در این رساله ابتدا یک الگوریتم جدید برای محاسبه ی معکوس مور _ پن رز یک ماتریس حقیقی با و رتبه مبتنی بر فرآیند گرام _ اشمیت مزدوج و معکوس مور _ پن رز ماتریس های افراز شده به نام cgs – mpi ارائه می شود. نتایج عددی نشان می دهند که ماتریس شبه معکوس حاصل به طور مطلوبی دقیق است و زمان محاسبه آن به طور با معنایی کمتر از زمان محاسبه شبه معکوس های به دست آمده از سایر روشها برای ماتریس های تنک و بزرگ می باشد. سپس الگوریتم های ggmres، mdgmres، dqmr برای محاسبه ی جواب معکوس _ درازین دستگاه ، که در آن و منفرد است، ارائه می گردند. الگوریتم ggmres برای محاسبه جواب معکوس – گروه دستگاه تدوین شده است، که حالت خاصی از معکوس - درازین در حالت شاخص a برابر یک است. الگوریتم mdgmres مبتنی بر الگوریتم dgmres است که توسط سیدی در سال 2001 ارائه شده است. جواب های معکوس درازین به دست آمده توسط این الگوریتمها شبیه هم هستند و زمان mdgmres کمتر از زمان dgmres است. الگوریتمdqmr اجرای نوعی الگوریتم qmr برای محاسبه جواب معکوس _ درازین است. نتایج عددی برای چهار الگوریتم نشان می دهند که الگوریتم های جدید از دقت و کارایی خوبی برخوردارند.

تبدیل فوریه سریع یک الگوریتم کارا برای محاسبه تبدیل فوریه گسسته است که تعداد اعمال لازم برای محاسبه آن را کاهش می دهد. از دیدگاه کاربردی، این روش تعداد اعمال مورد نیاز برای محاسبه حاصلضرب ماتریس بردار توپلیتز را نیز کاهش می دهد. از ترکیب این روش و قضیه باقیمانده چینی می توان حاصلضرب اعداد صحیح بزرگ را با مرتبه زمانی کمتر انجام داد. از دیگر کاربردهای این روش حل دستگاه معادلات خطی بدوضع است که نتایج حاصل در مقایسه با روشهای دیگر از قبیل روش مقدار تکین و روش qr دارای خطای کمتری هستند. کاربرد مهم دیگر این روش در حل عددی معادله پواسن است که سرعت انجام محاسبات را در مقایسه با حل مستقیم شکل گسسته مساله به صورت چشمگیری کاهش می دهد.

در این رساله مسایل استوکس و ناویر استوکس را برای یک سیال تراکم ناپذیر بررسی می کنیم و روش هایی را که بر پایه شبکه های عصبی بنا شده، برای حل آن ها ارایه می دهیم. اغلب روش هایی که تاکنون برای حل این گونه مسایل به کار برده شده اند، روش های عددی مانند تفاضلات متناهی، حجم های متناهی و عناصر متناهی هستند که همه این روش ها مقدار جواب را در نقاط گره ای به ما می دهند. هر چند روش عناصر متناهی جواب را به صورت یک تابع بیان می کند اما در عمل به سادگی نمی توان مقدار جواب یا مشتقات آن را در نقاطی غیر از نقاط گره ای به دست آورد. در این رساله روش هایی را ارایه می دهیم که براساس آن ها یک تابع تحلیلی برای جواب این گونه مسایل به دست می آید به طوری که در هر نقطه از دامنه می توان جواب یا مشتقات جواب را در صورت نیاز به راحتی محاسبه کرد. در روش شبکه های عصبی بر خلاف روش های عناصر متناهی که از توابع موضعی خاصی استفاده می کند، می توان از توابع سراسری استفاده کرد. اساس حل مسایل استوکس و ناویر استوکس در این رساله، استفاده از توابع پایه ای متناسب با داده های مساله و تبدیل مساله به یک مساله بهینه سازی مقید یا غیر مقید می باشد. مقایسه جواب روش شبکه های عصبی با جواب دقیق مساله (در صورت وجود ) و یا مقایسه با سایر روش ها عملکرد خوب روش را نشان می دهد.

دراین پایان نامه به ارایه روشی ساده و کارآمد به منظور ساخت مدل سطحی هموار با استفاده از تصاویر برش عرضی می پردازیم. در ابتدا با استفاده از تصاویر مقطعی حاصل از دستگاه تصویربرداری اسپکت به ساخت مدل سطحی بزرگترین کره موجود در فانتوم جیسک می پردازیم. سپس روش را بر تصاویر اسپکت بطن چپ قلب انسان اعمال کرده و یک مدل سطحی هموار از سطح خارجی آن به دست می آوریم. در ابتدا به وسیله یک مدل کانتور فعال معروف به مدل مار gvf به استخراج مرز در هر تصویر برش عرضی می پردازیم و سپس برای از بین بردن ناهمواری های موجود، مرز را به وسیله منحنی های اسپلاین بزیر مکعبی برازش می کنیم. در این مرحله تناظری یک به یک بین نقاط در کانتورهای مختلف ایجاد کرده و نقاط موجود در کانتورهای مختلف را به وسیله منحنی های اسپلاین بزیر مکعبی درونیابی می کنیم. به دلیل این که قطعات اتصالی این منحنی ها با همواری g2 به هم متصل می شوند، منحنی حاصل هموار بوده، بنابراین سطح بازسازی شده هموار است.

در این پایان نامه چندجمله ایهای برنشتاین برای تقریب جواب برخی معادلات انتگرالی فردهولم ومسایل با مقدار مرزی استفاده می شود.هردونوع معادلات انتگرالی نوع اول ودوم با هسته منظم وهسته منفرد درنظرگرفته شده اند.هم چنین یک روش عددی پایدار جدید براساس چندجمله ایهای برنشتاین نرمال شده برای حل معادلات انتگرالی منفرد آبل ارائه می شود.

چکیده ندارد.

معادلات دیفرانسیل جابه جایی-پخش آشفته تکین خطی تعمیم داده ایم و ثابت کردهایم روش دقت مرتبه یک دارد و نسبت به پارانتر اغتشاش یکنواخت است همچنین یک روش گسسته سازی جدید با استفاده از روش تفاضلات متناهی غیر استاندارد برای حل دستگاه دستگا معادلات جابه جایی-پخش آشفته تکین شبه خطی ارایه شده است روش ارایه شده به طور یکنواخت همگرا است و همگرایی از مرتبه یک دارد در پایان روش تکراری یکنوا برای حل طرح تفاضلی ارایه شده بررسی شده است.

در این پایان نامه، ما سه روش حجم متناهی را برای حل برخی از معادلات بیضوی و هم چنین دو روش حجم متناهی را برای حل برخی از معادلات سهموی به کار برده ایم. سپس تخمین خطا و همگرایی جواب های تقریبی حاصل شده توسط طرح حجم متناهی اثبات یا به کمک نتایج عددی بررسی شده است.

‏در این پایان نامه ‏هدف یافتن جواب تقریبی رده ای از معادلات انتگرالی خطی با روش عناصر متناهی می باشد.‏ برای این منظور از چندجمله ای های لاگرانژ به عنوان توابع پایه ای استفاده می کنیم. در ابتدا مقدمات روش را توضیح خواهیم داد‏، و سپس شکل کلی هر یک از انواع معادلات انتگرالی نوع دوم را در نظر می گیریم و شرایط وجود و یکتایی جواب را در مورد هر یک از آن ها بررسی خواهیم کرد. سپس به پیاده سازی روش بر روی هر یک از انواع معادلات انتگرالی می پردازیم‏، و با ارائه مثال هایی نشان خواهیم داد که این روش دارای جواب هایی نزدیک به جواب های دقیق می باشد. در ادامه نیز تحلیل خطای روش ذکر شده‏، مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه جواب های عددی معادله دیفرانسیل با مشتقات نسبی شبه خطی سهموی و هذلولوی(pdes)را روی یک دامنه ی بی کران خاص که جواب آن در زمان متناهی منفجر می شوند مطالعه می کنیم. معمولاً دو مشکل عمده در حل عددی این گونه مسائل وجود دارد یکی بی کرانی مسأله و دیگری تکینگی انفجار. ما شرایط مرزی موضعاً جاذب (labcs) روی یک مرز ساختگی و استفاده از ایده ی تقریب یکپارچه را به کار می بریم چون شبکه ی ثابت یکنواخت کارایی ندارد ما روش حرکت شبکه (mmpdes)را برای انطباق شبکه که شامل نقطه تکینگی هست به کار می بریم با ترکیب روش های (labcs)و (mmpdes)می توانیم تاثیر گذاری این روش ها را بر روی رفتار کیفی تکینگی انفجار در دامنه بی کران ببینیم. علاوه براین پیاده سازی این دو روش به صورت مجزا است. جواب های عددی تاثیر گذاری و کارایی روش های جدید را نشان می دهد

در این رساله ابتدا به معرفی مدل های جریان ترافیک از جمله جریان ترافیک کلان نگر می پردازیم. از آن جا که این دسته از معادلات به صورت معادلات مشتقات جزئی هذلولوی (و به طور خاص قوانین بقا) بیان می شوند، لذا برخی از مفاهیم و مباحث مهم مربوط به قوانین بقا نیز ارائه می شوند. یک نمونه مدل جریان ترافیک خرد نگر را در نظر گرفته و پس از بررسی تأثیر زمان عکس العمل رانندگان بر مدل و تبدیل مدل به یک مدل کلان نگر، مدل کلان نگر به دست آمده را حل نموده‏ ایم. سپس به منظور به دست آوردن جواب های عددی دقیق تر، روش های حرکت شبکه برای حل این دسته از مسائل به کار برده می شود. ابتدا روش حرکت شبکه را معرفی کرده و روش تفاضلات متناهی متحرک را برای حل چند نمونه معادله از نوع برگرز به کار می بریم. سپس با معرفی یک مسأله جریان ترافیک انتگرال- مشتقات جزئی، یک روش حجم متناهی با وضوح بالا را بر روی شبکه متحرک گسترش داده و معادله فوق را با آن روش حل می نماییم. همچنین با در نظر گرفتن پارامتر عکس العمل رانندگان، مدل فوق را بهبود بخشیده و نشان می دهیم که روش حرکت شبکه روشی کاراتر و مناسب تر برای حل این دسته از مسائل می باشد. در این رساله، همچنین یک روش جدید جهت تولید شبکه ارائه می شود که در آن از منحنی های مشخصه برای به دست آوردن نقاط شبکه استفاده می کنیم. این روش نیز بر روی معادلات جریان ترافیک پیاده سازی می شود. در انتها به معرفی یک شبکه جاده ای و نحوه توزیع جریان ترافیک در این شبکه می پردازیم. به منظور به دست آوردن شرایط مرزی بر روی نقاط تقاطع، مسأله ریمان و حل آن را نیز بیان می کنیم.

در این پایان نامه از تکرار نیوتن و روش مربع سازی متوالی ماتریس برای محاسبه معکوس مور-پن رز ماتریس های توپلیتز استفاده شده است. ماتریس های توپلیتز دارای ساختار خاص با عناصر قطری ثابت در امتداد قطرها هستند. ‎محاسبه ‎معکوس ‎مور-پن رز ‎ماتریس های ‎توپلیتز ‎در ‎حوزه های ‎مختلف ‎ریاضیات‏، ‎علوم ‎محاسباتی و‎ ‎مهندسی ‎کاربرد ‎زیادی ‎دارند.‎ به دلیل ‎ساختار ‎خاص ‎ماتریس های ‎توپلیتز و‎ ‎نیز ‎کاربردهای ‎زیاد ‎آن ها ‎ریاضیدانان‏، ‎دانشمندان و‎ ‎مهندسین ‎مایل ‎به ‎ارائه ‎الگوریتم های ‎سریع ‎برای ‎محاسبه ‎معکوس ‎مور-پن رز ‎آن ها ‎هستند. ‎‎به ‎عنوان ‎مثال ‎تکرار ‎نیوتن ‎کلاسیک رای معکوس کردن یک ماتریس ‎$ a $‎ توسط شولتز در سال ‎1933‎ پیشنهاد شده است. با نگاهی به مقاله شولتز می توان دریافت که او این روش را برای ماتریس های دلخواه پیشنهاد نداده است (زیرا بسیار پرهزینه خواهد بود). جالب است که شولتز یک مثال از یک ماتریس توپلیتز را در نظر می گیرد که ساختار آن اعمال ماتریسی خیلی ارزانی نتیجه می دهد. لذا تکرار شولتز تنها در موارد ماتریس های ساخت یافته موثر است.کیلات ‎ مفهوم رتبه تغییر مکان و هم چنین عملگر تغییر مکان را برای ماتریس های نزدیک به توپلیتز معرفی می کند. راه نظریه تغییر مکان در طراحی الگوریتم های معکوس کردن سریع برای ماتریس های ساخت یافته به خصوص ماتریس های توپلیتز و هنکل بسیار قوی است. در این پایان نامه به بررسی روش تکرار نیوتن و روش مربع سازی متوالی ماتریس برای محاسبه معکوس مور-پن رز ماتریس های توپلیتز با استفاده از مفهوم نمایش تغییرمکان متعامد و هم چنین رتبه e-تغییر ‎مکان‎ خاصیت های عددی روش شولتز و تقویت شده توسط مفهوم نمایش تغییر مکان متعامد و هم چنین رتبه ‎-eتغییر مکان‏ و موثر بودن اعمال روش را بر ماتریس های ساخت یافته نشان می دهیم و ملاحظه می کنیم که تمام محاسبات نیاز به حافظه و زمان ‎cpu‎کمتری نسبت به روش های کلاسیک به خصوص برای ماتریس های بزرگ مقیاس دارند.

چکیده ندارد.

در قسمت اول این پایان نامه معادلات هدایت گرمائی را به صورت دینامیکی آغشته به نویز تبدیل می کنیم و با استفاده از مشاهدات معادله خروجی سیستم را طرح ریزی می کنیم سپس با کاربرد الگوریتم فیلتر کالمن و متعاقب آن الگوریتم کمترین مربعات خطا شار گرمای روی مرز جسم را بدست می آوریم. در قسمت دوم نیز با استفاده از روش عناصر متناهی و مشاهدات انجام شده که همان اندازه گیری های دمای نقاط درونی است ، روشی ارائه می دهیم که براساس آن ابتدا بردارهای حساسیت و سپس شار گرمائی روی جسم را بدست می آوریم، و پس از آنکه شار گرمائی روی جسم بدست آمد، با استفاده از آن مقدار دما در هر نقطه درونی بدست می آید.

در فصل اول ابتدا به تعریف مساله و بیان فرم آمیخته آن می پردازیم و سپس کاربردهای فیزیکی مساله در هدایت گرمایی، محیطهای متخلخل و الکترومغناطیس را بیان و معادلات حاکم بر هر یک از مدلهای فوق را تشریح می نماییم. در فصل دوم ابتدا قضیه وجود و یکتایی جواب فرم تغییراتی مساله را اثبات می کنیم و شکل گسسته مساله که به وسیله عناصر متناهی آمیخته به دست می آید بررسی نموده و آنگاه شرایط پایداری روش را مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. سپس به معرفی یکی از فضاهای عناصر متناهی بنام raviart - thomas می پردازیم و خواص آن را به تفصیل بیان کرده و شرایط پایداری را در مورد آن تحقیق می کنیم و همچنین همگرایی روش را مورد بررسی قرار خواهیم داد. در خاتمه به اجمال نحوه تبدیل دستگاه نه الزاما معین مثبت حاصل از گسسته سازی مساله به یک دستگاه معین مثبت مورد بحث قرار می گیرد. در فصل سوم مقدمه ای در مورد روش شوارتز بیان کرده و سپس سرعت همگرایی روشهای جمعی و ضریب شوارتز را مورد بررسی قرار می دهیم و بر اساس آنها الگوریتمهای سری و موازی برای فضای raviart - thomas را به دست می آوریم و همگرایی آنها به تفصیل مورد بحث قرار می گیرد و در آنجا خواهیم دید که سرعت همگرایی مستقل از پارامترهای شبکه (h, h) و تعداد زیر ناحیه بوده و فقط ممکن است به میزان تداخل زیر ناحیه ها بستگی داشته باشد.

تبدیل فوریه سریع (fft) پردازشگری سیگنالی و مفهومی آنالیزی است . بسیاری از مسائل مهم محاسباتی توسط روشهای تبدیل فوریه، بخصوص fft قابل حل می باشند، شهرت fft به لحاظ گستردگی سطوح و کاربردی گوناگون آنست . کاربردهای fft بر خاصیت ویژه آن در محاسبه تقریب تبدیل فوریه و تبدیل فوریه معکوس استوار می باشند. با گسترش روزافزون استفاده از کامپیوتر و ابداع روش fft (که دارای خواص اساسی و مهمی از جمله کاهش زمان و در نتیجه کاهش هزینه می باشد)، استعمال این روش طیف وسیعی از حل مسائل علوم مختلف را در بر گرفته است . علاوه بر رادار، ارتباطات و صوت ، گستره کاربردهای fft شامل مهندسی پزشکی، تصویربرداری، تحلیل داده های بازار بورس ، اسپکتروسکوپی، آنالیز سیستمهای غیرخطی، تحلیل مکانیکی، تحلیل ژئوفیزیکی، شبه سازی، سنتز موسیقی و ... نیز می باشد. در این پایان نامه سعی نموده ایم روش مهم تبدیل فوریه سریع را معرفی، زمینه های کاربرد آنرا بیان و برخی از آنها را تشریح نماییم. هدف فراهم آوردن زمینه ای است که از آن بتوان اطلاعات اساسی جهت بکارگیری fft در مسائل مورد علاقه را کسب نمود. از آنجایی که برای بررسی روش fft نیاز به شناخت تبدیل فوریه گسسته و این شناخت خود مستلزم آشنایی با تبدیل فوریه پیوسته و مباحث مربوط به آن می باشد، در پایان نامه تبدیلات فوریه پیوسته و گسسته همراه با خواص اساسی و قضایای مهم مربوضه، از جمله تلفیق و همبستگی اجمالا بیان شده اند. آنگاه به بررسی روش fft و خواص مهم آن پرداخته ایم. در فصل اول ابتدا تبدیلات فوریه معرفی (به طور مختصر) و تاریخچه آنها بیان شده است ، سپس برخی از کاربردهای مهم fft، از جمله کاربرد آن در حل مسائل مشتقات جزئی بیضوی، طیف سنجی، پل سازی، پردازش صوت ، تجزیه طیف ، تقریب تبدیلات فوریه و درونیابی تشریح شده اند. در فصل دوم تبدیل فوریه، شرایط وجودی، خواص مهم و اساسی آن، تبدیل فوریه و بعضی توابع خاص و تبدیل فوریه معکوس مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته اند. به دلیل اهمیت انتگرالهای تلفیق و همبستگی و ارتباط آنها با تبدیل فوریه، در ادامه این دو مفهوم همراه با بیان فرمولها و قضایای مربوطه به صورت گرافیکی مورد بررسی قرار گرفته اند. یکی دیگر از مباحثی که اطلاع از آن برای بیان fft مورد نیاز می باشد، بحث نمونه گیری است که در این فصل همراه با شکل و قضیه مربوط به آن بیان شده است . در فصل سوم تبدیل فوریه گسسته به صورت ترسیمی و نظری مورد بررسی واقع شده است . همچنین معکوس و خواص مهم این تبدیل، تلفیق و همبستگی گسسته (همراه با قضایای این دو) نیز در همین فصل آورده شده اند. در فصل چهارم فرمول بندی ماتریسی fft، بسط شهودی، نمودار گردشی سیگنالی و الگوریتمهای مهم fft، به اجمال مورد بحث قرار گرفته است . سپس تلفیق و همبستگی fft تشریح شده اند در ادامه بعضی از موارد کاربرد fft، که تشریح آنها نیاز به شناخت فرمولهای تبدیل فوریه سریع داشته و به این فصل ارجاع داده شده اند، آورده شده است . در فصل پنجم تجزیه و تحلیل fft دو بعدی و fftهای معکوس دو بعدی، تلفیق و همبستگی دو بعدی بیان شده است . در فصل ششم زیربرنامه fft و برنامه های کامپیوتری نوشته شده به همراه نتایج عددی به دست آمده از ارائه شده اند.

روش عناصر متناهی یکی از روشهای حل تقریبی مسائل مقدار مرزی (با شرایط اولیه یا بدون آنها) است . این روش از اهمیت ویژه ای برخوردار است ، چرا که برای تمام مسائل مقدار مرزی (با هر نوع شکل هندسی برای مرز) قابل استفاده می باشد. یعنی از انعطاف پذیری خاصی برخوردار است . این روش برای اولین بار در سال 1930 به محافل مهندسی آمد، و این مربوط به هنگامی است که یک مهندس جهت به دست آوردن دستگاه مربوط به ضرایب تنش و کرنش برای یک پل، تلاش می کرد. بنا به قولی دیگر، روش فوق در مراحل نخستین توسط مهندسان دهه 1950 میلادی جهت تحلیل سیستمهای سازه ای بزرگ هواپیما مورد استفاده قرار گرفت . اولین مقاله را در ارتباط با این روش ، turner و همراهانش در سال 1956 میلادی ارائه دادند. سپس افرادی چون clogh (1960) و argyris (1963)، به ادامه مطلب پرداختند. کاربرد روش عناصری متناهی در مسائل غیرسازه ای (نظیر سیالات و الکترومغناطیس) برای اولین بار توسط zienkiewicz و cheung (1965) مطرح شد. همچنین برای رده بزرگی از مسائل مکانیک غیرخطی، oden (1972) کاربرد این روش را بیان نمود. وی یکی از پیشکسوتان است که در زمینه پیشرفتهای تئوری این روش ، به ویژه در استخراج آنالوگ نظری معادلات ناویر - استوکس ، سهم مهمی دارا می باشد. در مورد جریان چرخشی ترکم ناپذیر، baker (1974، 1973، 1971) مطالبی انتشار داد. olson (1972) آلگوریتم عناصر متناهی آنالوگ تابع جریان هارمونیک مربوط به جریان ناتراکم پذیر دو بعدی را به دست آورد. در فاصله سالهای 1960 تا 1975، تعداد زیادی از مقالات مربوط به روش عناصر متناهی، توسط دانشمندان علوم ریاضی و فیزیک و مهندسی ارائه گردید. به ویژه در ساله 1975، این روش به عنوان روشی سازگار با اصول ریاضی و کاربرد کامپیوتر، توسط موسسات دولتی و کمپانیهای خصوصی مورد استفاده قرار گرفت . همچنین امروزه با گسترش روز افزون قدرت کامپیوترها، تعداد مقالات و نرم افزارهایی که در زمینه کاربرد روش عناصر متناهی در مسائل فیزیک ریاضی و مهندسی می باشند، بسیار قابل توجه است . در واقع می توان گفت با اینکه عمر زیادی از تاسیس این روش نمی گذرد، کاربردهای آن باعث گردیده که توسعه این شاخه از علم ریاضی، با سرعت بسیار چشمگیری رو به افزایش باشد.

این رساله در پنج فصل: روش عناصر متناهی، معادله ویسکوالاستیک ، روش حل معادله، بحث خطا، نتایج عددی و سه ضمیمه: آنالیز تابعی، الگوریتمهای گرادیان مزدوج و چولسکی ناقص ، قضایای وجود و یکتایی، لیست برنامه تنظیم شده است .

گواه تجربی عرضه شده توسط فیزیکدانان نشان می دهد که ذرات دستگاههای میکروسکوپیک طبق قوانین مربوط به نوعی حرکت موجی، حرکت می کنند و نه بنابراین قوانین حرکت نیوتنی که ذرات ماکروسکوپیک تابع آنهایند. به این ترتیب یک ذره میکروسکوپیک طوری عمل می کند که گویی وجوه معینی از رفتارش ، از رفتار موج با تابع موج دوبروی همبسته تبعیت می کند. به همین منظور در بررسی رفتار ذرات دستگاه میکروسکوپیک ، نظریه مکانیک کوانتومی شرودینگر، نقش مهمی را ایفا می کند. این نظریه، قوانین حرکت موجی را که ذرات هر دستگاه میکروسکوپیک از آن پیروی می کنند مشخص می کند. این کار از طریق مشخص کردن معادله ناظر بر رفتار تابع موج هر دستگاه و نیز مشخص کردن ارتباط بین رفتار تابع موج و رفتار ذره صورت می گیرد. در تکوین این نظریه، اروین شرودینگر در سال 1925 (1304 ه ش) معادله ای را که به نام او شهرت یافت معرفی کرد که رفتار تابع موج مورد نظر را بیان می کند. جواب های این معادله به نحوی بسیار طبیعی به کوانتش انرژی و پدیده های مهم دیگر منجر می شوند. دامنه و کاربرد این معادله در مکانیک کوانتومی فوق العاده وسیع است . نظر به اهمیت جواب این معادله، حل آن به روش عددی بخصوص برای معادله وابسته به زمان بسیار مهم است . در این رساله سعی داریم روشهای عددی برای حل معادلات شرودینگر و پایداری روشها را مورد بررسی قرار دهیم. متذکر می شویم که بنا به قضیه تعادله لکس . برای هر مساله مقدار مرزی - اولیه مناسب اگر طرح تفاضلی مربوط به آن در شرط سازگاری صدق کند پایداری شرط لازم و کافی برای همگرایی است . بنابراین در فصل دوم و فصل سونم تنها به سازگاری و پایداری روشها اکتفا می کنیم. این رساله مشتمل بر چهار فصل است . در فصل اول با مطرح کردن اشکالات فیزیک کلاسیک ، نارسایی های این فیزیک را در توجیه و توصیف سیستمهای فیزیکی در ابعاد بسیار کوچک ، توضیح داده و سپس با بیان اهمیت نظریه مکانیک کوانتومی در بر طرف کردن این نارسایی ها، به توصیف معادله شرودینگر می پردازیم. در فصل دوم با ارائه طرحهای تفاضلی برای معادله شرودینگر با ضریب ثابت (معادله ذره آزاد)، سازگاری و پایداری آنها را بررسی نموده و سپس با مقایسه طرحها، نتایج به دست آمده را برای معادله کلیتر تعمیم می دهیم در انتها یک مثال عددی ارائه خواهیم کرد. در فصل سوم با ارائه یک طرح تفاضلی صریح سه گامی برای معادله شرودینگر با یک ضریب متغیر، ضمن بررسی سازگاری طرح فوق با معادله نظیرش ، پایداری این طرح را به روش انرژی تجزیه و تحلیل می کنیم. در فصل چهارم، با گسسته سازی معادله شرودینگر درجه 3، به وسیله طرح تفاضلی متناهی نوع کرنک - نیلکسون، اثبات وجود و یکتایی جواب این روش و همچنین همگرایی آن را مورد بحث قرار می دهیم و در انتها معادلات تفاضلی حاصل از گسسته سازی را با روش نیتوتن خطی سازی می کنیم.

هدف از این پروژه مقایسه و بررسی کارایی روشهای عددی مختلف در حل دستگاه معادلات جبری خطی axb می باشد. برای این منظور روشهای مختلف در حل معادلات دوبعدی نویر-استوکس تحت بررسی قرار گرفته است و مساله جریان در حفره ای با سرپوش متحرک ، برای مقایسه روشهای تکراری زیر انتخاب شده است : i)روش تکراری sor ii)روش تکراری adi iii)روش تکراری پیش شرط مزدوج گرادیان بنام orthomin(1) با ماتریس پیش شرط حاصل از تجزیه ناقص ماتریس متناظر با طرح تفاضل متناهی ضمنی برای معادلات دو بعدی نویر- استوکس . در این روشها، زمان اجرا (cpu time) و تعداد کل مراحل تکرار (nit) برای اعداد رینولدز مختلف محاسبه شده اند. در فصل 1، پس از مقدمه به تعریف مساله و بیان مدل ریاضی بکار رفته برای معادلات دوبعدی نویر-استوکس پرداخته ایم. در فصل2، روش حل معادلات جریان و چرخش "w" با روش تکراری sor به همراه نتایج مورد نظر ارائه شده است . در فصل 3، روشم مستقیم مارچینگ برای حل دستگاه axb که در آن a متقارن می باشد، بررسی شده است . در فصل 4، روش حل معادله با استفاده از الگوریتم مارچینگ آمده است و سپس ترکیب آن با معادله "w" با روش حل تکراری sor، به انضمام اینکه نتایج مورد نظر بیان شده است . در فصل 5، روش تکراری adi برای حل معادلات و "w" توضیح داده شده است و سپس برنامه و نتایج مورد نظر ارائه شده است . در فصل 6، روش تکراری orthomin(1) برای حل دستگاه axb بیان شده است . در فصل 7، حل معادله "w" با استفاده از روند تکراری orthomin(1) و حل معادله با روش مستقیم مارچینگ بیان شده، به انضمام اینکه، نتایج مورد نظر در انتها، ارائه شده است . در فصل 8، با ارائه نتایج کلی برای هر یک از روندهای فوق و همچنین ارائه نتایج بدست آمده قبلی توسط دیگر محققین با روشهای متفاوت ، به ارزشیابی و نتیجه گیری پرداخته شده، ضمن اینکه زمینه های قابل بررسی و پژوهش در این رابطه برای علاقمندان بیان شده است .

هدف اصلی در این پایان نامه بررسی وجود ویکتایی جواب مساله استوکس و یافتن جوابهای تقریبی آن به روش عناصر متناهی است . مساله استوکس یک مساله آمیخته در مکانیک سیالات است ، که منظور از حل آن یافتن دو تابع سرعت و فشار است . گسسته سازی مساله استوکس و یافتن جوابهای تقریبی آن منجر به حل یک دستگاه معادلات خطی جبری بزرگ و تنک می شود که در آن ماتریس ضرایب متقارن است اما مثبت معین نیست . از این رو الگوریتم orthiodir که یک روش پیش شرط شده مزدوج گرادیان است استفاده شده است . در پایان، برنامه کامپیوتری برای حل مساله استوکس در حالت یک بعدی ارایه شده است و نتایج بدست آمده کارایی روش عناصر متناهی را تایید می کند.