در این رساله ابتدا جبرهای منطقی نظیر مشبکه های مانده ای، $mtl$-جبرها، $bl$-جبرها و جبرهای استلزامی مشبکه ای را معرفی و خصوصیات آنها را بیان می کنیم. سپس $ bck$-جبرها را که شاخه ای دیگر از جبرهای منطقی هستند معرفی کرده و به بررسی مشبکه ها در این جبر منطقی می پردازیم. با ارائه شبه $ bck $ مشبکه هاltrfootnote{ٍٍquasi bck-lattices} در $ bck$-جبرها، مفهوم مشبکه ها را گسترش داده و ارتباط بین $ bck $ مشبکه های جابجائی، $ bck $ مشبکه های استلزامی مثبت و $ bck $ مشبکه های استلزامی ( بولی) را با شبه $ bck $ مشبکه ها بررسی می کنیم. با آگاهی از اینکه فیلترها نقش بسیار مهم و اساسی در توصیف و آنالیز جبرها ی منطقی ایفا می کنند، به بررسی این مفهوم در این جبرها پرداخته و فیلترها ی تعریف شده در $bl$-جبرها را همچون فیلترهای استلزامی، استلزامی مثبت و فیلترهای خارق لعاده را مورد مطالعه قرار می دهیم. سپس با توجه به ویژگی های مشترک $mtl$ و $bl$-جبرها این فیلترها را به $mtl$ -جبرها توسیع می دهیم. هدف ما در این رساله توسیع و گسترش مشبکه ها در $ bck$-جبرها و نیز معرفی فیلتر ها در جبرهای منطقی همچون $imtl$-جبرها و $mtl$-جبرهای قوی و نیز بررسی، توصیف و آنالیز روابط این فیلتر ها با فیلترهای توسیع داده شده در $mtl$ -جبرها می باشد. با گسترش نظریه فازی در زمینه های مختلف این نظریه در زمینه فیلتر ها نیز مطرح شده است که در پایان به بررسی انواع فیلتر های فازی نظیر فیلتر های بولی فازی، استلزامی فازی و استلزامی مثبت فازی در این جبرها می پردازیم.

یکی از مهمترین ابزارها در نظریه ابر ساختارها، روابط اساسی می باشند. در واقع رابطه اساسی کوچکترین رابطه هم ارزی منظم قوی روی ابرساختار است که رده های خارج قسمتی آن تحت این رابطه تشکیل یک ساختار جبری می دهد. در این رساله با درنظر گرفتن رابطه اساسی *? نشان می دهیم هر گروه یک گروه اساسی است یعنی یک ابرگروه وجود دارد که ساختار خارج قسمتی آن گروه مورد نظر را می دهد. در ادامه نشان می دهیم که گروههای متناهی نمی توانند گروه اساسی از مجموعه زمینه خودشان باشند. با توجه به این موضوع رسته ابرگروهها و گروهها را مطرح و به کمک رابطه اساسی فانکتوری بین این رسته تعریف و به خواص آن می پردازیم. این موضوع را با توجه به رابطه اساسی *? روی ابر حلقه ها مطرح و نشان می دهیم که هر حلقه یک حلقه اساسی است و نتایج مشابه فوق را روی ابرحلقه ها و حلقه ها بدست می آوریم.در ادامه رابطه اساسی را روی ابر bck-جبرها تعمیم و تعریف و حاصل ساختار خارج قسمتی ابر bck-جبرها را روی رابطه اساسی بررسی و نشان می دهیم منجر به q-جبرها می شود وبا با شرایط جابجایی ضعیف روی ابر bck-جبرها نشان می دهیم این ساختار خارج قسمتی به یک bck-جبر نیز منجر می شود.

در این رساله به بحث و بررسی بعضی از خواص be -جبرها که بعنوان تعمیمی از bck - جبرها می باشند می پردازیم. محتوی این رساله از 5 فصل به شرح ذیل تشکیل شده است. فصل 1. در این فصل مفاهیم و تعاریف اولیه که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرد، آورده شده است. در فصل 2 رابطه این ساختار جبری با ساختارهای جبری دیگر بررسی شده است. در فصل 3 فیلترهای مختلف روی ای جبر تعریف شده است. در فصل 4 خواص ساختاری کران داری و پیچشی و ارتباط آنها تحقیق و بررسی شده است. علوه بر آن یک اندازه بنام اندازه بوس باخ روی این جبر تعریف وثابت شده است که برای هر رابطه همنهشتی القائ شده توسط یک فیلتر یک اندازه بوس باخ مربوط به جبر خارج قسمتی آن وجود دارد. در فصل 5 بعنوان تعمیمی از این ساختار جبری مفهوم شبه be -جبر آورده شده است.

در این رساله ثابت شده که کلاسqs-جبرها،bci-جبرهایp-نیم ساده وbp-جبرهامعادلند و دو زیرمجموعه به نام های (a(x و(b(x از یک bm-جبر x معرفی می کنیم و ثابت می کنیم(a(x یک زیرکاکسترجبر ازx است و داریم|(a(x)|<|b(x| . در ادامه bm-جبرقوی معرفی شده ونشان داده ایم هر bm-جبر از مرتبه فرد یک bm-جبرقوی است. سپس b-جبرهای حقیقی را معرفی کرده و تعدادی از آنها را پیدا کرده ایم و سرانجام به طبقه بندی مرتبه ی کمتر از 10 این نوع جبرها پرداخته ایم و ثابت کرده ایم هیچ b-جبرحقیقی از مرتبه فرد کمتر از 10 نداریم.

در این پایان نامه ، با انتخاب مشبکه مرتب شده کوانتومی چند گانه جبری e ؛ نظریه اتوماتا توسعه داده می شود . برای مشبکه مرتب شده کوانتومی چندگانه جبری e فوق ، اتوماتای حالت متناهی e- ارزشی و اتوماتای پشته ای e - ارزشی معرفی می شوند . رده های زبان های پذیرشی توسط این اتوماتاها مطالعه و خواص مختلف آن ها در چارچوب مشبکه مذکور بررسی می شوند . علاوه بر آن هم ارزی بین اتوماتای حالت متناهی و عبارات منظم و هم چنین اتوماتای پشته ای و گرامرهای مستقل از متن ارائه می گردند .

در این رساله ابتدا اطلاعاتی در باره جبرهای bck و ساختارهای ابرجبری ارائه می شود و سپس مفاهیم ابرجبرbck ( که تعمیم جبر bck می باشد) ، ابر ایده الهای bck ، ابر k - جبر و ابر k - ایده آل مثبت از نوع 1 ، 2 ، 3 ، 4 معرفی می گردند. همچنین مثالهای زیادی ارائه می شوند که نشان می دهند این مفاهیم متفاوت می باشند. سرانجام قضایا و نتایجی در رابطه با مطالب بالا اثبات و ارائه می گردند. بخصوص ابر k - جبرهای از مرتبه 3 که در شرایط نرمال یا ساده صادق هستند طبقه بندی می شوند.

لطفی عسکرزاده استادایرانی دانشگاه برکلی آمریکا در سال 1965 با چاپ مقاله [19] مفهوم زیرمجموعه های فازی را به عنوان تابعی از یک مجموعه جهانی x با فاصله [1،0] مطرح نموده و نظریه مجموعه های فازی را بنا نمود . پس از آن نظریه مجموعه های فازی مورد علاقه بسیاری از محققین در شاخه های مختلف ریاضی همچون جبر، آمار، آنالیز، توپولوژی، کامپیوتر و ... قرار گرفت . مفهوم زیرمیدان فازی نیز توسط ناندا (nanda) در سال 1986 در مقاله [15] مطرح شد . سپس مردسن (mordeson) در مقالات [10،12،13،14] از این مفهوم نتایج درخور توجهی بدست آورده است . بحث فوق که به زیرمیدانهای فازی اختصاص یافته، در 4 فصل ارائه شده است . در فصل پیشنیازها (فصل 0) خواص مقدماتی از زیر مجموعه های فازی و خواص عمومی یک شبکه کامل که مورد استفاده فصلهای دیگر می باشد، بیان شده است . همچنین دراین فصل آشنائی مختصری از نظریه میدانها پیدا خواهیم کرد . در فصل i " زیرمیدانهای فازی " که حاصل مقالات [10 و 15] است را بررسی کرده و با اثبات چند لم ثابت خواهیم کرد که اگر f/k یک میدان توسیعی باشد، آنگاه تتا< [f:k] اگر و فقط اگر برای هر زیرمیدان فازی a از f که در شرط (1) kcaa صدق کند، تتا< im(a) باشد . سپس با این قضیه ارتباطهای مناسبی بین زیر میدانهای فازی و میدانهای محضا تفکیک ناپذیر و تفکیک پذیر جبری، ارائه می دهیم . در فصل ii" توسیع های میدان جبری فازی " که براساس نتایج بدست آمده در مقالات [2 و 12] تنظیم گردیده، ابتدا مفاهیم عنصر جبری فازی، تفکیک پذیر جبری فازی و محضا تفکیک ناپذیر فازی مورد مطالعه قرار می گیرد و سپس با استفاده از لم زرن نشان داده می شود که اگر a توسیع جبری فازی از b بوده و b در خاصیت سوپریمم صدق کند، آنگاه زیرمیدانهای میانی فازی s و j از توسیع a/b بقسمی وجود دارند که s/b توسیع تفکیک پذیر جبر فازی و j/b توسیع محضا تفکیک ناپذیر فازی هستند . سپس وجود s و j که با استفاده از لم زرن حدس زده شده بود در قضیه ii 16020 دقیقا بازسازی خواهدشد. فصل iii " توسیع های میدان فازی " که براساس نتایج بدست آمده از مقاله [13] تنظیم گردیده، ابتدا تعریف زیر میدانهای خطی - مجزای فازی و تفکیک پذیر فازی مورد مطالعه قرار می گیرد. سپس ثابت می شود که اگر f/k یک میدان توسیعی باشد، آنگاه f/kیک توسیع محضا تفکیک ناپذیر است اگر و فقط اگر xf/xk یک توسیع محضا تفکیک ناپذیر فازی باشد. در ادامه با قضیه iii9030 نتیجه می گیریم که برای یک میدان توسیعی فازی a/b، اگر a/b توسیع تفکیک پذیر جبری فازی باشد، آنگاه a/b توسیع تفکیک پذیر فازی می باشد.