بارسلون در سال 1983 برای اولین بار مسائل معکوس معادله اشتورم - لیوویل را مورد مطالعه قرار دادند که ایشان برای اثبات فرمول بارسلون برای معادلات سیم از کسرهای مسلسل استیل - ژس استفاده نموده اند. فرمول اثبات شده توسط بارسلون برای این منظور است که جنس سیم با استفاده از این فرمول تعیین گردد تا صدای دلخواه از آن تولید شود‎.‎ هدف این پایان نامه، استفاده از مسائل معکوس معادلات اشتورم - لیوویل و به کار بردن دو طیف از معادلات سیم برای اثبات فرمول سابق بارسلون به شکل جدیدی می باشد. در سراسر این پایان نامه‏، تابع چگالی معادله سیم همواره پیوسته فرض شده است و این فرمول با تابع چگالی پیوسته در یک نقطه انفصال از یک بازه متناهی به دست می آید.‎ در نهایت با استفاده از فرم مجانبی جواب های مسائل مقدار اولیه و فرم مجانبی طیف های معادلات سیم، فرمول بارسلون را برای سیمی با تابع چگالی پیوسته تکه ای اثبات می کنیم.

در این رساله، مسأله اشتورم- لیوویل با دو شرط مرزی y(0)=y’(1)=0 روی بازه (0,1) مورد بررسی قرار می گیرد. معادله اشتورم- لیوویل دارای پارامترحقیقی (مقدار ویژه)، تابع پتانسیل (کراندار و روی بازه (0,1) انتگرالپذیر) و تابع چگالی ( دو بار بطور پیوسته مشتق پذیر) می باشد. با در دست داشتن فرم حاصلضرب نا متناهی مشتق جواب معادله دیفرانسیل، می توان معادلات دوآل مسأله اصلی را مطرح نمود که این دسته از معادلات کمک شایانی به ما در تعریف مسأله عکس یعنی بدست آوردن تابع پتانسیل می کنند.