هدف رساله شناسایی و رده بندی ابررویه های فضاگون در فضافرم های استاندارد ریمانی و لورنتزی با شرط l_kx=ax+b و ابررویه های زمان گون در فضای مینکوفسکی و فضاهای دسیتر و پاد-دسیتر با شرط l_kx=ax+b است که در آن l_k عملگر خطی شده حاصل از وردش اول (k+1)-مین خمیدگی میانگین ابررویه ، a یک ماتریس حقیقی و b یک بردار حقیقی و k یک عدد صحیح نامنفی کوچکتر از n است. بطور دقیقتر ، ثابت می شود که ابررویه های بالا در یک رده گسترده شامل ابررویه های ذیل قرار دارند: 1- ابررویه های k-مینیمال در فضاهای اقلیدسی و مینکوفسکی 2- ابررویه های با (k)-مین خمیدگی میانگین ثابت و (k+1)-مین خمیدگی میانگین صفر در فضافرم های استاندارد ناتخت ریمانی و لورنتزی 3- ابررویه های تماماً نافی ریمانی و لورنتزی 4- حاصلضرب (شبه-)ریمانی استاندارد از دو ابررویه تماماً نافی ریمانی و لورنتزی.

در فصل اول پیش نیازهایی درباره ی خمینه های نزدیک-کیلر، فضای متقارن از درجه 3، فضای پیچشی بر یک خمینه کیلر-کواترنیونی و زیرخمینه های لاگرانژی در خمینه های نزدیک-کیلر بیان شده است. در فصل دوم نشان داده می شود که زیرخمینه های لاگرانژی در خمینه های نزدیک-کیلر اکید 6-بعدی و فضای پیچشی بر یک خمینه کیلر-کواترنیونی مینیمال است همچنین تجزیه یک زیرخمینه لاگرانژی در یک خمینه ریمانی نزدیک-کیلر نیز زیرخمینه های تماماً ژئودزیک در یک فضای متقارن از درجه 3 و سرانجام وردش یک زیرخمینه لاگرانژی در خمینه نزدیک-کیلر اکید 6-بعدی مطالعه می شود.

در این پایان نامه توصیفی از خمینه های نزدیک-کیلر ناکیلر 6-بعدی که با عمل یک گروه لی فشرده از نقص همگنی یک هستند، ارائه شده است. در این بررسی به ویژه خمینه های فشرده مورد توجه بیشتری قرار گرفته است. در واقع یک رده بندی از خمینه های نزدیک-کیلر ناکیلر فشرده ی 6-بعدی از نقص همگنی یک با تقریب -وابرسانی داده می شود.هم چنین نشان داده شده است هرگاه گروه لی ساده باشد، خمینه خمیدگی برشی ثابت دارد.

در این پایان نامه فضاهای 3-بعدی لورنتزی متقارن معرفی شده است. همچنین فضاهای 3-بعدی لورنتزی متقارن با میدان برداری پوچ موازی به صورت سراسری توصیف شده است و رویه های دارای فرم اساسی دوم موازی در فضاهای 3-بعدی لورنتزی متقارن رده بندی شده است. نیز تفاوت های جالبی نسبت به حالت ریمانی بدست می آید.

فروبری طولپای x: m^n?r^(n+1)، l_r- متناهی نوع نامیده می شود اگر x تجزیه باپایان x=?_(i=0)^m?x_i ، برای یک عدد صحیح مثبت m داشته باشد که x_i:m^n?r^(n+1)، 1?i?m نگاشت های هموار و x_0 ثابت است. همچنین شرط l_r x_i=?_i x_i,?_i?r,1?i?m درست است، l_r عملگر خطی شده وردش اول (r+1)- امین خمیدگی میانگین ابررویه است. اگر هیچ یک از ?_i ها با هم برابر نباشد، m^n، l_r-m-نوع نامیده می شود. ابررویه l_r-m-نوع پوچ نامیده می شود اگر یکی از ?_i ها، 1?i?m صفر باشد. در این رساله به مطالعه برخی از ابررویه های l_r- متناهی نوع، 1?r?n-1، که n بعد ابررویه است، می پردازیم. ابررویه های اقلیدسی l_r-1-نوع و ابررویه های اقلیدسی l_r-2-پوچ نوع با حداکثر دو خمیدگی اصلی متفاوت را رده بندی می کنیم. با فرض برخی محدویت ها نشان می دهیم، هیچ ابررویه اقلیدسی l_r-3-پوچ نوع وجود ندارد. برخی رویه های اقلیدسی l_1-متناهی نوع و همچنین ابررویه های اقلیدسی درجه دو l_r-متناهی نوع را رده بندی می کنیم. با بهره گیری از مفهوم l_r-متناهی نوع، (r+1)- امین خمیدگی میانگین یک ابررویه اقلیدسی بسته را تخمین می زنیم.

در این پایان نامه ساختار g- خمینه های همگن لورنتزی d- بعدی m=g?h بدست آمده از گروه لی نیم ساده g توصیف می شود. بنا به نتیجه ای از کوالسکی کافیست حالتی را بگیریم که g سره عمل کند در نتیجه زیرگروه پایاگر h فشرده است. افزون برآن هر فضای همگن g?h ? با زیرگروه پایاگر کوچکتر h ??h یک متریک لورنتزی ناوردا می پذیرد. خمینه همگن g?h با زیرگروه پایاگر فشرده همبند h خمینه پذیرفتنی کمین نامیده می شود هرگاه یک متریک لورنتزی ناوردا بپذیرد در حالی که خمینه همگنg?h ? با زیرگروه پایاگر بزرگتر h?h ? چنین متریکی نپذیرد. برای بعد d?11 لیستی از همه چنین خمینه های m ارائه می شود و متریک های لورنتزی ناوردا بر آن توصیف می شود.

در این پایان نامه ابررویه های مستوی لورنتزی در1+ n? با 3- فرم موازی (نسبت به هموستار لوی- چیویتای به دست آمده از متریک مستوی) بررسی می شود. در این بررسی یک رده بندی کامل از چنین ابررویه های ناتبهگون مستوی در4? داده می شود. این پایان نامه به تشریح مطالب] 6[ می پردازد.

در این پایان نامه خمینه های 4-بعدی بسته جهت دار با گروه بنیادی از بعد هندسی 2 (که در شرط های ویژه ای صدق می کند) به کمک ?-w?_2نوع ( یک رد? کوهومولوژی w_m?h^2 (?;z/2) ) ، فرم مقطعی هم وردا و ناوردای کربای-سیبنمن با تقریب -sهم مرزگزینی رده بندی می شود. به عنوان یک کاربرد، خمینه های بسته جهت دار با گروه بنیادی حل پذیر بامسلاگ-سولیتار با تقریب همانسانی رده بندی می شود. افزون بر آن یک نتیجه تحقق پذیری دقیق ارائه می شود. یعنی ثابت می شود برای هر گزینش از ناورداها، یک خمینه 4-بعدی با آن ناورداها وجود دارد.

میدان های برداری که شار آنها در هر نقطه طولپایی باشد دارای اهمیت بسیاری است و کاربرد های فراوانی در ریاضیات و فیزیک دارد. چنین میدان های برداری به افتخار ریاضیدان آلمانی، ویلهلم کیلینگ (wilhelm karl joseph killing (1847-1923) )، میدان برداری کیلینگ نامند. میدان های برداری کیلینگ (به ویژه با طول ثابت) در مرجع های زیادی مطالعه شده است، همچنین هندسه خمینه های ریمانی که میدان برداری کیلینگ می پذیرند، به طور گسترده بررسی شده است میدان های برداری کیلینگ با طول ثابت به طور طبیعی در برخی ساختارهای هندسی مانند خمینه های k- سایا و خمینه های ساساکی ظاهر می شود. مانع های زیادی برای وجود میدان های برداری کیلینگ با طول ثابت بر یک خمینه ریمانی وجود دارد، از جمله اینکه با وجود میدان های برداری کیلینگ نا بدیهی بر خمینه ریمانی ، خمیدگی ریچی منفی نمی تواند باشد. این پایان نامه که مرجع های ‎[9]و ‎[2] را تشریح می کند به بررسی ویژگی ها و کاربردهای میدان های برداری کیلینگ می پردازد و دارای سه فصل است. فصل اول به بیان پیش نیازها می پردازد، از جمله معرفی خمینه های همدیس تخت، میدانهای برداری کیلینگ، خمینه های سایا، k-سایا و ساساکی. فصل دوم به تشریح مرجع ‎[9] می پردازد، در این فصل برخی محدودت های خمیدگی بر خمینه های دارای میدان برداری کیلینگ بررسی می شود. ابتدا ثابت می شود اگر یک میدان برداری کیلینگ یکه بر خمینه ریمانی کامل و یک نقطه بحرانی نگاشت باشد، خمیدگی برشی بر صفحه های شامل بردار نا منفی است. و با بهره بردن آن نتیجه می شود خمینه ریمانی کامل با خمیدگی ریچی منفی، میدان برداری کیلینگ نا بدیهی ندارد. همچنین ثابت می شود هر میدان برداری کیلینگ بر یک خمینه ریمانی کامل فشرده ی زوج بعدی با خمیدگی برشی مثبت دارای نقطه تکین است.در ادامه با آوردن قضیه ای از "ودسلی" ، ثابت می شود اگر یک عمل هموار، موثر و تقریباً آزاد بر خمینه کامل ریمانی داده شده باشد، بر می توان متریکی چون گذاشت که بر یک میدان برداری کیلینگ یکه وجود داشته باشد. پس از آن مثال های از خمینه هایی را که با این روش می توان به یک میدان برداری کیلینگ یکه مجهز کرد بیان می شود، مانند کره های فرد بعدی. فصل سوم به تشریح مرجع ‎[2] می پردازد. در این فصل با بهره بردن از وجود یک میدان برداری کیلینگ با برخی ویژگی ها بر یک خمینه ریمانی، شرط های کافی برای اینکه آن خمینه با کره فرد بعدی یا یک خمینه اینشتین طولپا باشد را ارائه می شود. در بخش اول این فصل ثابت می شود هر خمینه کامل، همدیس تخت، ساده همبند با خمیدگی برشی مثبت که یک میدان برداری کیلینگ ناصفر با طول ثابت بر آن موجود باشد که بردار ویژه عملگر ریچی باشد، با یک کره فرد بعدی طولپاست. در بخش دوم ثابت می-شود وجود یک میدان برداری برداری کیلینگ با طول ثابت بر یک خمینه ریمانی با تانسور ریچی موازی که خمیدگی برشی تنها بر صفحه های شامل آن میدان برداری کیلینگ مثبت باشد، یک خمینه اینشتین را بدست می دهد. سرانجام شرطی بیان می شود که با آن یک خمینه ریمانی کامل که بر آن یک میدان برداری کیلینگ باشد، با فضای اقلیدسی طولپا می شود.

چکیده ‏خمینه های‎ تقریبا اینشتین با تقریب تکینی مقیاس‏، همدیس اینشتین است‏، سرچشمه این مفهوم حساب ترکتوری همدیس است. در این پایان نامه ساختارهای تقریبا اینشتین بر خمینه های حاصل ضرب ریمانی بسته و خمینه های ?-بعدی از نقص همگنی یک بررسی می شود. پاسخ های صریح با حل معادله های دیفرانسیل معمولی بدست می آید. به ویژه سه خانواده از خمینه های ?-بعدی بسته متناظر با داده ی مرزی گروه های لی تک مدولی ساخته می شود. دوتا از این خانواده ها بچ تخت است‏، ولی هیچ یک (سراسری) همدیس اینشتین یا نیم همدیس تخت نیست. بر حاصل ضرب با کره دو بعدی s^2 یک خانواده خارجی از ساختارهای تقریبا اینشتین ساخته می شو‎‎‎د. واژگان کلیدی خمینه های تقریبا اینشتین، خمینه های پوانکاره-اینشتین، خمینه های تقریبا با خمیدگی ‏عددی ثابت، هندسه همدیس، کلاف ترکتوری

نشان داده می شود یک خمینه متریک سایای ناساساکی?-بعدی یک خمینه متریک سایای با است ، اگر و تنها اگر متریک ریمانیg‎-طبیعی بر موجود باشد که نگاشت همساز باشد. یک متریک ریمانی ‎ g‎-طبیعی مناسب بر است که از نوع کالوزا-کلاین نیست. پس از آن نشان داده می شود اگر یک خمینه اینشین و یک ساختار متریک سایای g-طبیعی بر باشد. آنگاه خمینه متریک سایای سایاست اگر و تنها اگر ‎ ‎ ، 2-اشتاین باشد. واژگان کلیدی: خمینه های متریک سایا، خمینه های متریک ‎-h‎سایا، خمینه های متریک -سایا، کلاف مماس کروی یکه، متریک های ریمانی‎ g‎ -طبیعی‏‏، ساختار متریک سایای g‎‎‏-طبیعی.

فرض کنید m یک خمینه ی هموار ، فشرده ، ریمانی و g ?iso(m) زیر گروهی بسته و همبند باشد، چنانکه fix(m,g) (مجموعه نقطه های ثابت عمل ) ناتهی است.عمل g بر m را نقطه ثابت همگن نامند اگر g بر کره ی نرمال بر یکی از مولفه های fix(m,g) ترایا عمل کند، یا به بیان هم ارز ،fix(m,g) در فضای مداری دارای نقص همگنی یک باشد.در این پایان نامه رده بندی خمینه های ?-بعدی بسته ، ساده همبند با خمیدگی برشی نامنفی و عمل موثر نقطه ثابت همگن ، یک گروه لی فشرده از طولپایی ها ،با تقریب وابرسانی مطالعه می شود. پایان نامه به تشریح مقاله ی زیر می پردازد. nonnegaively curved fixed point homogeneous 5-manifols واژگان کلیدی : خمیدگی نامنفی،عمل s^1 ، خمینه های ?-بعدی ، نقطه ثابت همگن

در این رساله عمل های از نقص همگنی یک (که یک گسترش طبیعی عمل های همگن است) بر خمینه های لورنتزی با خمیدگی ثابت بررسی می شود.