چکیده: نامساوی های عملگری روی فضای هیلبرت نقش مهمی را در نظریه عملگرها دارد که هدف اصلی این رساله نشان دادن نتایج اخیر درباره ای نامساوی ها، برای توابع پیوسته از عملگرهای خودالحاقی بر فضای هیلبرت مختلط است. ‎ در این پژوهش بعد از معرفی عملگرها، به بررسی برخی از این نامساوی ها پرداخته و ارتباط بین این نامساوی ها را مطرح کرده، و در نهایت کاربردی از عملگرها را در حالت ماتریس های متناهی البعد برای فضای متناهی البعد به کار می بریم.

عملگر توابع محدب دو متغیره به صورت تعمیم غیرجابجایی از نامساوی ینسن مشخص می شود.فرض کنیم f:i×j?r یک تابع دو متغیره تعریف شده بر روی ضرب از دو فاصله باشد و فرض کنیم a و b عملگر خودالحاقی خطی با طیف محدود در فضای هیلبرت است.اگر طیف a مشمول در i باشد و طیف b مشمول در j باشد و ?a=???_i p_j و ?b=???_i q_j به ترتیب تجزیه ی طیف a و b هستند ،پس f((a,b)=? f(?_i,?_j)p_i?q_j تعریف آنالیز تابعی است .این تعریف به آسانی قابل تبدیل به عملگر نرمال و توابع بیشتر از دو متغیر می باشد. در این مقاله ما ضرب تانسوری را به صورت یک ماتریس a?b نمایش می دهیم.در اینجا فرض می کنیم a و b عملگر خطی خودالحاقی با طیف متناهی روی فضاهای هیلبرت باشند. در این پایان نامه درباره ی نامساوی ینسن روی توابع دو متغیره کار می شود که می توان به چند متغیره هم گسترش داد اما با پیچیدگی همراه است‎.‎ در فصل اول تعاریف و قضیه ها‏یی را که در فصول بعدی مورد نیاز است آورده ایم. در جایی که اگر به اثبات این قضیه ها نیاز باشد اثبات آورده شده و گرنه به بیان صورت قضیه اکتفا کرده ایم. در فصل دوم ابتدا ضرب تانسوری را تعریف کرده و برخی خواص آن را یادآور شده سپس یک عملگر یک متغیره را به کل فضای هیلبرت ‎$mathcal{h}$‎ گسترش می دهیم و سپس روی دو متغیره با استفاده از ضرب تانسوری کار می کنیم. در فصل سوم محدب عملگری و یکنوای عملگری را تعریف کرده و به بررسی عملگر خطی کراندار و روابط بین محدب عملگری و یکنوای عملگری و به تعریف میانگین همساز و ا‏رتباط پرداخته و قضیه های مربوط را اثبات می کنیم. در فصل پنجم به بررسی تحدب ماتریسی و تحدب ماتریسی مجزا و تحدب ماتریسی قطری و به روابطی که بین آن ها وجود دارد می پردازیم.

در این رساله، برخی از نسخه های عملگری نامساوی بلمن را ثابت می کنیم. بویژه، ثابت می کنیم که اگر ‎$phi‎: ‎bh o bk$‎ نگاشت خطی مثبت یکانی، ‎$a,b in bh$‎ انقباض، ‎$p>1$‎ و ‎$0 leq lambda leq 1$‎ باشد، آن گاه ‎egin{eqnarray*}‎ ‎ig(phi(1_mathscr{h}-a abla_{lambda}b)ig)^{1/p}gephiig((1_mathscr{h}-a)^{1/p} abla_{lambda}(1_mathscr{h}-b)^{1/p}ig),‎. ‎end{eqnarray*}‎ همچنین نامساوی های بلمن را برای فرم های شبه خطی و نرم های ناوردا بدست می آوریم. در ادامه، نامساوی عملگری ینسن را تظریف می کنیم و سپس با استفاده از آن تظریفی از نامساوی عملگری بلمن را ارئه خواهیم کرد. همچنین، حالتی از آنتروپی نسبی عملگری را که توسط جی.آی. فوجی و ای. کامئی شروع شده، مورد بررسی قرار خواهیم داد. برای دو دنباله ‎$ extbf{a}=(a_1,cdots,a_n)$‎ و ‎$ extbf{b}=(b_1,cdots,b_n)$‎ از عملگرهای مثبت روی فضای هیلبرت، عدد حقیقی ‎$q$‎ و تابع یکنوای عملگری ‎$f$‎ بحث آنتروپی را به صورت زیر تعمیم می دهیم ‎$$‎ ‎s_q^f( extbf{a}| extbf{b}):=sum_{j=1}^na_j^{frac{1}{2}}left(a_j^{-frac{1}{2}}b_ja_j^{-frac{1}{2}} ight)^qfleft(a_j^{-frac{1}{2}}b_ja_j^{-frac{1}{2}} ight)a_j^{frac{1}{2}},‎, ‎$$‎ و سپس کران های بالا و پایینی برای ‎$s_q^f( extbf{a}| extbf{b})$‎ به عنوان یک توسیع از نامساوی ارائه شده توسط تی. فوروتا تحت شرایط معین، بدست خواهیم آورد. بعد از آن، برخی از نامساوی های مربوط به آنتروپی شنون کلاسیک را از آن نتیجه خواهیم گرفت.