در این پایان نامه تحلیل رگرسیونی داده های شمارشی با متغیر پاسخ آمیخته مدنظر قرار گرفته است. در تحلیل داده های شمارشی، تحلیل رگرسیون پواسون یکی از تکنیک های بسیار پرکاربرد می باشد. یکی از مفروضات اصلی مدل رگرسیون پواسون برابری میانگین و واریانس متغیر پاسخ است. اما در بسیاری از کاربردها مشاهدات پاسخ بیش پراکنده اند و به همین دلیل برازش مدل رگرسیون پواسون به داده ها مناسب نیست. در این موارد می توان از مدل رگرسیون پواسون آمیخته به عنوان مدلی جایگزین استفاده نمود. از این رو، مدل رگرسیون پواسون آمیخته ی متناهی یک متغیره از دو دیدگاه بسامدی و بیزی مورد بررسی قرار گرفته است. سپس کاربرد مدل رگرسیون پواسون آمیخته ی متناهی در تحلیل رگرسیونی داده های پیوندیافته شرح داده شده است. وجود صفرهای بیش از حد در مشاهدات پاسخ یکی دیگر از مشکلات در تحلیل داد ه های شمارشی است، که می توان با استفاده از توزیع پواسون دومتغیره برآن غلبه کرد. بنا بر این تحلیل رگرسیونی با متغیر پاسخ دارای توزیع پواسون آمیخته دو متغیره در رهیافت بیزی مد نظر قرار گرفته است. نشان داده شده که به دلیل شکل پیچیده تابع درستنمایی مبتنی بر توزیع پواسون دو متغیره، توزیع پسین فاقد شکل بسته بوده و بسیار پیچیده است. از این رو، توزیع های پسین شرطی کامل پارامترها محاسبه و الگوریتم گیبز برای نمونه گیری از توزیع پسین ارائه شده است. به منظور ارزیابی مدل بیزی پیشنهادی و مقایسه ی آن با همتای بسامدی، مطالعه ای شبیه سازی انجام شده است. هم چنین نحوه کاربست رهیافت بیزی پیشنهادی در قالب یک مثال کاربردی در زمینه ی ‏تحلیل داده های سرطان معده و روده ی بزرگ شرح داده شده و کارایی آن مورد ارزیابی قرار گرفته است. نتایج حاکی از کارایی مطلوب تر مدل بیزی پیشنهادی نسبت به مدل بسامدی در برازش مدل است.

موضوع تلاطمات یکی از مباحث مهم در ریاضیات مالی است که همواره مورد علاقه شدید شرکت کنند‎‎‎‎گان در بازار‎‎های مالی، پژوهشگران وحتی عموم مردم می باشد، که غالباً آن را با واژه ریسک می شناسند. بنابراین مدل سازی و پیش بینی تلاطمات در ریاضیات مالی دارای اهمیت فراوان است. یکی از مدل های مهم که برای بررسی بازده تلاطمات در دوره های زمانی با فاصله مساوی در بازار بورس مورد استفاده فراوان قرار گرفته‏، فرایند های ناهمواریانس شرطی اتورگرسیو (گارچ) زمان گسسته است. معادله واریانس شرطی مدل گارچ توصیف کننده تلاطمات یک سری زمانی مالی است. دسترسی گسترده به داده های با حجم زیاد در بازه‎های زمانی بسیار کوتاه توجه پژوهشگران را معطوف به مدل های زمان پیوسته نموده است. در ریاضیات مالی یکی از تلاش ها برای ساختن یک مدل زمان پیوسته با جایگزینی فرایند لوی به جای متغیرهای نوفه در یک مدل گارچ زمان گسسته حاصل شده است. با انجام این تغییر یک مدل گارچ زمان گسسته تبدیل به یک معادله دیفرانسیل تصادفی می شود. مدل گارچ زمان پیوسته (کوگارچ) یک جواب این معادله دیفرانسیل تصادفی است. برای براورد پارامترهای مدل کوگارچ روش های متعددی پیشنهاد شده است که سه تا از مهمترین روش ها عبارتند از روش ماکسیمم درستنمایی، روش گشتاوری و رویکرد بیزی با استفاده از روش های شبیه سازی مارکف مونت کارلو (mcmc)‎ ‎. در یک بررسی تجربی هدف ما مقایسه عملکرد مدل های گارچ و کوگارچ و سه روش براورد مدل گارچ با استفاده از داده های بازده تلاطمات بورس ازجهت برازش مدل و توانایی پیش بینی تلاطمات با استفاده از داده های خارج از نمونه است. توجه ما معطوف به سری زمانی ساعتی بازده بازار بورس ایالات متحده و ایران طی سال های 2000 تا 2012 میلادی است. نتایج نشان دهنده عملکرد خوب مدل کوگارچ و همچنین نشان دهنده این است که رویکرد بیزی براورد های قابل اطمینانی را دربین روش های رقیب ارائه می کند.

مسأله براورد یکی از جنبه های اصلی استنباط آماری است. متناظر با هر پارامتر براوردگرهای متعددی وجود دارند و در بسیاری از مسائل دست یابی به براوردگری که از کارایی مطلوب برخوردار باشد، مشکل است. در این پایان نامه، مسأله بهبود براوردگرهای پارامترهای جامعه با استفاده از اطلاعات پیشین مورد توجه قرار گرفته است. با توجه به این که اغلب برای یک پارامتر بیش از یک براوردگر وجود دارد، از این رو براوردگرهایی تحت عنوان براوردگرهای ترنجیده بهبودیافته به شکل ترکیب بهینه جفت براوردگرها ارائه و تعمیم هایی در این باره پیشنهاد شده است. سپس، براوردگرهای بهبودیافته تحت روش نمونه گیری مجموعه رتبه دار مورد بحث قرار گرفته و در این راستا با فرض معلوم بودن ضریب تغییرات، براوردگرهای بهبودیافته برای میانگین و واریانس جامعه تحت این روش ارائه شده است. به علاوه، چون پارامترهای میانگین و واریانس تنها پارامترهای مورد علاقه نیستند، مسأله یافتن براوردگر بهبودیافته در حالت کلی و برای هر تابعی از پارامتر جامعه نیز مطرح و راه حل مناسب پیشنهاد شده است. در نهایت، روش های مورد بحث به منظور ارائه براورد بهبودیافته پارامترهای میانگین و واریانس درامد خانوارهای روستایی در ایران تحت روش نمونه گیری تصادفی ساده و مجموعه رتبه دار به کار گرفته شده اند.

روش گشتاور سنتی یکی از روش های رایج براورد پارامترها است. علی رغم برخی جنبه های مثبت این روش دارای معایبی مانند تاثیرپذیری از داده های پرت، وابسته بودن به گشتاورهای مراتب بالا است. در این پایان نامه روش گشتاور وزنی احتمال و ترکیب های خطی آن به عنوان نسخه ی اصلاح شده روش گشتاوری سنتی مورد توجه قرار گرفته است. نشان داده شده است که براوردگرهای حاصل از این نوع گشتاورها نسبت به حضور داده های پرت نیرومند هستند، به وجود گشتاورهای مراتب بالا وابسته نیستند و در برخی مسائل حتی از براورد های حاصل از روش ماکسیمم درستنمایی نیز کاراتر می باشند.

درخت ها، گراف هایی همبند و بدون دور هستند و ویژگی های آن ها، پایه های نظریه ی گراف است. یک درخت n گرهی برچسب دار شده توسط 1، 2، ...، n، بازگشتی است، اگر برچسب دار شده توسط ‎1‎ به عنوان ریشه تعین شود و برای هر 2? k ?n برچسب ها گره ها در یک مسیر یکتا از ریشه تا گره برچسب دار شده توسط k یک دنباله ی افزایشی تشکیل دهد. شاخص های توپولوژیکی، پارامترهای عددی یک گراف هستند که توپولوژی آن را مشخص می کنند و معمولاً پایای گراف هستند.

در مدل سازی آماری معمولاً وجود محدودیت های مختلفی مانند هزینه، نیروی انسانی، وقت و غیره در بررسی های نمونه ای موجب می شود که نتوان به نمونه ای به اندازه کافی بزرگ برای رسیدن به دقت مطلوب دست یافت. هنگامی که جامعه ناهمگن باشد این مشکل نمود بیشتری پیدا می کند. در چنین شرایطی روش های مختلف براورد کوچک ناحیه ای در مقایسه با روش های معمول به استنباط های قابل اعتمادتری منجر می شوند. عمومی ترین کلاس از مدل های کوچک ناحیه ای مدل های اثرات آمیخته هستند. دو نقطه ضعف اصلی این مدل ها آن است که به فرض نرمال بودن متغیر پاسخ وابسته اند و در مقابل داده های دورافتاده نیز استوار نیستند. در این پایان نامه رویکرد جدیدی برای براورد کوچک ناحیه ای تحت عنوان مدل های چندچندکی مورد مطالعه قرار گرفته است. نشان داده شده است این مدل ها در واقع تعمیمی از رگرسیون چندک و مبتنی بر براوردگرهایی از نوع ماکسیمم درستنمایی هستند که بر حسب یک تابع تاثیر خاص توسعه داده می شوند. مزیت اصلی مدل های چندچندکی این است که در مقابل داده های دورافتاده و انحراف از فرض های توزیعی استوار هستند. در نهایت مدل های چندچندکی در قالب چند مطالعه شبیه سازی و یک مثال واقعی مورد ارزیابی قرار گرفته و با مدل های اثرات آمیخته مورد مقایسه قرار گرفته اند.