یکی از عمده ترین تلاشهای ریاضیدانان ، یافتن توابع جدید بوده است. معادلات دیفرانسیل میتوانند توابع جدید را به ما معرفی کنند. ما در این پایان نامه به سراغ معادلات دیفرانسیل درجه دوم رفته ایم. دسته ای از این معادلات معرف توابع جدیدی به نام توابع ششگانه پینلوی هستند. این توابع جوابهای متعالی معادلات ششگانه ی پینلوی هستند.در این پایان نامه معادله ی چهارم پینلوی و چندجمله ای های ویژه ی اوکاموتو که جوابهای معادله ی مذکور هستند مورد بررسی قرار گرفته اند.

مفهوم مجموعه های فازی اولین بار توسط لطفی زاده در سال 1965 معرفی و ارائه شد و پس از آن در زمینه های مختلف علوم مورد توجه و بررسی قرار گرفت. همانگونه که می دانیم روند حل بیشتر مسایل در ریاضیات کاربردی به حل یک معادله دیفرانسیل منجر می شود. بنابراین پس از چندی مبحث معادلات دیفرانسیل فازی و مفهوم مشتق فازی توجه بسیاری از پژوهشگران را به خود جلب کرد. امروزه روش های عددی متعددی از جانب بسیاری از محققان معرفی شده است که برخی از آنها در این پایان نامه آورده شده است. برای این منظور ابتدا در فصل یک مفهوم مجموعه های فازی و فضای e^n معرفی شده است. پس از آن در فصل دو برخی از مفاهیم اولیه و ضروری مربوط به معادلات دیفرانسیل معمولی (odes) بیان می شود. همچنین بعضی از روش های عددی موجود برای حل اینچنین مسائلی معرفی شده اند. از جمله این روش ها می توان به روش های چند گامی و روش های پیشگو اصلاحگر اشاره نمود. فصل سه شامل معرفی معادلات دیفرانسیل فازی مرتبه اول و ارائه چند روش عددی برای پیدا کردن جواب های دقیق این نوع از معادلات دیفرانسیل می باشد. در حالت کلی تر مفهوم معادلات دیفرانسیل مرتبه n ام و روش های پیدا کردن جواب های عددی آنها در فصل 4 بررسی می شود. هدف این پایان نامه ایجاد مقدمه لازم برای ارائه فصل آخر آن می باشد.

در این پایان نامه ابتدا الگوریتم ars را برای تشخیص معادلات نوع پینلوی ارائه می دهیم و سپس این نوع معادلات را با استفاده از آن حل می کنیم. همچنین با استفاده از معادله اول پینلوی p_i شکل مرتبه سوم این معادله یعنی p_i^3 را به دست می آوریم. در پایان رده ای از معادلات مرتبه سوم را در نظر می گیریم و در بین آنها به معرفی دسته ی جدیدی از معادلات نوع پینلوی مرتبه سوم می پردازیم.

برای حل مسائل فیزیکی در اکثرمواقع آنها را به معادلات ریاضی تبدیل می کنیم . چنین معادلاتی ،غالباً به معادلات دیفرانسیل با شرایط اولیه و مرزی مشهور می باشند . به دلیل اینکه اینگونه معادلات که از مسائل واقعی فیزیکی مدل شده اند ، غیر خطی هستند یافتن جوابهای تحلیلی برای آنها دشوار و یاغیر ممکن است . در گذشته به دلیل عدم پیشرفت فناوری کامپیوتر ، برای حل آنها از روشهای عددی، مشکلات زیادی وجود داشت. بنابراین در راستای رفع این مشکلات ، تلاشهای زیادی برای حل آنها به روش تحلیلی صورت گرفته است. ازجمله این روشها حدس جواب مورد نظر به صورت یک تابع بسط داده شده است مانند بسط تیلور، بسط تداخلی و روش هموتوپی و روش تجزیه آدومیان می باشد. در این روش ها با حدس جواب به صورت بسط یک تابع و با قرار دادن آن در معادله دیفرانسیل و خارج کردن معادلات ساده تر و خطی به یک دستگاه معادلات خطی خواهیم رسید که جواب مورد نظر را پدید می آورد. این روشها را می توان نوعی حل تقریباً دقیق نامید که توانایی بسیاری در حل معادلات عمومی ، پاره ای غیر خطی و دستگاه معادلات جبری غیر خطی دارند

اخیرا به توسعه جواب های عددی متناظر در حل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی توجه زیادی شده است. یکی از جدیدترین تحولات در ریاضیات کاربردی استفاده از نظریه موجک ها است. امروزه نظریه موجک ها جایگزین نظریه های کلاسیک از جمله تفاضلات متناهی، تبدیلات لاپلاس و روش کلاسیک نظریه فوریه برای حل مسائل مختلف کاربردی شده است. مراکز صنعتی و آزمایشگاهی تحقیقاتی نیز با بکارگیری روش های موثر تقریب موجکی سعی در بالابردن کیفیت محصولات و دقت آزمایش های خود دارند. این نظریه جدید ریاضیات کاربردی موثرترین پل ارتباط علم ریاضیات نظری به عملی است که بکارگیری نتایج این علم در مراکز صنعتی و تحقیقاتی احساس می شود.

وجود یا عدم وجود جواب سراسری برای معادلات دیفرانسیل جزئی همواره مورد توجه ریاضیدانان بوده است. همراه با پیشرفت علم، مطرح شدن مسائل پیچیده فیزیکی و نیاز برای جوابهای این نوع مسائل، اثبات قضایای وجودی نقش بسیار مهمی در معادلات دیفرانسیل پیدا کرده اند. بخصوص که دست یافتن به جوابهای تحلیلی در بسیاری از معادلات بسیار دشوار است. بنابراین در بسیاری از موارد ریاضیدانان به جای روشهای حل تحلیلی یک مساله، به بررسی رفتار جوابها روی دامنه های مورد نظر می پردازند. هدف اصلی این پایان نامه، تحلیل و بررسی رفتار جوابهای مسائل مقدار مرزی از معادلات دیفرانسیل غیر خطی سهموی و هذلولوی است.در این راستا، برای معادله موج غیر خطی با انرزی اولیه منفی عدم وجود جواب سراسری با اثبات رسیده است. و همچنین وجود جواب سراسری با انرژی اولیه مثبت برای این دسته از معادلات مورد بررسی قرار گرفته است. برای معادله غیر خطی انتگرالی-دیفرانسیلی با انرژی اولیه منفی و شرایط مشخص، انفجاری بودن جواب به اثبات رسیده است. همچنین بررسی پدیده انفجار نیز برای معادله گرما در نظر گرفته شد.

معادلات دیفر انسل یا مشتقات جزئی کاربردهای مهمی در زمینه های مختلف علوم و مهندسی مانند مکانیک سیالات، ترمودینامیک، انتقال گرما و فیزیک دارند. این معادلات اغلب غیر خطی هستند و یافتن جواب تحلیلی آنها دشوار و در بعضی از موارد غیر ممکن است. به همین دلیل در سال های اخیر تلاش های گسترده ای به منظور توسعه روش های تحلیلی و عددی برای حل این معادلات صورت گرفته است. یکی از مهم ترین معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی که در ریاضیات کاربردی ظاهر می شود، معادله کلاین-گوردون است. معادله کلاین-گوردون نقش مهمی در فیزیک ریاضی بازی می کند. در این پایان نامه به بررسی معادله کلاین-گوردون با استفاده از چند روش تحلیلی-تقریبی مانند روش تبدیل دیفرانسل، تکرار تغییراتی، تجزیه آدومین و ... می پردازیم و نتایج عددی به دست آمده را با هم مقایسه می کنیم.

ریاضیات این امکان را به بشر داد تا بتواند با مدل سازی پدیده های فیزیکی, تا حدودی طبیعت را تحت تسلط خود در آورند. در بیشتر موارد می توان با استفاده از معادلات دیفرانسیل غیرخطی با شرایط اولیه و مرزی مسائل فیزیکی را مدل بندی نمود. اما حالاتی موجود است که این معادلات در مدل سازی آنها نا توان است. معادلات دیفرانسیل کسری ابزار مناسبی را برای مدل سازی بعضی از پدیده های فیزیکی و مسائل میان رشته ای را در اختیار ما قرار می دهند. از آنجا که اکثر معادلات دیفرانسیل کسری دارای جواب تحلیلی دقیقی نمی باشند, روش های تحلیلی - تقریبی برای جبران نا کارآمدی روش های عددی وتحلیلی به وجود آمدند که در این پایان نامه سه روش را بیان می کنیم. در این روش ها جواب معادله به صورت یک سری در نظر گرفته می شود و با قرار دادن آن در معادله دیفرانسیل میتوان معادلات ساده تر خطی را نتیجه گرفت که در نهایت جواب مورد نظر را پدید می آورند.

در این پایان نامه روش های تکراری مختلفی نظیر ایشیکاوا و مان که توسط محققین مختلفی مورد مطالعه قرار گرفته است را معرفی نموده و همگرایی این دنباله را به نقاط ثابت رده خاصی از عملگرهایی که در تعدادی از شرایط انقباضی صدق می کنند را مورد بررسی قرار می دهیم.

از آنجا که بسیاری از پدیده های فیزیکی قابل مدل کردن توسط معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری هستند، در سال های اخیر دانشمندان علوم پایه و مهندسی توجه زیادی به حسابان کسری داشته اند. معمولاً در مواجهه با بسیاری از معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری، یافتن یک حل تحلیلی و دقیق کار ساده ای نیست و اگر این معادلات شامل جملات غیر خطی نیز باشند، یافتن جواب دقیق برای آن ها چه بسا غیر ممکن باشد. از این رو روش های زیادی وجود دارد که جواب معادلات دیفرانسیل را تقریب می زنند و حتی در برخی موارد به جواب دقیق مسئله می رسند. در این تحقیق از روش های گوناگونی برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری استفاده شده است. همچنین تلاش شده است تا با ترکیب این روش ها، روش های نو و کاراتری را برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری بسازیم. همان گونه که خواهیم دید، این روش های ترکیبی دارای دقت بالاتری هستند و حتی پیاده سازی آن ها برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری ساده تر می باشد. همچنین سعی شده است تا با ساخت سری های از مرتبه کسری، روش های عددی را برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری پیاده سازی کنیم و خواهیم دید که روش های عددی همچون اویلر و تیلور را دقیقاً مشابه با حالت های کلاسیک آن ها می توان برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری به کار برد.

معادلاتی که شامل یک عبارت انتگرالی است و تابع زیر انتگرال است را معادلات انتگرالی گویند. اغلب معادلاتی که در ریاضیات کاربردی ظاهر می شوند را می توان بصورت معادله عملگری tx=x نوشت که در آن t یک عملگر و x یک مجهول است. جوابهای این معادله نقاط ثابت نگاشت t نامیده می شوند. بنابراین نقاط ثابت، عناصر یک فضا می باشند که تحت عمل t ثابت می مانند. بیشتر بخش های علم ریاضیات با وجود و محاسبه نقاط ثابت ارتباط دارند. در این پایان نامه، وجود جواب برخی از معادلات انتگرالی با استفاده از قضیه نقطه ثابت بررسی شده است. نخست به بررسی فضاهای ضرب داخلی فازی، نرم دار فازی و هیلبرت فازی می پردازیم. در ادامه به حل برخی معادلات انتگرالی مانند فردهلم، والترا و ... را به کمک قضایای نقطه ثابت بیان می کنیم.

پدیده های غیرخطی که در بسیاری از رشته های علمی ظاهر می شوند به وسیله ی معادلات دیفرانسیل جزئی قابل مدلسازی هستند. رده ی وسیعی از روش های تحلیلی و عددی برای حل این نوع معادلات استفاده شده اند. به عنوان مثال می توان از روش تجزیه آدومیان، روش تداخلی هموتوپی نام برد. روش تجزیه آدومیان اولین بار توسط جورج آدومیان ارائه و برای رده ی وسیعی از معادلات دیفرانسیل بکارگرفته شد. ثابت شده است این روش برای حل معادلات دیفرانسیل موثر و مطمئن است. مزیت این روش همگرایی به جواب مساله است. در این پایان نامه به بررسی روش تجزیه آدومیان و روش تجزیه آدومیان بهبودیافته در حل پاره ای از معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی می پردازیم.

با پیشرفت فن آوری در سال های اخیر، استفاده از روش های عددی در حل مسائل دیفرانسیلی به سرعت گسترش یافته است. روش های مبتنی بر تکنیک هموتوپی ابزار قدرتمندی در حل معادلات جبری، معادلات دیفرانسیلی معمولی و جزئی، معادلات انتگرالی، دیفرانسیل- انتگرالی و حتی مسائل کنترل بهینه هستند. این روش ها قابلیت های زیادی مانند ترکیب با تقریبات پاده، تبدیلات لاپلاس و چند جمله ای های درونیاب را به منظور بهبود جواب حاصل شده، دارند. بنابراین، می توان از این روش ها در زمینه های مختلف علوم و مهندسی برای یافتن یک جواب تقریبی تحلیلی استفاده کرد. از مزیت های این روش ها می توان به همگرایی تضمین شده، حجم محاسبات کم و دقت بالای جواب های حاصل شده اشاره کرد. این پایان نامه به معرفی و بررسی برخی از روش های هموتوپی و روش های اصلاح شده آن ها در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی می پردازد. برای بهبود کارایی روش های هموتوپی، از قابلیت های ذکر شده برای این روش ها استفاده شده است.

تقریب توابع پیوسته به کمک تبدیلات فازی از جمله روش هایی است که بسیاری از محققین به مطالعه خواص آن پرداخته اند. معمولاً در کاربـردها، توابع به طـور دقیق شنـاخته شده نیستند و تنها در تعدادی نقاط از آن ها اطلاعاتی در اختیار می باشد. هدف اصلی تبدیلات فازی پیداکردن تقریبی از یک تابع در فضایی است که محاسبـات در آن فضـا راحت تر بوده و خطـای تقریب حتی المقدور کـم باشد. در بحث روی تبدیلات فازی، به عنوان نقطه شروع، افرازهای فازی مد نظر قرار می گیرند. بنابراین بررسی کلاس های بزرگتـری از تبدیلات، با در نظرگرفتن اشکال مختلف افرازهای فازی ضروری به نظر می رسد. در این پایان نامه مفهوم افراز فازی و بعضی نتایج مربوط به تبدیل فازی ارائه شده است. تبدیلات فازی بر اساس هسته های مختلف نظیر هسته شپارد، - b اسپلاین، برنشتاین و کاربرد قضیه کوروکین برای این گونه از تبدیلات نیز مورد بررسی قرارگرفته است. برای رسیدن به تقریب بهتر، پیشنهاد شده است که بجای ضرایب ثابت از ضرایب به فرم چندجمله ای استفاده شود. هم چنین با استفاده از تبدیلات فازی وزنی، رابطه بین روش تقریب کمترین مربعات و تبدیل فازی وزنی بررسی شده است.

در این پایان نامه یک مدل کلی برای رشد سلول های تومور که روی گونه ای خاص از سرطان تمرکز ندارد، مورد بررسی قرار گرفته است. این مدل یک سیستم از معادلات غیر خطی است که بر پایه رقابت بین سلول های نرمال، تومور و ایمنی می باشد و اثر شیمی درمانی را نیز شامل است. به منظور کمینه سازی سلول های تومور و دوز داروی استفاده شده در طول درمان، راهکار مهار سرطان به صورت مسئله ای از نظریه کنترل بهینه در نظر گرفته شده است. به منظور ارائه یک روش مهار پیوسته زمانی، از روش $ ltv $، روش های تحلیلی-تقریبی $ dtm $، $ mdtm $ و روش جدید ترکیبی $ ltv $ و $ mdtm $ برای ارائه طرح های درمان بهینه بهره گرفته شده است. نتایج عددی نشان داده اند که کاراترین آن ها روش ترکیبی $ ltv $ و $ mdtm $ می باشد؛ زیرا در این روش علاوه بر غلبه بر مشکلات کار با سیستم های غیر خطی به کمک تقریب های در نظر گرفته شده در روش $ ltv $ می توان با روش $ mdtm $ خطای حاصل این تقریب ها را تا حدود زیادی کاهش داد.

در این پایان نامه، ابتدا جبر ماکس-پلاس و مسئله ی حل دستگاه های معادلات خطی روی آن را مرور می کنیم. سپس روش هایی کارا برای پیاده سازی عملیات پایه ای برداری و ماتریسی روی جبر ماکس-پلاس معرفی می شود. روش ها به گونه ای طراحی شده اند که با برنامه نویسی ستونی، میزانِ انتقال داده در سطوح مختلف حافظه ی کامپیوتر در ‎$mathtt{matlab2011}$‎ کاهش یابد. سپس این روش ها در الگوریتمی برای پیدا کردن جواب اصلی معادله ی ماتریسی سیلوستر روی جبر ماکس-پلاس به کار گرفته می شوند. این الگوریتم پیچیدگی محاسباتی یافتن جواب اصلی را از مرتبه ی ‎?‎ بر حسب اندازه ی ماتریس به مرتبه ی ‎?‎ کاهش می دهد.

نزدیکی ریاضیات به صنعت، اقتصاد و دیگر علوم جامعه سبب شده است که همواره پیچیدگی های ذاتی پدیده های آن ها نیز به ریاضی منتقل شود. بعلاوه در این راستا از ریاضیات انتظار ساده سازی و رفع مشکلات را داشته باشند. به دلیل ساختار غیرخطی مدل ها و پدیده های مدرن نظیر حرکت فضاپیما ها، رشد سلول ها، مدل های اقتصادی در حال حاضر و نظایر آن ؛ یافتن جواب تحلیلی برای اغلب آن ها دشوار است. اما اخیرا توجه به سمت حل تحلیلی- عددی این گونه مسائل جلب شده است‎.‎ در این پایان نامه ابتدا به معرفی سیستم های کنترل بهینه پرداخته و سپس به دو دسته از روش های حل تحلیلی- عددی که در نظریه معادلات کارآمد بوده اند، روش هموتوپی تداخلی و روش هموتوپی تداخلی بهینه، می پردازیم و کاربرد روش اخیر برای حل مسائل کنترل بهینه درجه دوم از جمله تعیین مسیرهای بهینه فضاپیما نیز مورد تحقیق قرار می گیرد. سپس در ادامه این روند به معرفی روش تحلیلی - عددی دیگری از خانواده ی روش های هموتوپی با عنوان روش هموتوپی تداخلی اصلاح شده می پردازیم. در این راستا، برای اولین بار توانایی این روش در حل مسائل کنترل بهینه مرتبه دوم مورد بررسی قرار گرفته است و مقایسه ی بین این روش و روش هموتوپی تداخلی بهینه نیز انجام شده است.

هدف اصلی این پایان نامه مطالعه جواب معادلات به فرم ax+bx=x است. برای این منظور، ابتدا برخی ویژگی های اندازه غیرفشرده را بررسی می کنیم. سپس تعدادی از قضایای نقطه ثابت را برای جمع دو عملگر ارائه می کنیم که یکی از آن ها فشرده و دیگری امگا -متراکم است. همچنین تعدادی از نتایج نقطه ثابت کراسنوسلسکی را برای مجموع دو نگاشت پیوسته ضعیف دنباله ای ثابت می کنیم. همچنین صورت های جدیدی از قضیه نقطه ثابت کراسنوسلسکی را برای نگاشت های تلف کننده بیان می کنیم. در پایان، مفهوم اندازه غیرفشرده تعمیم یافته مخروطی را بررسی کرده و برخی از قضایای نقطه ثابت را با استفاده از این مفهوم ثابت می کنیم.

یکی از روش های حل معادلات دیفرانسیل استفاده از تبدیلات انتگرالی می باشد.در این پایان نامه، ابتدا به یادآوری برخی از تبدیلات انتگرالی می پردازیم.در ادامه تبدیل جدیدی به نام تبدیل الزاکی را معرفی می نماییم و کاربردهای این تبدیل انتگرالی را در حل معادلات دیفرانسیل معمولی ، جزیی و سیستم این معادلات بررسی می کنیم. از آنجا که تبدیل الزاکی به تنهایی برای حل معادلات دیفرانسل غیرخطی کارآمد نیست به دنبال راهکاری بودیم تابتوانیم این معادلات را به روش بهتری حل کنیم بدین منظور در پایان بعد از یادآوری روش هموتوپی، ترکیب این روش را با تبدیل الزاکی مطرح می کنیم و از این روش برای حل دو نوع معادله دیفرانسیل جزیی غیرخطی پرکاربرد یعنی معادله برگر و معادله کورتوگ دو-ریس(کا دی وی)استفاده می کنیم. این روش نسبت به روش تجزیه آدومیان هم محاسبات را کاهش می دهد هم جواب دقیق را نتیجه می دهد.

در این پایان نامه یک روش حل مسائل مقدار اولیه و مرزی با استفاده از شبکه های عصبی ارائه شده است. پاسخ آزمونی معادله دیفرانسیل، به صورت جمع دو عبارت نوشته می شود؛ عبارت اول شرایط اولیه مرزی را برمی آورد و شامل هیچ پارامتر تنظیم پذیری نیست، عبارت دوم اثری بر شرایط اولیه مرزی ندارد و شامل یک شبکه ی عصبی پیش خور با پارامترهای تنظیم پذیر است، با توجه به این ساختار شرایط اولیه برآورده شده و با آموزش شبکه معادله ی دیفرانسیل نیز برآورده می شود. این شیوه عمومی می باشد و می توان آن را برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی به کار برد.

دمعادلات دیفرانسیل جزیی هذلولوی، با ضرایب ثابت و متغیر در بسیاری از شاخه های علوم و مهندسی از قبیل الکترومغناطیس، الکترودینامیک، ترمودینامیک، هیدرودینامیک، الکتریسیته، دینامیک سیال، انتشار موج، علم مواد و غیره حاصل می شوند و به طور متعدد برای مدل سازی خطوط انتقال قدرت به کار می روند. این معادلات پایه ای برای معادلات بنیادی فیزیک اتمی هستند. یکی از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی، معادله تلگراف می باشد. در سال های اخیر، توجه زیادی برای توسعه، تحلیل و پیاده سازی روش هایی پایدار برای به دست آوردن جواب های عددی معادله تلگراف شده است. در این پایان نامه روش هم مکانی سینک را برای به دست آوردن جواب های عددی معادله تلگراف به کار برده، دو روش تحلیلی هموتوپی تداخلی و تکرار تغییراتی را بررسی نموده و آن ها را برای حل معادله تلگراف خطی و غیرخطی به کار می بریم. هم چنین از تبدیل های انتگرالی از قبیل تبدیل الزاکی، تبدیل الزاکی دوگانه، تبدیل لاپلاس دوگانه و غیره استفاده می کنیم. نتایج عددی با یگدیگر مقایسه شده اند.

در این پایان نامه ابتدا به تاریخچه معادله شرودینگر و کاربرد و ویژگی های آن می پردازیم و سپس قضایا و تعاریف روش سینک را بیان می کنیم. پس از آن روش های سینک هم محلی و سینک گلرکین را بیان کرده و به بررسی حل معادلات شرودینگر با این روش ها می پردازیم. این روش ها معادلات شرودینگری که از نوع مشتقات جزئی باشند را به یک دستگاه جبری تبدیل می کنند. حل این دستگاه که به صورت چند معادله و چند مجهولی می باشد به آسانی امکان پذیر نیست و برای این منظور از نرم افزارها از جمله نرم افزارهای متلب و میپل استفاده می نماییم. در پایان به مطالعه جواب های این معادلات و مقایسه آنها خواهیم پرداخت.

در این پایان نامه روش عملیاتی آدومیان-تاو را به کمک تقریب پده برای حل عددی معادلات انتگرالی-دیفرانسیلی فردهلم غیرخطی تعمیم می دهیم. برای این منظور از دو ماتریس عملیاتی ساده کمک می گیریم تا جواب معادله ی مورد نظر را تعیین کنیم و برای اصلاح دقت جواب از تقریب پده کمک می گیریم. و یک روش تقریب تحلیلی برای حل معادلات انتگرالی-دیفرانسیلی با استفاده از روش تحلیلی هموتوپی و روش هموتوپی-پده ارایه داده ایم که پارامتر تقریب ?برای ما یک روش ساده ای را برای تنظیم و کنترل ناحیه همگرایی حل معادله بوجود می آورد. در نهایت کارایی روش های ارائه شده را، به کمک مثال های عددی متعدد بررسی می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا مفاهیم پایه ای نظریه ی مشبکه، نظریه ی مانده دارسازی و جبر بول را مرور می کنیم. سپس معادله ی ماتریسی سیلوستر تعمیم یافت را مورد بررسی قرار داده و یک شرط لازم و کافی برای حل پذیری آن را بیان می کنیم. همچنین با استفاده از مفاهیم و ابزاری از قبیل ضرب کرونیکر دو ماتریس و عملگر بردار ی سازی، سه روش متفاوت برای یافتن بزرگترین جواب، در صورت وجود، ارایه می دهیم و پیچیدگی محاسباتی آن ها را با هم مقایسه می کنیم. یکی از این روش ها معادله ی ماتریسی مورد نظر را با پیچیدگی محاسباتی از مرتبه حل می کند. در نهایت چند مثال عددی ارایه شده و همچنین به کاربردی از معادله ی ماتریسی سیلوستر تعمیم یافته در حل یک مساله ی تصمیم می پردازیم.

در این پایان نامه ایده های اصولی و شالود هها ی ریاضی روش عناصر متناهی ارایه می گردد. نشان خواهیم داد که چگونه روش عناصر متناهی را می توان برای معادلات دیفرانسیل با در نظر گرفتن ساختار این معادلات و روش های کارآمد بکار گرفت. هر چند این روش و قضیه های مربوط به ، موثر و کارا می باشد، اما یکتحلیل دقیق و کامل برای مسایلی در n آن نیز در فضاهایی با ابعاد فضاهای یکبعدی ارایه می شود. در ادامه شناسایی بعضی از کلاس های مسایل غیراستاندارد که می تواند از مزایای روش عناصر متناهی باشد، در دستور کار می باشد و در این پایان نامه سوالات زیادی درباره ی شاخص های اجرای روش عناصر متناهی طرح م یگردد

باسمه تعالی در این پایان نامه بررسی تغریف هایی از انتگرال و مشتقهای کسری از جمله تعریف ریمان-لیوویل ، تعریف کاپوتا و تعریف جدیدی از انتگرال و مشتق های کسری که در سال 2014 توسط خلیل و همکارانش ارائه شده است ، می پردازیم همپنین به حل پندید معادله دیفرانسیل از مرتبه کسری با تغریف های ذکر شده پرداخته شده است برای خل این معادلات دیفرانسیل روش هموتوپی لاپلاس را به کار گرفتیم و برای حل دستگاه هایی از این معادلات روش تبدیل انالیز هموتوپی به کار گرفته شده است .

مطالعه بر روی بسیاری از پدیده های فیزیکی، منجر به پیدایش معادلات پینلوی می گردد

در این پایان نامه معادلات امواج در آب های کم عمق معرفی، و سپس یکی از انواع این معادلات معروف به معادله ی کورتوگ دی وریس (kdv) به عنوان یک معادله ی غیرخطی و سالیتونی به همراه تاریخچه پیدایش این معادله تشریح می گردد. علاوه بر آن، با بررسی معادله، جواب های بدست آمده ازآن با استفاده از روش های تحلیلی تجزیه آدومیان، تحلیلی هموتوپی و تداخلی هموتوپی مورد مقایسه قرارداده می شوند. در پایان روش های عناصر متناهی معرفی شده و با استفاده از دو روش گالرکین ناپیوسته موضعی(ldg) و روش گالرکین ناپیوسته مستقیم ((ddg) به بررسی و یافتن جواب های عددی معادله خواهیم پرداخت و سپس با روش های تحلیلی معرفی شده مقایسه می کنیم.

چکیده ندارد.