‏مرتبط‎‎ کردن مفاهیم موجود بین شاخه های مختلف ریاضیات یکی از روش های کارآمد برای بررسی کردن آن مفاهیم می‏ باشد. نسبت دادن شی ترکیبیاتی به شی جبری دارای دیرینه‏ای نسبتا طولانی می باشد. یکی از قدیمی ترین این تناظرها نسبت دادن گراف کیلی به گروه می باشد که توسط آرتور کیلی‎انجام گرفت و نتایج خیره کننده ای از این تناظر بدست آمد. اولین ارتباط بین حلقه ها و گراف ها توسط بک برقرار شد. بک به حلقه جابه جایی ‎$‎‎‎r‎$‎‎‏‏، گراف مقسوم علیه صفر ‎$‎‎‎r‎$‎‎‏‏، ‎‎$‎‎gamma‎(r)‎$‎‏‏، را نسبت داد. در گراف بک تمام عناصر حلقه رئوس گراف بودند و دو عنصر متمایز ‎$‎‎‎a‎$‎‏ و ‎$‎‎‎b‎$‎‏ به همدیگر متصل بودند اگر ‎$a‎ ‎b=0‎$‎‏.‎ البته تمرکز اصلی بک مشخص کردن عدد رنگی این گراف بود. در ادامه‏، آندرسون ‏و لیوینگستون‎‎‎ تعریف این گراف را اصلاح کردند و مجموعه رئوس گرا‏ف را به مقسوم علیه های ناصفر صفر حلقه ‎$‎‎‎r‎$‎‏‏، ‎$z^*(r)‎$‎‎‏‏، کاهش دادند. سوال مهم پیشروی افرادی که در این حوزه فعالیت داشتند این بود که چگونه خواص حلقه ای ‎$‎‎‎r‎$‎‏‏، ویژگی های گرافی ‎$‎‎‎‎gamma‎(r)‎$‎‏ را مشخص می کند و بالعکس. پاسخ دادن به این سوال خیلی جذاب بود چرا که از روش های ساده محاسباتی تا مسائل پیشرفته در نظریه حلقه ها به کمک حل این مسائل آمدند. در خیلی از موضوعات تمام حلقه هایی که گراف های شان دارای ویژگی خاصی بودند‏، رده بندی شدند. همان طور که انتظار می رفت بعد از نسبت دادن این گراف به حلقه‏، پژوهشگران زیادی به خصوص از سمت شاخه جبر جذب این موضوع شدند و به مرور گراف های مختلفی که ایده اصلی شان گراف مقسوم علیه صفر بود به ساختارهای دیگر جبری نسبت داده شود. اکنون افراد زیادی جذب این شاخه شده بودند که اغلب دو سبک کاری را دنبال می کردند. عده ای مفهوم گراف مقسوم علیه صفر را به ساختارهای دیگر جبری تعمیم دادند. گراف مقسوم علیه صفر نیم گروه ها‏، جبرهای بولی و مدول ها معرفی و بررسی شد. عده ای دیگر نیز به نسبت دادن گراف های جدید به ساختارهای جبری پرداختند.

در این پایان نامه، ‏گراف مقسوم علیه صفر ‎‏ حلقه ‎r‎‎‏ نسبت به ایده آل ‎ iرا مورد بررسی قرار می دهیم.‎ فرض کنید r‎ یک حلقه جابه جایی و ‎ i‎ یک ایده آل از ‎ r‎ باشد. گراف مقسوم علیه صفر ‏حلقه r نسبت به ایده‎‎ آل i‎ را با نماد(r) γ_i نمایش داده ‏و گرافی است که مجموعه راس های آن‏، مجموعه ‎ v (γ_i (r)) = { x ∈ r i | ∃ y ∈ r i s.t xy ∈ i } و دو راس مجزاء x وy مجاورند اگر و تنها اگر xy∈ i . در حالتی که i=<0> ، γ_0 (r) را باγ(r) نشان می دهیم که همان گراف مقسوم علیه صفرحلقه است که در نوشتههای دیگر آن را میشناسیم. در این پایان نامه رابطه بین γ_i (r)≅γ_j (s) و γ(r/i)≅γ(s/j) را توضیح می دهیم همچنین γ_i (r) را زمانی که گراف ‏ دو بخشی است مورد بررسی قرار می دهیم. در انتها نتایجی از زیر گراف ها و برخی از پارامتر‎‎های گراف ‎‎‏γ_i (r) را بیان می کنیم.