مفهوم مقسوم علیه های آزاد توسط سایتو در سال ???? معرفی شده است که اهمیت بسزائی در نظریه تکینگی دارند. نسخه جبری این تعریف توسط آرون سیمیس در سال ???? ارائه شده است. چندجمله ای $ f$ از حلقه چندجمله ای $ r$ را مقسوم علیه آزاد گوئیم اگر ایده ال ژاکوپی $ f$ ایده ال تام از هم بعد ? باشد. در این پایان نامه ابتدا نسخه جبری تعریف سایتو را به همراه نتایج بدست آمده به صورت کامل مطالعه می کنیم، مفهوم مقسوم علیه آزاد کزول و از نوع خطی را بیان می کنیم و درآخر مثال هایی از مقسوم علیه های آزاد همگن تحویل ناپذیر در صفحه تصویری $ mathbb{p}_k^2$ را می آوریم.