دراین پایان نامه روش هم محلی سینک برای حل معادلات انتگرال فردهلم-ولترا و معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم-ولترا خطی و غیرخطی به کار گرفته شده است. در این روش ابتدا پاسخ معادله را به صورت بسطی از توابع پایه ای سینک در نظر گرفته، سپس با استفاده از خواص توابع سینک و جایگذاری نقاط گره ای سینک، معادله مورد نظر به یک دستگاه معادله جبری خطی یا غیرخطی تبدیل می شود که با استفاده از برنامه کامپیوتری ضرایب مجهول به راحتی قابل محاسبه می باشند. نسبت همگرایی روش، نماییاست، بنابراین روش دارای دقت خوب و از سرعت و همگرایی بالایی برخوردار است. این روش برای حل معادلاتی که در انتهای بازه نقاط تکین دارند، موثر است.

هدف این پژوهش، بدست آوردن طرح های تفاضلات متناهی با مرتبه دقت بالا برای برخی از معادلات دیفرانسیل جزئی با مشتقات کسری است. به همین منظور ما در یک فصل جداگانه به بیان تعاریف وشماری از خواص مشتقات کسری پرداخته ایم. در این فصل سه نوع از عمگر های مشتق و انتگرال کسری معروف را بیان کرده ایم. سپس تعدادی از معادلات دیفرانسیل جزئی با مشتقات کسری مهم در مهندسی و فیزیک از جمله معادلات استوکس، پخش-وزش، زیر پخش، کلاین گردون و کتانئو مورد بررسی قرار گرفته اند. برای معادلات فوق، پس از یافتن تقریب های تفاضلات متناهی فشرده و اثبات حل پذیری طرح پیشنهاد شده، از روش های آنالیز فوریه و روش انرژی برای اثبات پایداری و همگرایی طرح های تفاضلی بهره جسته ایم. نتایج حاصل از به کارگیری روش های پیشنهاد شده، موید مرتبه دقت بالا و کارائی روش ها می باشد.

توسیع مفهوم مشتق غیرصحیح که آن را محاسبات کسری می نامیم، از همان زمان ابداع حساب دیفرانسیل و انتگرال مورد توجه محققین بوده است. اما تا دهه های اخیر از نظر کاربرد چندان مورد توجه قرار نگرفته است. در سال های اخیر دامنه ی کاربرد محاسبات کسری بسیار وسیع شده است. معمولاً استفاده از محاسبات کسری برای مدل های فیزیکی و پروسه های مهندسی باعث بیان بهتر آن ها می شود. معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری در اکثر این مدل ها ظاهر می گردد که متا?سفانه اغلب دارای جواب تحلیلی نیستند. به همین دلیل ما احتیاج به یک روش عددی قابل اعتماد و مو?ثر برای حل اینگونه معادلات داریم. در این پایان نامه به ارایه ی یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات مرتبه کسری که در علم فیزیک و مهندسی دارای کاربرد های فراوانی هستند پرداخته می شود و جواب های تقریبی آن ها با دقت مناسب بدست می آید. در این تحقیق ضمن معرفی چندجمله ای های لژاندر و چبیشف، با استفاده از خواص چندجمله ای های متعامد و نیز با در نظر گرفتن خواص مشتقات کسری از نوع کاپوتو، خصوصاً خاصیت خطی بودن این نوع مشتقات، به محاسبه ی ماتریس های عملیاتی لژاندر و چبیشف برای مشتقات کسری می پردازیم و سپس با استفاده از روش های طیفی تاو و هم مکانی به حل معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه کسری و معادلات انتگرال-دیفرانسیل مرتبه کسری پرداخته می شود. همچنین ایده های ارایه شده در این پایان نامه را برای حل معادله تلگراف از مرتبه کسری به کار برده ایم و جواب های قابل قبولی بدست آمده است.

مسائل حساب تغییرات دسته ی مهمی از مسائل کنترل بهینه را تشکیل می موارد، بدست آوردن جواب آنها به کمک روشهای تحلیلی و همچنین به کمک روشهای مستقیم امکان باشد. ممکن است در مواردی که جوابی هم بدست می آید، دقت لازم را ارائه ندهد. هدف این پژوهش، مطالعه ی روشی برای بدست آوردن تقریبی از اکسترمم مسائل حساب تغییرات است. برای بدست آوردن اکسترمم مسائل حساب تغییراتی گوناگون، دو روش شبه طیفی ارائه می شود. یکی روش شبه طیفی چبیشف بر اساس ماتریس عملیاتی مشتق و دیگری روش شبه طیفی چبیشف بر اساس ماتریس عملیاتی انتگرال. در هر دو روش برای گسسته سازی شبکه از نقاط گره ی چبیشف و از چندجمله ای های لاگرانژ برای تقریب توابع مجهول استفاده می شود. در روش اول، برای یافتن تابع مجهول ابتدا آنرا در نقاط گره ای گسسته کرده و مقادیر تابع مجهول در این نقاط را به عنوان مجهولات جدید مساله در نظرمی گیریم. برای یافتن مقادیر مشتق تابع مجهول از ماتریس عملیاتی مشتق استفاده کرده و مقادیر مشتق تابع مجهول را بر حسب مجهولات مسلاه بازنویسی می کنیم. در روش دوم تابع مشتق مجهول مساله را به عنوان مجهول در نظر می گیریم و آنرا در نقاط گره گسسته سازی کرده و مقادیر تابع مجهول را بر حسب مجهولات می نویسیم. سپس برای تقریب عبارت انتگرالی مساله حساب تغییراتی ، از کوادراتور کلن شاو کرتیس استفاده کرده و پس از گسسته سازی شرایط مساله، مساله حساب تغییراتی را به یک مساله برنامه ریزی غیر خطی نبدیل می کنیم. با حل مساله جدید، جوابی تقریبی برای مساله حساب تغییراتی اولیه بدست خواهد آمد.

بسیاری از مسایل موجود در مباحث فیزیک,شیمی, وغیره پس از مدل سازی و یافتن مدل های ریاضی آنها به مسایل مقدار مرزی از نوع معادلات دیفرانسیل معمولی یا جزیی تبدیل می شوند اما متاسفانه شمار کمی از معادلات دیفرانسیل دارای جواب تحلیلی هستند و یا اینکه در برخی موارد جواب تحلیلی آنها به اندازه ای پیچیده است که استفاده از آنها در کاربرد های عملی برای پی بردن به رفتار جواب یا ساختار سیستم امکان پذیر نیست .همجنین حل عددی و تحلیلی مسایل مقدار مرزی در بعد های بالاتر از یک چندان ساده نیست هدف اصلی این پایان نامه حل عددی مسایل مقدار مرزی یک بعدی و دو بعدی با استفاده از روش شبه طیفی لژاندر می باشد در این روش تابع مجهول در معادله را با درونیابی لاگرانژتقریب می زنیم که نقاط درونیابی گره های گاوس لوباتوی لژاندر می باشد سپس این تقریب را در معادله و شرایط مرزی جایگزین می کنیم و با استفاده از ماتریس های عملیاتی مشتق ,حل معادله ی مورد نظر به حل دستگاه معادلات جبری خطی یا غیر خطی تبدیل می شود و با حل این دستگاه ضرایب مجهول بدست می آید.

در این تحقیق با توجه به پر هزینه بودن حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی سهموی چند بعدی با استفاده از روش های مستقیم، کارائی روش های جهت متناوب به همراه تقریب های تفاضلات متناهی فشرده برای حل عددی اینگونه معادلات بررسی خواهد شد. همچنین به مقایسه ی کارایی این روش ها نسبت به روش های عددی دیگر به کار رفته برای حل این معادلات خواهیم پرداخت. در ضمن پایداری این روش ها نیز بررسی خواهد شد. باید اشاره شود که روش های پیشنهاد شده هم دارای دقت بالا و هم دارای پایداری خوبی می باشند.

در این تحقیق ابتدا به تعریف مسأله کنترل بهینه در حالت خاص و بعد در حالت کلی تری که توأم با قیود نامساوی روی متغیرهای وضعیت و کنترل باشد می پردازیم. با استفاده از روش شبه طیفی، مسأله کنترل بهینه که یک مسأله با بعد نامتناهی است به یک مسأله برنامه ریزی غیرخطی که مسأله ای با بعد متناهی است تبدیل می شود. در این مسأله برنامه ریزی غیرخطی هدف یافتن یک بردار از پارامترهای وضعیت که تابع هدف را تحت قیود جبری مینیمم می کند می باشد‎.‎ در بخش بعد، مفاهیمی از مینیمم سازی غیر مقید، مینیمم سازی با قیود مساوی و مینیمم سازی با قیود نامساوی از یک تابع مورد بحث قرار می گیرد. روش شبه طیفی بهبود یافته برای حل مسأله کنترل بهینه غیرخطی مورد استفاده قرار می گیرد. برای این هدف بازه زمانی مسأله، یعنی ‎ [t_0,t_f] ‎، به چند زیر بازه مساوی تقسیم می شود و هریک از زیربازه ها با یک تبدیل خطی به ‎ [-1,1] ‎ انتقال داده می شود. در هر زیربازه، متغیرهای وضعیت و کنترل توسط چندجمله ای های درونیاب لاگرانژ که مبتنی بر نقاط لژاندر-گاوس-لوباتو هستند تقریب زده می شوند. با استفاده از کوادراتور انتگرال و همچنین ماتریس عملیاتی مشتق بر پایه نقاط لژاندر-گاوس-لوباتو، مسأله کنترل بهینه به یک مسأله برنامه ریزی غیرخطی تبدیل می شود. با حل مسأله برنامه ریزی غیرخطی به دست آمده توسط الگوریتم های موجود، تقریبی برای جواب مسأله کنترل بهینه به دست می آید. در نهایت به اعمال روش شبه طیفی بهبود یافته روی بازه های نامساوی می پردازیم. در این قسمت، تقریبی برای جواب مسأله کنترل بهینه و همچنین نقاط شکست به دست می آید.

در این پایان نامه حل معادلات انتگرال از نوع دوم با استفاده از روش های نیمه تحلیلی مورد بررسی قرار گرفته است. روش های نیمه تحلیلی همچون روش هموتوپی اختلال (hpm)، روش هموتوپی آنالیز (ham)، روش تجزیه اصلاح شده ادومیان (madm)، روش تکرا تغییراتی (vim) و روش تبدیل دیفرانسیل (dtm) و تعمیم (gtdm) آن مورد بررسی قرار می گیرد. در این پایان نامه ایده اصلی نهفته در این روش ها بخصوص جهت حل معادلات انتگرال غیر خطی مورد بحث قرار می گیرد. همچنین روش های اریه شده روی چند مثال پیاده می شود تا کارایی آن ها مشخص گردد. نتایج نشان می دهد که این روش ها از دقت بالای برخوردارند و برای حل معادلات انتگرال مفیدند. همچنین نتایج نشان می دهد که روش های معرفی شده ابزار توانایی برای حل معادلات انتگرال نوع دوم می باشند.

در سال های اخیر توابع بی اسپلاین به واسطه خواص مطلوبی که برای طراحی منحنی ها و رویه های اسپلاین و همچنین حل معادلات دیفرانسیل ایجاد می کنند، مورد توجه فراوانی قرار گرفته اند. بعضی از این خاصیت ها عبارتند از: خاصیت بازگشتی، خاصیت نامنفی بودن و خاصیت پوشش محدب. برای حل مسائل معادلات دیفرانسیل روش های بسیار زیادی وجود دارند، روش هم مکانی یکی از انواع روش های مبتنی بر گسسته سازی می باشد که به یک ابزار قدرتمند برای حل انواع معادلات دیفرانسیل تبدیل شده است. از جمله اهداف این پایان نامه استفاده از توابع بی اسپلاین درجه سوم و درجه پنجم برای حل عددی مسائل مقدار مرزی می باشد. روش هم مکانی را بر مبنای استفاده از پایه های بی اسپلاین درجه سوم برای حل عددی برخی معادلات دیفرانسیل با مشتفات جزئی از جمله معادله انتقال حرارت و همچنین معادله حرکت نوسانی جرم متصل به سیم ارتجاعی و مسأله تروش به کار می بریم. برای حل عددی مسأله غیرخطی مرتبه چهارم با شرایط مرزی جداگانه و معادله جریان فشرده بین دو صفحه نا متناهی از پایه های بی اسپلاین درجه پنجم استفاده کردیم.

در این پژوهش، هدف مطالعه و بررسی روش تبدیل دیفرانسیل است. این روش با توجه به نیازهایی که به حل معادلات دیفرانسیل در شاخه های مختلف علوم و مهندسی وجود داشت، نخستین بار توسط ژو ‎ltrfootnote{zhou}‎پایه گذاری شد. این روش بر پایه روش سری تیلور است اما مشکلات اساسی روش تیلور، همچون محاسبه ی مشتق مراتب بالا را ندارد. با تمام ویژگی های خوب، این روش کاستی هایی نیز دارد که با کمک گرفتن از برخی تکنیک ها این مشکل نیز تا اندازه ای بر طرف می شود. در روش تبدیل دیفرانسیل یک بعدی به کمک تبدیل لاپلاس و تقریب پاده، همچنین با کمک تقسیم بازه ی معادله به بازه های کوچکتر می توان روش را بهبود بخشید. برای محاسبه تبدیل دیفرانسیل توابع غیر خطی نیز راه هایی پیش بینی شده است که در این پژوهش به آنها پرداخته می شود. این روش در ابعاد بالا نیز دارای مشکلاتی است که به کمک روش تبدیل دیفرانسیل تصویری این مشکلات مرتفع می شوند. در آخر، ثمره ی این مطالعات حل یک مسأله ی مقدار مرزی در شیمی و بیو شیمی و نیز حل معادله ی برگرز است، که ارائه خواهد شد.

معادلات دیفرانسیل مرتبه ی کسری برای شرح و توصیف بهتر بسیاری از فرایندهای فیزیکی و مهندسی استفاده می شوند. یکی از اهداف این تحقیق، ساختن توابع ژاکوبی و لژاندر مرتبه ی کسری و به دست آوردن ماتریس عملیاتی مشتق کسری برای این توابع متعامد است. به همین منظور، ابتدا چند جمله ایهای ژاکوبی و لژاندر و ویژگی های آن ها را همراه با مشتق و انتگرال کسری و سری تیلور کلاسیک و سری تیلور کسری مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین در این پژوهش چند جمله ای های مونتز را معرفی خواهیم کرد و برخی از خواص آن ها را بیان می نماییم. از طرفی به طور خاص چند جمله ای های مونتز لژاندر را مورد مطالعه قرار خواهیم داد و چگونگی استفاده از آنها را برای حل معادلات دیفرانسیل کسری بیان می کنیم.

کنترل سیستم های زمان-تاخیری از اهمیت قابل توجهی بر خوردار است. تاخیر ها‏، غالبا در سیستم های بیولوژیک‏، شیمیایی‏، حمل و نقل و در بسیاری از موارد دیگر رخ می دهند. سیستم های زمان-تاخیری‏ رده ی بسیار مهمی از سیستم ها می باشند‏. به همین دلیل‏، کنترل و بهینه سازی این سیستم ها مورد توجه بسیاری از محققان قرار گرفته است. در این پایان نامه‏، توسیعی برای روش شبه طیفی گاوس با استفاده از توابع بلاک-پالس و چند جمله ای های لاگرانژ مبتنی بر نقاط گاوس-لژاندر‏، ارائه می دهیم. همچنین‏، ماتریس عملیاتی مشتق را مطابق با نمایش ضعیف عملگر مشتق به دست می آوریم. به منظور نشان دادن کاربرد و کارایی این روش‏، پنج مساله کنترل بهینه ی تاخیری غیر خطی را بررسی می کنیم.

معادلات دیفرانسیل منفرد، کاربردهای قابل توجهی در زمینه های مختلف علوم و مهندسی یافته اند. به واسطه ی حضور تکینگی، این معادلات دیفرانسیل مشکلاتی را در محاسبه ی جواب هایشان پدید می آورند. روش های تقریبی به مانند قواعد انتگرال گیری عددی، تفاضلات متناهی و عناصر متناهی معمولاً از چندجمله ای ها به عنوان توابع پایه در تقریب جواب بهره می برند که روی ناحیه ای که جواب هموار است، عموماً از دقت قابل قبولی برخوردار هستند. با این وجود، تکینگی حوالی نقاط مرزی ناحیه ی جواب را تحمل نمی نمایند و فرآیند تولید جواب معمولاً به شکست می انجامد. در مقابل، روی بازه هایی که در یکی از دو انتهایشان تکینگی بروز می کند، جواب های عددی که با استفاده از پایه های سینک حاصل می گردند بسیار بهتر از آنهایی است که به کمک چندجمله ای ها به دست آمده اند. در این رساله، به محاسبه ی شاخص فعالیت ‎$(eta)$‎ در یک بیوکاتالیزور اهتمام می ورزیم. شاخص فعالیت نسبتی است که شامل مشتق جواب معادله ی حالت پایدار واکنش نفوذ در یک شبکه کاتالیزوری است و محاسبه تقریبی مطلوب از آن در نزد مهندسین شیمی از اهمیت بالایی برخوردار است. در این راستا، نشان خواهیم داد که روش های مبتنی بر توابع سینک جواب های بهتری از معادله دیفرانسیل مورد علاقه خواهند داد که یک بعدی، منفرد، غیرخطی و وابسته به یک زوج از پارامترهای فیزیکی است. محققین قبلی از روی اجبار با اعمال بعضی محدودیت ها بر روی پارامترهای مسأله، طرح های عددی خود را در تقریب جواب مسأله توسعه داده اند. مشکل دیگر اینست که محاسبه ی شاخص فعالیت مستلزم برآوردی دقیق از مشتق جواب معادله دیفرانسیل ‏است که خود چالش برانگیز است. روش سینک که توسط مشی گالرکین، فرمول بندی می شود و شامل درونیابی توسط یک سری از توابع‏ِ مشهور به سینک‏ است، به خوبی خود را با شرایط مساله سازگار نموده و تقریبی مورد قبول از شاخص فعالیت ارائه می کند. هم چنین با استفاده از تبدیلات نمایی مضاعف ‎(de)‎ و توسط بعضی پارامترهای دخیل در روش هم محلی سینک، جواب های عددی برای یک رده خاص از دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه دوم با شرایط مرزی دو نقطه ای را که قبلاً توسط روش هم محلی سینک مبتنی بر پایه های نمایی یگانه ‎(se)‎ یا روش هسته ی بازتولید فضای هیلبرت ‎(mrkhs)‎ مورد مطالعه قرارگرفته اند، محاسبه ‏کرده و بهبود می بخشد. علاوه بر این، یک روش هم محلی سینک مبتنی بر پایه های یگانه (استاندارد) با تعاملی خاص با شرایط مرزی اختیار می شود تا جواب معادله ی دیفرانسیل غیرخطی مرتبه ی چهارم با شرایط مرزی دونقطه ای موسوم به "فشار جریان بین دو صفحه ی نامتناهی که به آرامی به هم نزدیک می شوند‎``‎ را به خوبی برآورد نماید.

در این پایان نامه هدف ما بررسی رفتار کیفی جواب های مثبت برخی معادلات تفاضلی کسری است. برای این منظور نخست به طور مختصر به معرفی معادلات تفاضلی خطی و انواع معادلات تفاضلی کسری می پردازیم و سپس چگونگی حل این گونه معادلات شرح داده می شود. همچنین در این پایان نامه با مفاهیمی مثل بازه ناوردایی, نقطه تعادل, جاذب کلی, پایداری کلی و مجانبی آشنا می شویم. در انتها این ویژگی ها برای جواب معادلات تفاضلی خطی و معادلات تفاضلی کسری بررسی می گردد. کلمات کلیدی: معادلات تفاضلی کسری, نقطه تعادل, پایداری, ناپایداری, همگرایی, جاذب کلی, پایداری مجانب موضعی, پایداری مجانب کلی, معادله تفاضلی ریکاتی.

بسیاری از مسائل فیزیکی و مهندسی برای تبیین بهتر، با استفاده از معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی به مدل های ریاضی تبدیل می شوند. دستیابی به جواب تحلیلی این گونه معادلات جز در موارد بسیار ساده، کاری بسیار دشوار و بعضاً غیرممکن است و در برخی موارد نیز جوابهای تحلیلی به دست آمده به اندازه ای پیچیده هستند که استفاده از آنها در کاربردهای عملی امکان پذیر نیست. لذا روش های عددی به عنوان تنها راه دستیابی به جواب تقریبی با دقت مناسب از اهمیت ویژه ای برخوردارند. در این پایان نامه ضمن معرفی انواع روش های طیفی به معرفی توابع پایه ای کسری وینر، چریستو و وینر تعمیم یافته روی بازه نامتناهی (?+,??) می پردازیم. سپس با استفاده از روش های طیفی و با به کارگیری توابع پایه کسری وینر، چریستو و وینر تعمیم یافته به تقریب برخی توابع و حل بعضی از مسائل مقدار اولیه و مقدار مرزی می پردازیم. در آخر نیز دو معادله دیفرانسیل معروف را بااستفاده از توابع چریستو حل می کنیم.

مدل ریاضی بسیاری از مسائل در علوم مختلف نظیر مهندسی، فیزیک، ریاضی، شیمی و زیست شناسی با معادلات دیفرانسیل معمولی یا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، خطی یا غیر خطی و با دامنه های متناهی یا نامتناهی بیان می گردد. روش های عددی مختلفی برای حل این معادلات موجود است. در این پایان نامه به برخی از روش های طیفی برای حل معادلات دیفرانسیل در بازه های نامتناهی و نیمه متناهی اشاره شده و به طور خاص به روش شبه طیفی با استفاده از توابع لژاندر کسری و چبیشف کسری برای حل مسائل پرداخته می شود. به این ترتیب که ابتدا خواص چندجمله ای های لژاندر و چبیشف در بازه متناهی و توابع لژاندر کسری و چبیشف کسری در بازه نیمه متناهی ذکر شده و سپس با ارائه قضایایی، پایداری و همگرایی تقریب های حاصل از توابع لژاندر کسری و چبیشف کسری بررسی می شود. در مرحله بعد نیز از قضایا و روابط ارائه شده، همراه با روش هم مکانی، برای حل معادلات دیفرانسیل روی بازه های نیمه متناهی استفاده می کنیم. نتایج حاصل از به کارگیری روش های پیشنهاد شده، موید قضایای همگرایی و همچنین دقت و کارایی بالای روش می باشد.

هدف اصلی این پژوهش، حل عددی معادلات دیفرانسیل و انتگرال تعریف شده در بازه ی نامتناهی، با استفاده از روش های طیفی مبتنی بر چندجمله ای ها و توابع هرمیت است. ما با پیاده سازی روش بر روی برخی مثال های عددی، به مقایسه ی این روش با روش های دیگر می پردازیم و همچنین برخی قضایای همگرایی مربوط به این چندجمله ای ها و توابع بیان می گردد. در این تحقیق معادله ی بیضوی با پتانسیل هارمونیک در یک و دو بعد مورد بررسی قرار گرفته و روش ارائه شده برای مسائل غیرخطی دیگر نیز قابل اجرا است. همچنین با استفاده از نگاشت های مناسب توابع هرمیت را به بازه های نیمه متناهی و متناهی منتقل نموده ایم و سپس مسائل تعریف شده در این بازه ها را حل کرده و همگرایی آنها نیز بررسی شده است. به علاوه‏، صورت های مختلف معادلات لین-امدن را به عنوان مسائل مقدار اولیه ی منفرد روی دامنه ی نیمه متناهی و همچنین بعضی مسایل مقدار مرزی منفرد در بازه های متناهی ‎‎ازجمله معادله ی لیوویل-براتوو-گلفاند را با این روش حل کرده ایم. با به کارگیری این روش‏، اغلب ‎به‎ جواب های عددی با دقت مناسب می رسیم.

هدف این پژوهش، بررسی پایداری و همگرایی طرح های تفاضلات متناهی برای برخی از معادلات دیفرانسیل جزئی با مشتقات کسری است. به همین منظور ما در یک فصل جداگانه به بیان تعاریف و شماری از خواص مشتقات کسری پرداخته ایم. در این فصل چهار نوع از عمگرهای مشتق و انتگرال کسری معروف را بیان کرده ایم. سپس تعدادی از معادلات دیفرانسیل جزئی با مشتقات کسری مهم در مهندسی و فیزیک از جمله معادلات پخش-وزش، پخش و موج مورد بررسی قرار گرفته اند. برای معادلات فوق، پس از یافتن تقریب های تفاضلات متناهی، از روش های ماتریسی و استقرای ریاضی برای اثبات پایداری و همگرایی طرح های تفاضلی بهره جسته ایم. نتایج حاصل از به کارگیری روش های پیشنهاد شده، موید این موضوع می باشد.

در این پژوهش با دو روش‎ ‎‎به حل عددی مسائل حساب تغییرات و کنترل بهینه با قیود مسیری به منظور به دست ‎‎آوردن اکسترمم این نوع مسائل می پردازیم.‎‎‎ دو روش برای حل این مسائل به وسیله ماتریس عملیاتی انتگرال و دیگری به وسیله ماتریس عملیاتی مشتق ارائه می دهیم. این توابع ترکیبی‎‎ متشکل از توابع پالس-بلوکی و چند جمله ای های برنولی می باشد.‎‎ با به کار بردن ماتریس های معرفی شده‎‎‏، مسائل را به دسته ای از معادلات جبری خطی و غیر خطی تبدیل می کنیم. بدین معنا که برای بدست آوردن اکسترمم‏، مسائل حساب تغییرات را به حل دستگاه معادلات جبری تبدیل می کنیم و برای حل مسائل کنترل بهینه با به کاربردن نقاط نیوتن کاتس مساله را به یک مساله برنامه ریزی غیرخطی که به راحتی به وسیله یک الگوریتم بهینه سازی پارامتری توسعه یافته حل می شود تبدیل می کنیم.

حل عددی معادلات انتگرال، معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم و ولتراو دستگاههای این معادلات خطی مرتبه بالا با استفاده از چند جمله ای های بسل است.یافتن جواب واقعی برای این مسایل با استفاده از روش های تحلیلی دشوار و در مواقعی غیر ممکن است هموار نیاز به استفاده از روش های تقریبی است.