در این پایان نامه ابتدا به اثبات قضیه بیکر می پردازیمکه بیان می کند هر ترکیب خطی غیر صفر از لگاریتم های اعداد جبری با ضرایب جبری متعالی است.سپس مسئله چولا را به کمک قضیه بیکر،بیرچ و ویرزینگ پاسخ می دهیم. در آخر حدسیه ی اوردیش رابا استفاده از خواص تابع دی گاما مورد بحث قرار می دهیم.

در این پایان نامه q-تعمیم تابع زتای ریمان را در نقاط صحیح و مثبت تعریف می کنیم. که با توجه به کار اخیر اِسمِ و وان آشه، با استفاده از تقریب پاده-هرمیت و q-چند جمله ای های کوچک ژاکوبی تقریب گویای مناسبی برای q-تعمیم زتای 2 بدست می آوریم. جایی که در آن q=1/p که p یک عدد صحیح بزرگتر از یک است. با استفاده از این تقریب گنگی q-تعمیم زتای 2 را اثبات می کنیم و کران بالایی برای اندازه ی گنگی آن بدست می آوریم. در قسمت بعدی پایان نامه، گنگی بعضی از سری های لامبرت را با استفاده از نتایج بدست آمده توسط تاچیا اثبات می کنیم.

این پایان نامه اختصاص به اثبات فرمول های نوع اویلر برای مقادیر تابع زتای ریمان در نقاط صحیح مثبت بزرگ تر از یک و بعضی از مقادیر l – توابع دیریکله دارد. روش اثبات استفاده شده در پایان نامه بر اساس اثبات مقدماتی فرمول اویلر بری مقادیر زتای ریمان در نقاط صحیح مثبت زوج ی باشد . این متد در کارهای دانکس و هی در سال 2006 گسترش یافته و برای به دست آوردن فرمول از نوع اویلر برای مقادیر تابع زتای ریمان در نقاط صحیح فرد برگ تر از یک به کار رفت . در سال 2010 لیما این روش را برای به دست آوردن فرمول نوع اویلر برای بعضی از مقادیر تابع دیریلکه به کار برد.

برای هر عدد گنگ ? می توانیم اندازه خاصی تعریف کنیم به طوری که به ما امکان تعیین فاصله بین ? و اعدا گویا را بدهد. این اندازه نمای گنگی یا اندازه گنگی ? نامیده می شود و با(?(? نشان داده می شود. در این پایان نامه اثبات نسترنکوبرای بهترین اندازه گنگی عدد ln2 تا به امروز را ارائه خواهیم داد. در ادامه با استفاده از برآورد یک کران پایین بر فرم های خطی لگاریتم های اعداد جبری، اندازه متعالی عدد log? ?0 به ازای هر عدد جبری ناصفر ? را به دست می آوریم .

فرض کنیم x))b_n به معنای چند جمله ای برنولی باشد، همچنین فرض کنیم p یک عدد اول فرد و b یک عدد صحیح مثبت و زوج باشد، به طوری که .b?0 (mod p-1) در سال 1850 کومر برای k=0,1,2,… ثابت کرد که b_(k(p-1)+b)/(k(p-1)+b)?b_b/b (mod p). این همنهشتی ها به همنهشتی های کومر برای اعداد برنولی معروف می باشند. در سال 2000 ژی هون سان تعمیم همنهشتی های کومر را به اثبت رسانید. او ثابت کرد که b_(k(p-1)+b)/(k(p-1)+b)?k b_(p-1+b)/(p-1+b)-(k-1)(1-p^(b-1))b_b/b (mod p^2 ). به عنوان نتیجه ای از این تعمیم او توانست فرمول دقیقی برای ?_(x=1)^(p-1)?1/x^k (mod p^3) و ?_(x=1)^((p-1)/2)?1/x^k (mod p^3) به دست آورد، جائی که k?{1,2,…,p-1} است. او همچنین توانست تعمیم قضیه معروف ویلسون که حکم می کند (p-1)!?-1 (mod p)، را به دست آورد، که به شکل زیر می باشد. برای هر عدد اول p>3، همنهشتی زیر برقرار است (p-1)!?(pb_(2p-2))/(2p-2)-(pb_(p-1))/(p-1)-1/2(?(pb_(p-1))/(p-1))?^2 (mod p^3 ).

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.