چکیده قاب ها ابتدا در سال 1952 توسط دافین ( duffin ) و شفر ( schaeffer ) با کار بر روی سری های فوریه ی غیر هارمونیکی معرفی شدند و در سال 1986 به وسیله ی دوبیچز ( daubechies ) و گراسمن ( grossman ) و مه یر ( mayer ) بیش از پیش شناسانده شدند و از خواص قاب ها در طبقه بندی فضاهای تابعی ، پردازش سیگنال ها و خیلی زمینه های دیگر استفاده کردند . در فصل اول این پایان نامه ، تعاریف ، نکات و قضایای مورد نیاز فصل های بعدی را به صورت مختصر و فهرست وار آورده ایم . در فصل دوم ابتدا تعریفی از شبه قاب و ساختمان آن را برای زیر فضاها در یک فضای هیلبرت جدایی پذیر h ( pffs ) ارائه می کنیم و اهمیت pffs ها را به عنوان یک عنصر اساسی و مهم در ساختمان موجک های هموار و متقارن بیان می کنیم و به رابطه ی بین pffs ها و قاب ها برای زیر فضای x از h ، اشاره می کنیم .از دیگر کاربردهای مهم و مفید pffs ، ترمیم سیگنال های صوتی می باشد . سرانجام در فصل سوم ، g-قاب ها را که قاب های تعمیم یافته ای ، شامل قاب های معمولی ، عملگرهای خطی و معکوسپذیر و کراندار هستند را تعریف می کنیم . سپس خیلی از خواص و ویژگی های اساسی g-قاب ها را ذکر کرده و آن ها را با خواص قاب ها ، مقایسه می کنیم و همچنین تعمیمی از پایه های رایس ، پایه های متعامد یکه و دنباله های بسل را بیان می کنیم و در انتها به عنوان کاربردی از g -قاب ها و خواص آن ها ، حل های اتمی برای عملگرهای خطی کراندار را ارائه می دهیم .