یکی از پارامترهای مهم در نظریه گراف هم از نظر کاربردی و هم از نظر جذابیت های تحقیقاتی پارامتر عدد احاطه گر یک گراف است. زیر مجموعه d از مجموعه راس های گراف v,e=g یک مجموعه احاطه گر برای g است هر گاه هر راس از v-d با راسی در d مجاور باشد تاکنون مقالات فراوان و کتابهایی در مورد این مفهوم و تعمیم هایی از آن نوشته شده است. از جمله تعمیم های این پارامتر مفهوم مجموعه احاطه گر مهارکننده کلی در گراف ها است که در سال 2005 توسط دی خیانگ ما و دیگران معرفی شده است. زیر مجموعه d از مجموعه راس های گراف g=(v,e را یک مجموعه احاطه گر مهارکننده کلی برای g هرگاه d یک مجموعه احاطه گر برای g باشد و زیر گراف های القایی d و v-d راس تنها نداشته باشند. اندازه مینیمم مجموعه احاطه گر مهارکننده کلی برای g را عدد احاطه گر مهارکننده کلی گراف g گوییم و با g نمایش می دهیم . در این پایان نامه ابتدا نتایج تحقیقاتی موجود راجع به این مفهوم مورد مطالعه قرار گرفته قرار گرفته و در ادامه به تعریف چند مفهوم جدید در این رابطه پرداخته شده است. هم چنین با کمک این مفاهیم کران هایی جدید برای عدد احاطه گر مهارکننده کلی گراف ها همراه با نتایجی جدید در این رابطه به دست آمده است

نمایش گرافها علاوهبراین که ابزار مفیدی برای مطالعه ساختار و خواص گرافها هستند، در علوم کامپیوتر نظری نیز کاربردهای فراوانی دارند و همواره مورد توجه محققان قرار گرفتهاند. یکی از روشهای نمایش گراف که بیشترین توجه را به خود اختصاص داده، نمایش ‎$l$-اشتراکی است که‎ $lsubset {0,1,2,dots}$ ‎ تعیین کننده مجاورت و یا عدم مجاورت دو رأس در گراف است. به عبارتی، به هر رأس گراف یک مجموعه نسبت داده میشود بهطوری که دو رأس مجاور هستند اگر و تنها اگر اندازه اشتراک مجموعههای نظیر آنها متعلق به ‎$l$‎ باشد. موضوع پژوهش در این رساله مطالعه انواع نمایشهای اشتراکی گرافها و یافتن ارتباط آنها با سایر مفاهیم و پارامترها در نظریه گراف است. در این راستا ضمن معرفی انواع مهم نمایشهای ‎‎$l$-اشتراکی، کرانهای پایین مناسبی برای کمترین تعداد برچسبهای لازم در نمایشهای اشتراکی وابسته به ‎$l$‎های مختلف ارائه شده است. سپس به طور خاص، به نمایشهای ‎$l$-اشتراکی متناظر با $l = {1,2,dots}$ که با سایر مفاهیم در نظریه گراف مانند پوششهای خوشهای یالی در ارتباط تنگاتنگ است، پرداخته شده و کرانهایی به ویژه برای گرافهای بدون $k_{1,3}$‎ ارائه شده است. همچنین نمایش ضرب نقطهای به گرافهای جهتدار تعمیم داده شده و مورد مطالعه قرار گرفته است. در پایان، یک روش جدید متقارنسازی با استفاده از برچسبگذاری رأسها ارائه شده که به عنوان ابزاری برای حل مسائل اکسترمال قابل استفاده است.

چکیده ندارد.