با استفاده از تعبیر توپولوژی پایای بئر، تعریف پایای بئر را برای جفت و سه تایی گروهها گسترش داده و خواص آن را بدست می آوریم و برای حاصلضرب آزاد گروهها پایای بئر را در هر رسته بررسی می کنیم

در این پایان نامه سعی شده هماهنگی و همبستگی مطالب حفظ شده و انطباق مناسبی با دانسته های قبلی ما در حالت کلاسیک داشته باشند. بعد از مطالعه این پایان نامه تا حدودی قانع خواهیم شد که تعاریفی که در مبحث همولوژی دیجیتال بیان شده، منافاتی با همولوژی کلاسیک شامل همولوژی تکین، همولوژی سادکی و یا حتی همولوژی سادکی مجرد نداشته و بعبارتی این تعاریف مناسب و ارزشمند هستند. در این پژوهش تصاویر دیجیتال به نحو شایسته معرفی شده و سعی شده سوالاتی را در ذهن خواننده متن ایجاد نماید؛ بطوریکه خواننده با مطالعه متن می تواند بین دانسته های قبلی خود در مورد همولوژی کلاسیک و تعاریف و قضایای جدید ارتباطی منطقی بیابد و می تواند مطالبی را در ذهن خود بپروراند که شاید در آینده موضوع مقالاتی دیگر گردد. در این پایان نامه نحوه محاسبه گروههای همولوژی دیجیتال را بیان نموده و چند مثال جالب نیز ارائه شده است. همچنین نحوه محاسبه مشخصه اویلر را بر روی سطوح دیجیتال مشابه آنچه در سطوح اقلیدسی بیان شده، ارائه می کنیم. در این پایان نامه نشان داده شده است که گروههای همولوژی دیجیتال و مشخصه اویلر ناوردای توپولوژی دیجیتال نیز هستند. همچنین با تعریف جمع همبند دو سطح بسته دیجیتال، با ذکر چند مثال مشخصه اویلر آنها نیز محاسبه می گردد.

در پردازش تصویر و گراف های کامپیوتری، یک شیء در صفحه یا فضای سه بعدی، توسط مجموعه ای از پیکسل ها یا وکسل ها، به صورت دیجیتالی تقریب زده می شود. توپولوژی دیجیتال، خاصیت های این مجموعه از پیکسل ها یا وکسل ها، که مشابه خاصیت های توپولوژی کلاسیک است، را مورد مطالعه قرار می دهد. این پایان نامه، بر اساس مقاله ای از سه نویسنده کنگ، روسکو و رزنفیلد، که با عنوان " مفاهیمی در توپولوژی دیجیتال " انتشار یافته، پایه ریزی شده است. در این پایان نامه به مطالعه ی اصطلاحات و مفاهیم بنیادین توپولوژی دیجیتال می پردازیم و برخی از خواص فضای دیجیتال که مشابه خواص کلاسیک است، را بیان می کنیم. مجاورت های مختلف را تعریف کرده و تعدادی از تورهایی که در هنر پردازش تصویر در نظر گرفته می شوند، مورد بررسی قرار می دهیم. در نهایت مسیرهای دیجیتال و هموتوپی دیجیتال را بیان کرده و گروه بنیادین دیجیتال را معرفی می کنیم و در فصل آخر دو مقاله از باکسر با عنوان " خاصیت هایی از هموتوپی دیجیتال " و " توابع پیوسته ی دیجیتال " را مورد بررسی قرار می دهیم.

در پایان نامه ی پیش رو ضمن تعریف فضای جهت دار، چند مثال از آن را ذکر خواهیم کرد. هم چنین به معرفی کتگوری تولید شده توسط یک زیرکتگوری می پردازیم و دو مثال مهم یعنی کتگوری تولید شده توسط مکعب های جهت دار و کتگوری تولید شده توسط سادک ها را ارائه خواهیم کرد. علاوه بر این ضمن تعریف دو فانکتور جعبه ساز و سادک ساز، نشان خواهیم داد زیر کتگوری فضاهای جهت دار تولید شده توسط مکعب های جهت دار با زیرکتگوری فضاهای جهت دار تولید شده توسط بازه ها و بازه های جهت دار برابر است و به طریق مشابه نشان خواهیم داد زیرکتگوری فضاهای توپولوژیک تولید شده سادک ها با زیر کتگوری فضاهای توپولوژیک تولید شده توسط بازه ی واحد برابر است. علاوه بر این نشان خواهیم داد فانکتور جعبه ساز، یک الحاق راست برای فانکتور شمول : d − topb −→ d top و فانکتور سادک ساز، یک الحاق راست برای فانکتور شمول ι : topd −→ top می باشد . هم چنین در ادامه ی این مباحث ضمن تعربف فضای جهت دار نقطه دار، نگاشت جهت دار نقطه دار و کتگوری فضاهای جهت دار خوش نقطه به معرفی پوشش جهت دار نقطه دار و پوشش جهت دار نقطه دار جهانی خواهیم پرداخت و مثالی برای آن ذکر خواهیم کرد و نشان خواهیم داد، برای فضای جهت دار خوش نقطه ی (x,x)، پوشش جهت دار نقطه دار جهانی برای (x),x)، پوشش جهت دار نقطه دار جهانی برای (x,x) نیز می باشد.

‎ این پایان نامه بر پایه مقاله ای با عنوان "مفاهیمی در توپولوژی دیجیتال " ‏که از سه نویسنده کنگ‏، روسکو و روزنفیلد در سال 1992 انتشار یافته‏، می باشد. که در آن ابتدا بطور مختصر به برخی اصطلاحات و مفاهیم بنیادین توپولوژی دیجیتال از جمله روابط مجاورت‏، ‎$ ‎‎cdot‎‎$‎‏-‎مولفه و ‎‎$ ‎‎cdot‎‎$‎‎‏-‎همبندی ‏پرداخته و سپس فضای تصویر دیجیتال منظم را تعریف و گروه بنیادین دیجیتال بر روی آنرا را به کمک ‎ ‎$ ‎‎mathcal{p}‎$‎‏-‎‎گام ها تعریف می کند. بعد از آن شرایط لازم برای اینکه یک فضای تصویر دیجیتال‏، فضای تصویر دیجیتال قویاً نرمال باشد را ذکر کرده و با بررسی چند مثال به مطالعه ی بیشتر این فضا می پردازد. هم چنین فضای تصویر دیجیتال خالیمسکی را به عنوان مثال بارزی از فضای توپولوژی کوچکترین همسایگی معرفی و ثابت می کند فضای تصویر دیجیتال خالیمسکی‏، قویاً نرمال است. در انتها گروه بنیادین دیجیتال گسسته برای یک فضای تصویر دیجیتال قویاً نرمال را به کمک گام های دیجیتال سیاه‏، روابط هم ارزی بی واسطه و هم ارزی تعریف ‏کرده و در قضیه ای در فصل آخر ثابت می شود چنانچه یک فضای تصویر دیجیتال منظم‏‏، قویاً نرمال باشد‏، آنگاه گروه بنیادین دیجیتال گسسته با گروه بنیادین دیجیتال بر روی این فضای منظم یکریخت می‏ شود.}

چکیده ندارد.