلیل این روش خواهیم پرداخت . به همین ترتیب با استفاده از ساختار کمترین مربعات وزن دار‏، مساله برازش داده های اختلال یافته را ‏ با استفاده از توابع پایه شعاعی روی دامنه های نامنظم بررسی می کنیم.

در این پایان نامه، ابتدا توابع پایه ی شعاعی به اختصار معرفی می شود و برخی مزایا و معایب استفاده از این توابع بیان می گردد. در ادامه با معرفی مسائل مقدار ویژه ی ماتریسی و عملگری، به دنبال حل عددی این مسائل با استفاده از توابع پایه ی شعاعی می باشیم. به این منظور دو روش هم محلی سراسری و موضعی مبتنی بر توابع پایه ی شعاعی را مورد مطالعه قرار می دهیم. در حقیقت در این پایان نامه تلاش خواهیم کرد مزیت ها و قابلیت های روشهای بدون شبکه را در مقایسه با یک روش عددی مبتنی بر شبکه (مانند روش اجزای متناهی) بررسی نماییم‎.

این پایان نامه در مورد توابع پایه شعاعی و استفاده از آنها در حل عددی معادلات انتگرال می باشد. در فصل اول تاریخچه معادلات انتگرال و تعاریف و مفاهیم اولیه آورده شده است. در فصل دوم مفاهیم اساسی توابع پایه شعاعی مورد بررسی قرار گرفته است. در فصل سوم به حل عددی معادلات انتگرال فردهلم یک بعدی با استفاده از توابع پایه شعاعی پرداخته شده است. در فصل چهارم حل عددی معادلات انتگرال فردهلم دو بعدی روی دامنه های مستطیلی با استفاده از توابع پایه شعاعی مورد مطالعه قرار گرفته است. در فصل پنجم حل عددی معادلات انتگرال فردهلم دو بعدی روی دامنه های غیر مستطیلی توسط توابع پایه شعاعی به همراه تحلیل خطا مورد بحث و بررسی قرار گرفته است. در هر فصل چند مثال عددی برای ارایه کارایی روش آورده شده است.

این رساله به معرفی توابع پایه شعاعی و شبکه های عصبی می پرداد و پس ازآشنایی با ساختار شبکه عصبی مبتنی بر توابع پایه شعاعی به حل برخی از معادلات انتگرال اشاره می کند.