در این پایان نامه روش بسط سری تیلور برای حل معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم با هسته های هموار و منفرد ضعیف به کار گرفته شده است ، این روش قبلا در [12] به کار گرفته شده بود، ولی در استفاده از این روش مشکل عمده ای وجود داشت که برای رفع این مشکل در [15] روش پیراسته سری تیلور ارایه شد. این پایان نامه سعی در توضیح چگونگی رفع مشکل در روش پیراسته بسط سری تیلور دارد. چند مثال عددی برای نشان دادن قابلیت روش آورده شده است ، در فصل پایانی این روش بر روی یک خانواده از معادلات ولترای نوع دوم به کار گرفته شده است .

در این پایان نامه، هدف حل معادلات دیفرانسیل با مشتق جزیی از روش گالرکین ویولت می باشد. برای رسیدن به این منظور ابتدا به مطالعه تبدیلات فوریه، معرفی سیستم ویولت و آنالیز تجزیه چندگانه پرداخته ایم و شروع به ساخت پایه های ویولت در فضای l2(r) کرده ایم. در مرحله بعد به تشریح روش گالرکین در حالت کلی پرداخته ایم و بنا به نیازمان در فصل بعدی به تعریف و تشریح فضای سوبولف پرداخته ایم . در دو فصل آخر به تشریح روش گالرکین - ویولت برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتق جزیی که نسبت به زمان از مرتبه 1 و نسبت به متغیر x از مرتبه (q) می باشد پرداخته ایم و همچنین خطای ناشی از بکار بردن این روش را تقریب زده ایم . در نهایت ما برای بدست آوردن جواب مقدار اولیه به یک روش درونیابی نیز پرداخته ایم.

این پایان نامه برداشتی از مقاله ارائه داده شده توسط ham guoqiang [department of computer science, south china univ. of tech.]است . که در آن بسط خطای حدی از یک روش collocation گسسته برای معادلات انتگرال از نوع hammerstein بدست آمده است . در آنجا نشان داده شده است که وقتی برای تقریب انتگرال معین در این روش از چندجمله ایهای قطعه قطعه ای از درجه p-1 و کوادراتور عددی استفاده شود. جواب تقریبی شامل توانهایی از گام هایی به طول h از بسط خطا خواهد بود. علی الخصوص به ازای انتخاب های خاصی از نقاط collocation و قانون کوادراتور عددی، جملات پیشرو در بسط خطا برای جواب collocation شامل فقط توانهای زوج از h ، با شروع از جمله h2p خواهد بود. جهت افزایش دقت جواب عددی از برونیابی ریچاردسون استفاده شده است .

در این پایان نامه پس از انتخاب یک روش مناسب تحلیل عددی lmsm و تشریح پایداری خطی، سعی شده است ریشه های چند جمله ای پایدار توسط شرایط قضیه روشه کنترل شوند که این خود مستلزم متغیر بودن ضرایب مربوطه می باشد مسئله یافتن ضرایب با بهینه سازی غیر خطی حل و در قسمت دیگر از نتایج بدست آمده در حل معادلات مشتقات جزیی سهموی استفاده کردیم مثالهای عددی متعدد و حالت خاص نیز ضمیمه می باشند.

در این رساله انواع معادلات انتگرالی ذیل براساس ایده های از پری کاندیشینرها مورد بحث و بررسی قرار می گیرند: -1 معادلات انتگرالی منفرد چند بعدی -2 معادلات انتگرالی فوق منفرد -3 معادلات انتگرالی مرزی. بدین ترتیب بخاطر اهمیت موضوع، این رساله به دو بخش کلی تقسیم شده که هر بخش شامل زیربخش ها و فصول متفاوت می باشند که دستاوردهای جدید را به همراه دارند و از آنها مقالاتی استخراج شده که بعضی از آنها پذیرفته شده اند و بعضی دیگر در حال بررسی می باشند. در بخش انگلیسی که مشتمل بر چهار زیر بخش است موارد ذیل مورد بررسی قرار گرفته اند. زیربخش اول اهم این قسمت که در فصول متفاوت به آن پرداخته شده است عبارتند از: ارتباط بین موضوعات فوق با مسائل کراندار آزاد، لاپلاسین داخلی و خارجی، نیوتن، دریکله و مرزی غیرخطی. از محسنات این ارتباط، نمایش سادگی جواب و حل های عددی است که در زیر بخش های آتی مورد بررسی قرار می گیرد. ضمنا در انتهای این قسمت ابزار لازم در فصول بعد بازگو می گردد. از نتایج قابل استفاده از نگاشتهای هم دیس برای تبدیل معادله با کران آزاد به معادله انتگرالی است که ماحصلی از تحقیقات اینجانب در کشور سوئد بوده است . زیربخش دوم از مسائل پراهمیت در این زیربخش سرعت بخشیدن به روش های تکراری است که با توجه به انواع پری کاندیشینرها مطرح می گردد بطوریکه با یک دسته بندی جدید، روشهای حل سیستم های حاصل از مسائل خطی و غیرخطی معادلات انتگرالی به سه دسته کلی تقسیم می شوند. -1 روشهای تکراری ایستا -2 روشهای تکراری غیرایستا -3 روشهای غیرخطی مبتنی بر زیرفضاهای کرایلف در انتها به نقاط ضعف و قوت روشهای اخیر پرداخته شده است ، سپس بطور جداگانه ساخت انواع پری کاندیشینرها بر اساس نوع و خواص ماتریس های متفاوت بیان می گردد. زیربخش سوم این قسمت حاوی مطالب نو و اصیلی است که پایه های اصولی در این تحقیق را به خود اختصاص می دهد بطوریکه در فصل نخست آن به موضوع روشهای زیرفضای پری کاندیشینرهای کرایلف برای حل معادلات انتگرالی نوع اول منفرد پرداخته می شود. در اینجا هدف بوجود آوردن استراتژیهایی برای استفاده از پری کاندیشینرها است که منتهی به بررسی پرداخته می شود.

در این مقاله منحصر به فردی جواب بدیهی x(t)0 از معادله انتگرال ولترا از نوع x(t)tok(t,s,x))ds مورد بررسی قرار می گیرد. که در حین مطالعه جوابهای بدیهی، موضوع جوابهای غیربدیهی از این نوع معادلات نیز پیش کشیده می شود. برای این منظور ابتدا وجود جواب برای معادله انتگرال ولترا و سپس پیوستگی جواب فوق را مورد بررسی قرار می دهیم. که نتایج این معادلات (جوابها) قضیه ای بسیار مهم در نظریه معادلات اتگرال به نام قضیه مقایسه می باشد. در حین بررسی ها برای رسیدن به منحصر به فردی جوابهای بدیهی قضیه ای دیگر را جایگزین قضیه مقایسه خواهیم کرد. که بدین ترتیب به راحتی می توان به وجود جوابهای غیربدیهی و منحصر به فردی آنها پی برد. قضیه جدید ضمنا حالاتی را که جوابهای غیر بدیهی وجود دارند مورد بررسی قرار می دهد. و بررسی این حالات کم ها و نتایج جالبی به وجود می آید.

در این رساله روش تکراری گالرکین و روش منظم سازی تکراری "گالرکین-کانتروویچ" برای تقریب جواب معادله انتگرال hammerstien با کرنل هموار و بطور ضعیف منفرد و به فرم معمولی: x(t) - 10k(t2s)t(s2x(s))dsf(t), 0<t<1 عمومیت داده شده است . که در آن t, f, k توابع معلوم و x تابعی است که باید معلوم گردد. هدف نشان دادن بالا بودن میزان همگرایی روش تکرای گالرکین نسبت به روش گالرکین برای معادله (1) تحت شرایط خاص و با در نظر داشتن دو نوع مخصوص از کرنل ذکر شده است به صورت -1 k(t, s)m(t, s), t, s [0, 1] -2m c2 ([0, 1] x [0,1]) k na1 [0,1]for 0<a<1 -3 k(t, s)m(t,s) &a (t-s) می باشد که مرتبه خطا به ترتیب برای کرنل های نوع اول و دوم از (1/n), o(h) از طریق روش گالرکین، به o(1/n2), o(h2) از طریق روش تکراری گالرکین افزایش داده می شود.

ما یک روش کلی را جهت ساختن درونیابهای پیوسته یکنواخت برای روشهای یک مرحله ای پیشنهاد می کنیم که در حل عددی مسائل مقدار اولیه معادلات دیفرانسیل با مرتبه ای دلخواه بکار برده می شود. برای ساختن این درونیابها، ممکن است شخصی، از تقریبات مشتق مرتبه بالای این جواب ، به همراه اطلاعات عددی جواب گسستهء مسئله، که از طریق نوعی روش یک مرحله ای در نقاط گام پایانی فراهم شده است ، استفاده کند. این روش دو مزیت مهم دارد. یکی آنکه، روش ساده ای از ساختن درونیابهای rk nystrom را با ارزش کاسته شده در ارزیابی های اضافی تابع، که دارای طبیعت یک مرحله ای حلالهای گسسته ode مذکور می باشند، فراهم می آورد. به علاوه، برای مسائلی که دارای جواب بسیار هموار می باشند، درونیاب تقریبی، شبیه به این ویژگیها می باشد، مشخصه ای که گاهی ممکن است مطلوب واقع شود. بررسی ثبات و پایداری مراحل درونیابی در حالت کلی صورت می گیرد. یک روش عددی جدید، که مربوط به تعیین دقیق پایداری طرحهای عددی، شامل قسمتهای بالا و یا تقریبات جواب در نقاط شبکه ای پیشین، نسبت به شبکه های متساوی الفاصله است ، ارائه شده است . این تکنیک طبیعتا نشان می دهد که از اهمیت بیشتری برخوردار است ، زیرا در موارد مشخصی قادر نتایج دقیق تری را که مربوط به پایداری مثلا فرمول bdfبا شبکه های با طول گام متغیر می باشد در اختیار ما قرار دهد. به علاوه، ممکن است بعنوان چهارچوبی در بررسی انواع پیچیده تر او (احتمالا اطمینان بخش تر) روشها، مورد استفاده قرار گیرند، همانطور که اکنون برای معادلات دیفرانسیل مرتبه 1 و2 روشهای خطی عمومی موجودند. بسیاری از متغیرهای ویژهء روش جدید، برای معادلات دیفرانسیل مرتبه 1، که احتمالات خوبی از یافتن یک اجرای عملی دارند، کاملا با توجه به مشخصه های پایداریشان بررسی شدند. یک کاربرد مفصل مربوط به ساختن توسیعهای پیوسته c3و c2 برای برخی از جفتهای rk مرتبه 5 و 6، با ضمیمهء بررسی برخی از ویژگیهای خطای برشی موضعی یک گروه از درونیابهای این نوع، نیز فراهم شده است در این مورد، مثالهای عددی گوناگون، مزایایی از تکنیک پیشنهادی جدید را با توجه به بهای ارزیابی تابع و رفتار خطای کلی، در قیاس با روشهای دیگری که اکنون بکار برده می شوند، نشان می دهد.

در این رساله، روش تجزیه adomian برای پاره ای از معادلات انتگرال غیرخطی توسعه داده شده است . خاصیت عملی روش تجزیه ای adomian عبارتست از ارائه دادن جواب های واقعی و مناسب از دستگاههای مختلط غیرخطی فیزیکی، بدون در نظر گرفتن شرایط اضافی و معمول در مساله اولیه. آنچه در این روند تحقیقات مورد نظر است بترتیب عبارتست از: - ارائه و پیاده سازی روش تجزیه ای adomian روی معادلات انتگرال و انتگرو دیفرانسیل غیرخطی از نوع والترا در این قسمت چگونگی تبدیل معادله انتگرال دیفرانسیل غیرخطی به فرم کانونی adomian توضیح داده می شود. چند جمله ایهای adomian برای این دسته خاص از معادلات معین می گردد. الگوریتم روش تجزیه ای پیاده سازی می شود و نهایتا نتایج عددی حاصله، صحت نتایج تحلیلی را نشان می دهد. - تعمیم ایده های نظریه تجزیه ای روی فضاهای دو یا چند بعدی و به خصوص معادلات انتگرال غیرخطی ولترا-فردهولم مرکب ، فرم کانونی adomian و چند جمله ایهای متناظر با آن محاسبه می گردد و نهایتا الگوریتم طراحی شده روی این دسته از معادلات پیاده سازی می شود. در این فصل نیز نتایج عددی حاصله، حاکی از دقت ، سرعت و ارزان بودن محاسباتی در قیاس با سایر روش های عددی موجود است . - ارائه یک کران برای سری adomian. در تمامی دو مورد قبل و موارد مشابه، با توجه به ساختار معادله تابعی غیرخطی اولیه، نشان می دهیم که محاسبه جواب در الگوریتم های ارائه شده به تعیین سری adomian وابسته است و با توجه به مشکلات محاسباتی و حجم زیاد محاسبات و هم چنین جهت جلوگیری از کاهش دقت جواب های محاسبه شده، یک کران مناسب با استفاده از لم gronwall-bellman-ried برای سری مذکور بدست می آوریم. تست های عددی انجام شده، صحت نتایج تحلیلی را بر خواهد داشت . - تحلیل خطای روش تجزیه ای. در این فصل تخمین خطا برای الگوریتم های ارائه شده در فصل های پیشین ارائه شده در فصل های پیشین ارائه می شود و بعلاوه سرعت و مرتبه همگرایی روش برای معادلات انتگرال غیرخطی مورد بحث قرار می گیرد. - کاربردهای عملی روش . طراحی و پیاده سازی روش روی مسائل کاربردی در نظریه غشاء سلولی، مسائل نفوذ متلاطم (آشوب زده)، مدل ریاضی یک حس گر زیستی، ساختار ریاضی گونه توزیع نوترون در یک راکتور هسته ای و بررسی رفتار مجانبی جواب برخی از مسائل غیرخطی دراین قسمت مورد بررسی قرار می گیرد.

از آنجا که در حساب بازه ها یافتن جواب دقیق برای دستگاههای معادلات خطی کاری دشوار می باشد و نتیجه حاصل هم کاربردی ندارد تقریبی از آن بعنوان جواب دستگاه تعریف می شود که یافتن همین شکل خاص از جواب نیز با دشواریهائی همراه است . بهترین تقریب از جواب دستگاه را جواب پوسته می نامند که در این پایان نامه روشهای مختلف برای بدست آوردن پوسته معرفی شده است و حالات خاصی که در آنها جواب پوسته را از هر یک از این روشها می توان بدست آورد در طی قضایای بیان و اثبات شده است .

حل دستگاههای خطی نامتقارن بزرگ axb یکی از مواردی است که کرارا در محاسبات عددی با آن مواجه میشویم. به عنوان مثال دستگاههای به دست آمده از تفاضلات متناهی یا تقریبات عناصر متناعی برای معادلات با مشتقات جزئی. در این رساله ما ابتدا روشهای نوع gmres , cg و gmres(m) و مزایا و معایب آنها را به اختصار بیان می کنیم. سپس روش شبه می نیمم سازی باقی مانده (qmr) برای حل دستگاههای خطی نامتقارن بزرگ و جزئیات آن را شرح می دهیم. و در پایان به حل مسئله navier-stokes و مقایسه روشها می پردازیم.

در این پروژه درونیابی بوسیله ترکیب خطی ac(x)+bs(x)+n-2i0aixi، که c و s توابع معلومی هستند و ضرایب {ai},b,a بوسیله شرایط درونیاب مشخص می شوند، برای گره های متمایزی که به طور دلخواه انتخاب شده اند صورت می گیرد. در این پروژه، دو فرمول نیوتنی و لاگرانژین درونیاب را برای همین گره ها بدست آورده می شود. در فرم نیوتنی تابع درونیاب به صورت مجموع چند جمله ای درونیاب ، که بر اساس گره های داده شده می باشد، و دو عبارت تصحیح شامل یک تابع کمکی، که برای این تابع کمکی یک رابطه برگشتی بدست می آید، نمایش داده می شود. هر تابع کانونی برای فرم الگرانژین به صورت حاصلضرب چند جمله ای لاگرانژ متناظرش و یک تابع که به تفاضلات تقسیم شده s(x),c(x) وابسته است نمایش داده می شود.

بشر در طول تاریخ، همواره درصدد ایجاد ارتباط با دوستان و جنگ با دشمنان خود بوده است. در هر عصری با توجه به پیشرفت علم این ایجاد ارتباط و یا جنگ ، انواع مختلف داشته است. رمزنگاری ، زمانی پایه گذاری شده که افراد می خواستند بدون اینکه دشمن از مطالب رد و بدل شونده بینشان ، مطلع شود، با هم ارتباط برقرار کنند.

شبکه های عصبی مصنوعی که از جمله مباحث هوش محاسباتی است دارای کاربردهای بسیاری در مباحثی چون بازشناسی آماری الگو، خوشه بندی الگوها و تقریب توابع می باشد. مبانی عملکرد شبکه های عصبی بر استخراج دانش، ویژگی و نگاشت از داخل اطلاعات بر پایه ارائه بهنگام داده های عددی است. اساس پروژه حاضر تقریب توابع با استفاده از شبکه های عصبی است. بدین منظور ابتدائا معنی و مبنای شبکه های عصبی، مفهوم یادگیری در شبکه ها، انواع شبکه ها - هم از لحاظ توپولوژی و هم از لحاظ قوانین یادگیری - مرور می شود. در ادامه بحث تفصیلی درباره ((شبکه پرستپرون چند لایه)) که محور پروژه حاضر است ارائه می گردد سپس به قضیه معروف (( تقریب زننده های جهانی)) پرداخته شده و در جهت اثبات این قضیه براهینی اقامه می شود. در انتها نمونه هایی از تقریب توابع با استفاده از شبکه های عصبی شبیه سازی می گردد.

یک طرح عددی خیلی دقیق و در عین حال جدید که بر پایه کوادرتورگاوسی ‏‎(clenshaw-curtis)c-c‎‏ بنا شده است و برای حل معادلات انتگرال فردهولم نوع دوم ‏‎ارائه شده است. در این پایان نامه روش مرکب متناظر با این طرح نیز ارائه شده است. تعریف معادل انتگرال و انواع آن ها و نیز توصیف روشهای انتگرال گیری عددی و آنالیز خطای این روشها، به عنوان بحث مقدماتی در مقدمه آورده شده است.

هدف از ارایه این پایان نامه بررسی روشی است برای حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی که شکل عمومی آنها بصورت ‏‎lu+nu=g(t)‎‏ می باشد. در این معادله ‏‎n‎‏ یک عملگر غیرخطی و ‏‎l‎‏ یک عملگر دیفرانسیلی خطی می باشد. این روش تحت عنوان روش تجزیه (آدومیان) بررسی می شود. در این روش ‏‎u‎‏ رابه صورت ‏‎u‎‏ تجزیه می کنیم. همچنین ترکیب غیر خطی ‏‎nu‎‏ را بصورت ‏‎an (u , u , ... , u )‎‏ نمایش می دهیم که ‏‎a ‎‏ها چند جمله ایهای آدومیان می باشند. هدف بدست آوردن ترکیبات ‏‎u‎‏ها و نهایتا بدست آوردن تقریب مناسب برای سری جواب می باشد. این پایان ناه در چهار فصل تنظیم شده است. در فصل اول ساختار کلی و سیر تاریخی روش بیان شده است. در فصل دوم ابتدا بحثی کلی از روش تجزیه ارایه شده، سپس به بررسی چند جمله ایهای ‏‎a ‎‏ پرداخته و روش بدست آوردن آنها مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین نوع دیگری از چند جمله ایهای ‏‎a‎‏، تحت عنوان چند جمله ایها تسریع یافته، معرفی شده است. در فصل سوم اشاره مختصری به همگرایی روش تجزیه بکار رفته برای معادلات دیفرانسیل غیرخطی شده است.در فصل چهارم به کاربرد این روش برای حل معادلات غیرخطی فیزیکی نظیر معادله برگر، معادله بنجامین انو، معادله شرودینگر، معادله پلاسمای غیرخطی، معادله موج و معادله دینامیک گازها پرداخته شده است.

در این پایان نامه ابتدا مقدماتی از معادله انتگرال را بیان می کنیم. در فصل دوم بسطهای تابع ویژه مربوط به معادله انتگرال فردهمل نوع اول همراه با خطا را در نظر می گیریم، و ثابت می کنیم که این بسط مجانبا همگراست، زمانی که کرانه خطا به صفر میل می کند. و با مثالهای عددی توضیح داده می شود.در فصل سوم روشی آماری برای تعیین نقطه برشی بسطهای تابع ویژه ارائه می گردد و در نهایت با مثالهای عددی گوناگون توضیح داده شده است.

در این پایان نامه روش گرادیان مزدوج و پیش حالت ساز روش گرادیان مزدوج برای حل معادلات انتگرالی مطرح شده و الگوریتمهای اصلاح شده جهت حل دستگاههای حاصل از اینگونه معادلات مطرح شده اند سپس پردازش موازی و روش پیش حالت ساز مزدوج در پردازش موازی مطرح و دو الگوریتم جدید در پردازش موازی مطرح شده اند ، سعی در اصلاح و بالابردن کارایی این روشها در حل دسته ای از مسائل بوده است.

در این تحقیق کاربرد روش های تبدیل متغیر از نوع سایدی و لوریه در حل عددی معادلات انتگرال ولترای نوع دوم با هسته های پیوسته و منفرد ضعیف بررسی شده است. چون تبدیلات بگونه ای هستند که لازم نیست نقاط انتهایی بازه انتگرال گیری به عنوان نقاط شبکه ای در نظر گرفته شوند، روش ارائه شده می تواند برای هر دو نوع معادلات انتگرال ولترای با هسته پیوسته و منفرد ضعیف به شیوه مشابهی بکار رود. نتایج عددی به دست آمده رشد مرتبه همگرایی مورد انتظار را ثابت می کند. این نتایج با استفاده از قاعده ذوزنقه ای برای محاسبه انتگرال تبدیل شده بدست آمده اند.