یکی از معیارهای اندازه گیری اطلاع که در دهه های اخیر بسیار مورد توجه قرار گرفته آنتروپی رنی است. آنتروپی رنی به عنوان یک معیار انعطاف پذیر شانون را در بر دارد. امروزه آنتروپی رنی جایگاه ویژه ای در مباحث قابلیت اعتماد یافته است. از جمله آنتروپی رنی متغیرهای تصادفی باقیمانده عمر را می توان نام برد که آنتروپی رنی باقیمانده نامیده می شود. در این رساله پس از معرفی و مطالعه برخی از ویژگیهای آنتروپی رنی خواص متنوع آنتروپی رنی باقیمانده از جمله یکتایی و یکنوایی آن را مورد بحث قرار می دهیم. ترتیب تصادفی براساس آنتروپی رنی باقیمانده و مشخصه سازی برخی توزیع ها با استفاده از آن از دیگر مواردی است که در این تحقیق مورد مطالعه قرار می گیرند. داده های ترتیبی دارای کاربرد فراوانی در مدل سازی و استنباط آماری هستند از مهمترین این نوع داده ها می توان آماره های مرتب و اماره های رکورد را نام برد. آماره های مرتب در بسیاری از شاخه های نظریه آمار از جمله نظریه قابلیت اعتماد و تحلیل نمونه های سانسور شده کاربرد دارند. همچنین آماره های رکورد در هواشناسی ژیوفیزیک زلزله نگاری و غیره مورد استفاده قرار می گیرند. دامنه وسیع استفاده از آماره های مرتب و رکوردها بررسی خواص اطلاع آنها را اجتناب ناپذیر می کند. در زمینه آنتروپی شانون و آنتروپی رنی آماره های مرتب و آماره های رکورد تحقیقاتی صورت گرفته است. پس از مروری مختصر به نتایج موجود در متون آماری در رابطه با میزان اطلاع آماره های مرتب و رکوردها تعمیم نتایج به آنتروپی رنی باقیمانده از جمله مطالعات این پژوهش است.

امروزه شبکه های ارتباطی نقش مهمی در زمینه های مختلف زندگی بشر ایفا می کنند. یک شبکه را می توان به عنوان مجموعه ای از گره ها و یال ها در نظر گرفت که در آن برخی از گره های خاص شبکه، پایانه نامیده می شوند. از نقطه نظر قابلیت اعتماد، مولفه ها (یال ها یا گره های شبکه) در معرض خرابی قرار می گیرند که ممکن است بر اساس یک مکانیسم تصادفی اتفاق بیفتد. خرابی مولفه ها ممکن است باعث تغییر وضعیت شبکه شود. آنچه در این رساله مورد بررسی قرار می گیرد، شبکه هایی است که تنها دارای دو وضعیت فعال و غیرفعال می باشند. همچنین فرض می کنیم که یال ها یا گره های شبکه در معرض خرابی قرار دارند. در چند دهه اخیر، مدل سازی و تحلیل قابلیت اعتماد شبکه، به طور وسیع و با استفاده از روش های مختلف گسترش یافته است. هدف اصلی رساله حاضر، بررسی خواص مختلف قابلیت اعتماد شبکه، از جنبه های مختلف و بر اساس این فرض است که خرابی مولفه های شبکه طبق یک فرآیند شمارشی رخ می دهد. در روند انجام این کار، مفهومی به نام ‎«‎طیف خرابی‎»‎ نقش مهمی را ایفا می کند. این رساله به صورت زیر سازماندهی می شود: در فصل ‎1‎، برخی از مفاهیم اساسی را ارائه می دهیم که در طول رساله مورد استفاده قرار می گیرند. در فصل ‎2‎، مروری بر برخی از روش های موجود در بررسی قابلیت اعتماد شبکه ها خواهیم داشت. فصل ‎3‎ به مطالعه قابلیت اعتماد شبکه مبتنی بر طیف خرابی آن، تحت این فرض که مولفه های شبکه تحت یک فرآیند شمارشی خراب می شوند، می پردازد. نمایش آمیخته ای برای قابلیت اعتماد طول عمر شبکه، بر حسب توابع قابلیت اعتماد زمان های ورود فرآیند ارائه می کنیم. نشان می دهیم که وقتی طیف های خرابی دو شبکه به طور تصادفی ترتیب می شوند، آن گاه تحت برخی شرایط، طول عمرهای دو شبکه نیز به طور تصادفی مرتب می شوند. در حالت خاصی که فرآیند خرابی مولفه ها، یک فرآیند پواسن ناهمگن است، یک نمایش آمیخته برای قابلیت اعتماد شبکه به دست می آوریم و خواص تصادفی و سالخوردگی متعددی از طول عمر شبکه را از جنبه های مختلف بررسی می کنیم. نرخ خطر طول عمر شبکه و رفتار مجانبی آن نیز مورد بحث قرار می گیرد. در فصل ‎4‎، قابلیت اعتماد پویای شبکه را تحت این فرض که مولفه های شبکه طبق یک فرآیند پواسن ناهمگن از کار می افتند، مورد مطالعه قرار می دهیم. نمایش های آمیخته متعددی برای تابع قابلیت اعتماد عمر باقیمانده شبکه، تحت شرایط مختلف بر وضعیت شبکه یا مولفه های آن، ارائه می کنیم. همچنین تابع توزیع زمان غیرفعال بودن شبکه ای که در زمان بازرسی ‎$t$‎ متوجه شده ایم از کار افتاده است، مورد بررسی قرار می گیرد. مثال ها و نمودارهای متعددی نیز برای نشان دادن برقراری نتایج در این فصل، ارائه شده است. فصل ‎5‎ به محاسبه طیف خرابی شبکه اختصاص دارد. در این فصل، یک الگوریتم جدید ارائه می دهیم که ما را قادر می سازد تا بردار طیف خرابی شبکه های پیچیده را برآورد کنیم. الگوریتم پیشنهادی، برای برآورد کردن طیف خرابی شبکه خیابان های تهران استفاده می شود.