در این پایان نامه مسأله ی استورم-لیوویل را با شرایط مرزی دیریکله در نظر می گیریم و توزیع مجانبی مرتبه بالای مقادیر ویژه را با به کار بردن معادله ی ریکاتی به دست می آوریم

فرمول جدید اثر برای دسته های درجه دوم عملگر شرودینگر

محاسبات کسری بیش از 300 سال است که یکی از موضوعات ریاضی است‏، اما کاربردهایش در زمینه فیزیک و مهندسی ‎در سال های اخیر گزارش شده است. در 10 سال گذشته‏، تحلیل رفتار نوسانی توجه فزاینده ای را میان ریاضیدانان‏، فیزیکدانان و مهندسان جذب کرده است. ما بررسی می کنیم که سیستم های ثابت زمانی مرتبه کسری برعکس همتای مرتبه صحیح خود‏، نمی توانند به طور کامل جواب متناوب داشته باشند نشان خواهیم داد که سیستم های کسری با کران پایین منفی بینهایت می توانند دارای جواب متناوب باشند.

‎شارل فرانسوا اشتورم ریاضیدان سوئیسی و ژوزف لیوویل با انتشار مقالاتی در نیمه اول قرن نوزدهم‏، درباره معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه ی دوم شامل مسائل مقدار مرزی منتشر نمودند‏ که ‎منجر به ‎شاخه جدیدی از ریاضیات بنام نظریه ی طیفی عملگرهای دیفرانسیل شد. تاثیر کار آنان چنان بود که این موضوع به نظریه ی اشتورم-لیوویل معروف شد. یکی از مباحث در نظریه طیفی‏، محاسبه فرمول اثر می باشد.‎ در این پایان نامه ابتدا تعاریف و مفاهیم اولیه در مورد معادله اشتورم-لیوویل بیان می شود. سپس به بررسی شرایط مرزی منظم و نامنظم و فرم کلی مقادیر ویژه و جواب این نوع معادله پرداخته می شود. همچنین ‎‎‎‎‎‎‎‎‎در این پایان نامه مسأله طیفی برای معادله اشتورم-لیوویل با تابع پتانسیل مقدار مختلط ‎‎‎‎ ‎$‎‎‎q(x)‎$‎‎ با شرایط مرزی منظم و نامنظم روی بازه‎‎‎ ‎‎ ‎‎$‎(‎0,pi‎)‎$‎ ‎ ‎‎را در نظر می گیریم‎‏ و برای این عملگر اولین فرمول اثر منظم را بدست می آوریم.

برای معادله ی اشتورم-لیوویل با پارامترویژه در شرایط مرزی در حالت های اسکالر و ماتریسی، یک فرمول اثر منظم مرتبه ی اول را به دست می آوریم. همچنین برای سیستم های شرودینگر روی گراف های متری، ابتدا با کمک قضیه ی روشه، بسط مجانبی مقادیر ویزه ی بزرگ را به دست می آوریم و سپس فرمول اثر منظم را برای سیستم های مذکور با استفاده از روش های مانده در انالیز مختلط به دست می آوریم و در آخر این فرمول ها را برای به دست آوردن یک نتیجه در مسأله ی عکس از نوع نتیجه ی امبارزومیان به کار می بریم.