مجموعهs از رئوس گراف gرا یک مجوعه احاطه گر تام نامند هرگاه هر رأس درv(g) با حداقل یک رأس از s مجاور باشد. مینیمم تعداد اعضای یک مجموعه احاطه گر تام را عدد احاطه ای نامیده و با?_(t ) (g) نشان می دهند. مجموعه s را یک مجموعه احاطه گر همبند مضاعف در g نامند هرگاه هر رأس درv(g)-s با حداقل یک رأس از s مجاور بوده و زیرگرافهای القایی g[s] و g[v-s] همبند باشند. مینیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر همبند مضاعف در g را عدد احاطه ای همبند مضاعف آن نامیده و با ?_cc (g) نشان می دهند. مینیمم تعداد یالهایی از گراف g را که با زیرتقسیم ـآنها عدد احاطه ای تام (عدد احاطه ای همبند مضاعف) افزایش یابد، عدد زیرتقسیم احاطه ای تام (عدد زیرتقسیم احاطه ای همبند مضاعف) نامیده و ب) sd_(?_t ) (g) sd_(?_cc ) (g) (نشان می دهند. فاوارون و همکارانش حدس زدند که در هر گراف همبند g از مرتبه n?3، sd_(?_(t ) ) (g)??_t (g)+1 و آن را برای برخی گرافها ثابت کردند. در این رساله، این حدس را برای گرافهایی که هر رأس آنها مشمول در حداکثر سه دور القایی c_4 باشد و گرافهای همبندی که دورهای القایی c_3 و c_5 ندارند، ثابت کرده و یک کران بالا برای عدد زیرتقسیم احاطه ای تام در رده خاصی از گرافها بر حسب عدد جورسازی ارایه می دهیم. همچنین عدد زیرتقسیم احاطه ای همبند مضاعف را مطالعه کرده و کرانهایی را برای آن برحسب پارامترهای مختلف یک گراف ارایه می دهیم.

در این پایان نامه به بررسی خانواده ای از پار‎امترها که مدل کسری برخی پارامترهای دیگر در نظریه گراف هستند، می پردازیم. پارامترهای اصلی در حالت کلی به فرم: مینیمم-ماکسیمم کاردینالیتی یک مجموعه مینیمال-ماکسیمال از رئوس گراف ‎هستند، بطوریکه مجموع وزن رئوسی که به همسایگی هر رأس نسبت می د هیم حداکثر-حداقل یک می باشد. پارامترهایی که در این پایان نامه بررسی می کنیم شامل مدل کسری احاطه ای، احاطه ای تام، دسته بندی، ‎ -‎k‎ ‎ فاصله احاطه ای و احاطه ای کلی است.

فرض کنید g = ( v ; e ) گرافی فاقد راس منفرد است. مجموعه ی d ? v (g) را مجموعه احاطه گر تام گوییم هرگاه d یک مجموعه احاطه گر بوده و زیر گراف القایی g[d] شامل هیچ راس منفردی نباشد. می نیمم کاردینال یک مجموعه احاطه گر تام را عدد احاطه ای تام می نامند. مجموعه d ? v (g) را یک مجموعه احاطه گر همبند بیرونی تام گویند هرگاه d یک مجموعه احاطه گر تام g بوده و زیر گراف القایی توسط g[v ? d] همبند باشد. عدد احاطه ای همبند بیرونی تام برای گراف g ، می نیمم کاردینال یک مجموعه ی احاطه گر همبند بیرونی تام g است. در این پایان نامه ، نخست کران های قابل وصول برای عدد احاطه ای همبند بیرونی تام ارایه کرده و سپس عدد احاطه گری همبند بیرونی تام گراف هایی را بررسی می کنیم که قطر آنها دو است. همچنین ، نامساوی از نوع نامساوی نوردهاوس-گادم را برای عدد احاطه گری همبند بیرونی تام اثبات می کنیم.

در این پایانامه کرانهای بالا و پایین برای عدد k-احاطه ای ارایه میکنیم.