رساله حاضر به بررسی مسائل کنترل بهینه در فضاهای با بعد متناهی پرداخته و برای این مسائل نیز اصول ماکزیممی نظیر اصل ماکزیمم پنتریاگین ارائه می نماید. همچنین در حالتی که ممکن است به کنترل بهینه جواب دسترسی نداشته و با دنباله "کنترلهای زیربهینه" یا "تقریبا بهینه" سروکار داریم نیز به بررسی همگرایی این دنباله ها می پردازد. این رساله مشتمل بر یک فصل فرعی و سه فصل فرعی که عنوان فصل صفر (0) را برای آن قرار داده ایم مباحثی از "آنالیز تابعی" را آورده ایم که در فصول اصلی از آنها استفاده می شود سه فصل اصلی دیگر به مطالب زیر اختصاص دارد: فصل اول: در این فصل پس از مروری اجمالی بر مسائل کنترل بهینه فشرده در فضای rn و اصل ماکزیمم پنتریاگین و طرح مسائل کنترل پارامتر توزیعی، به معرفی مسائل کنترل بهینه بگونه ای جدید می پردازیم به این صورت که تعریفی جدید از یک "سیستم" خواهیم داشت که: "عبارت است از یک نگاشت که در سه شرط مخصوص صدق کند این شروط را s1 و s2 و s3 نامیده ایم" و سپس نشان داده ایم که اکثر مسائل (ورودی - خروجی) را می توان با این نگاشت تعریف کرد خصوصا یک سیستم که توسط معادلات شبه خطی در فضاهای باناخ توصیف شده است مورد بررسی قرار گرفته است و در ادامه با تعریف "تابعی ارزش " در مسائل کنترل بهینه بصورت نگاشت فوق، نشان داده ایم که: "یک مسئله کنترل بهینه نیز یک سیستم است "، که در همان سه شرط مذکور صدق می کند و در خاتمه این فصل قضایایی تحت عنوان "اصل ماکزیمم" برای این مسائل ارائه نموده ایم. فصل دوم: غالبا در مسائل علمی دسترسی به کنترل بهینه جواب مقدور نیست ، لذا با دنباله هایی کنترلهای زیربهینه کار می شود چیزی که حائز اهمیت است بررسی شرایطی است که تحت آنها، این دنباله ها به کنترل بهینه جواب همگرا شوند به همین منظور فصل دوم بحثی پیرامون "همگرایی کنترلهای زیربهینه" است و مسئله کنترل بهنیه که توسط معادلات شبه خطی در فضاهای باناخ توصیف شده است بررسی شده و قضیه ای نیز در مسائل کنترل بهینه زمانی داریم. فصل سوم: حل مسائل کنترل بهینه از طریق تبدیل آنها به یک "مسئله برنامه ریزی غیرخطی با بعد نامتناهی" است . با استفاده از "مسئله برنامه ریزی" یک قضیه "اصل ماکزیمم" و برای کنترل بهینه جواب و قضیه "اصول همگرایی" برای دنباله کنترلهای زیربهینه را اثبات نموده ایم و در خاتمه به بررسی این قضایا در مورد یک مسئله کنترل بهینه زمانی که سیستم آن به وسیله معادلات دیفرانسیل شبه خطی در فضای هیلبرت توصیف شده است پرداخته ایم.

در مسئله مسیر وسایل حمل و نقل m انبار در مکانهای مختلف و n مشتری در محلهای معین با تعداد v وسیله حمل و نقل مفروض است و می خواهیم با وسایل حمل و نقل موجود کالاهای مورد نیاز مشتری را از انبارها به آنها برسانیم بطوریکه برای هر مشتری تنها یکی از وسایل حمل و نقل بکار گرفته شود و همچنین کل مسیرهایی که تمام وسایل حمل و نقل طی می کنند دارای هزینه می نیمم باشد و بار هر وسیله حمل و نقل از مقدار مجاز آن زیادتر نشود.

به علت کاربرد تحقیق در عملیات در صنایع، و لزوم پرداختن به اهداف گوناگون در برنامه ریزی تولیدی از جمله کاهش ضایعات و تجویل به موقع سفارشات ، و تنظیم خطوط تولیدی و کاهش هزینه های جاری ... نیاز به برنامه ریزی خطی چند منظوره شدیدا احساس می شود، خصوصا چون اطلاعات در مورد موجودی انبارها و مواداولیه و مواد ساخته شده و مساله کشش بازار و نیروی انسانی مورد نیاز به صورت فازی است لذا واضح به نظر می رسد که بهتر است سراغ برنامه ریزی خطی چند منظوره فازی برویم. بدین منظور در رساله ابتدا برنامه ریزی خطی چند منظوره کلاسیک بحث شده و سپس حالتهای مختلف برنامه ریزی خطی چند منظوره فازی بحث شده و در انتها برنامه کامپیوتری که یک مسئله برنامه ریزی خطی چند منظوره فازی با اعداد فازی ذوزنقه ای را تبدیل به برنامه ریزی خطی پارامتری می کند آورده شده است .

نظریه یکی از زیباترین شاخه های ریاضیات می باشد که در بسیاری از مسائل راهگشا می باشد. در رساله حاضر کاربرد این نظریه را در دو شاخه مهم از ریاضیات نشان می دهیم. این رساله مشتمل بر 3 فصل اول مقدماتی در مورد مسائل معادلات دیفرانسیل و همچنین مسائل حساب تغییرات آمده است . در ادامه آن کلیه تعاریف و مفاهیمی که در این رساله به آنها نیاز داریم ارائه شده است . در فصل دوم روشی جدید جهت حل مسائل معادلات دیفرانسیل ارائه شده است . در این روش ، که نظریه اندازه نقش اساسی را دارا می باشد. فضای توابع مساله را به فضای اندازه ها انتقال داده و سپس در آن فضا، یک مساله بهینه سازی که جواب آن منجر به تعیین جواب معادله دیفرانسیل می شود، بدست می آوریم. سپس با استفاده از روشهای تقریبی مساله بهینه سازی را به یک مساله برنامه ریزی خطی تبدیل کرده و با استفاده از جواب بهینه آن، جواب تقریبی پیوسته ای برای معادله دیفرانسیل اولیه بدست می آوریم. در فصل سوم با روشی مشابه روش بیان شده در فصل دوم مسائلی از حساب تغییرات که بهینه سازی مسائل مدلهای انتگرالی با قید و بدون قید می باشد را مورد بررسی قرار می دهیم. در این روش جواب تقریبی بطور قطعه قطعه ثابت ، برای مساله بدست می آوریم.

تئوری اندازه یکی از شاخه های زیبای ریاضیات می باشد که کاربردهای زیادی دارد. در این رساله کاربرد این تئوری را در دو شاخه مهم ریاضیات کاربردی نشان می دهیم. این رساله مشتمل بر 4 فصل است : فصل اول به بیان پیش نیازهای ریاضی این رساله و مقدمه ای بر کنترل بهینه و حساب تغییرات اختصاص دادیم. در فصل دوم کنترل بهینه سیستم تحت معادله حرارت را به کمک تئوری اندازه مورد بررسی قرار دادیم. در این روش فضای توابع مساله را به فضای اندازه انتقال داده و سپس در آن فضا به یک مسئله بهینه سازی که جواب آن منجر به تعیین کنترل بهینه می شود می رسیم. سپس با استفاده از روشهای تقریبی مساله مزبور را به یک مساله برنامه ریزی خطی تبدیل نموده و با استفاده از جواب بهینه این مساله کنترل بهینه را بصورت قطعه ای ثابت بدست می آوریم. در فصل سوم ضمن تعمیم مطالب و قضایای فصل دوم کنترل بهینه سیستم تحت معادله پخش (n - بعدی) را مورد بررسی قرار دادیم. فصل چهارم به حساب تغییرات اختصاص دارد که در این فصل ضمن بیان یک روش تقریبی برای حل مسایل حساب تغییرات و معایب و مزایای آن کاربرد تئوری اندازه را برای حل طیف وسیعی از مسایل تغییرات بیان نمودیم.

روش نظریه اندازه دارای ویژگیهایی است و طبیعی است که این ویژگیها و بسط و گسترش ایده های ارائه شده در این روش می تواند در بسیاری از سیستمهای صنعتی مورد استفاده قرار بگیرد. روش اندازه شاید در ارائه الگو یا الگوریتمهای عددی موفق باشد که همینطور نیز به نظر می آید و ما این موضوع را دست کم در بررسی سیستمهای خاصی که در این رساله ارائه شده نشان داده ایم ولی باید دید این موضوعات در عمل تا چه حد می تواند به سیستمهای صنعتی واقعی کمک کند. به طور کلی می توان گفت که از دو جنبه می توان کارهای انجام شده توسط نظریه اندازه را توسعه داد. .1 جنبه علمی: همانطور که در ابتدای همین بخش گفته شد ارتباط کارا بین موسسات صنعتی و دانشکده های مهندسی و ریاضی به این جنبه قوت می بخشد. ارائه معادلات و سیستمها از سوی مهندسین مراکز صنعتی، تبدیل این معادلات و اطلاعات به سیستمهای نظری توسط دانشجویان و محققین دانشکده های مذکور و ارائه کنترلهای مناسب از سوی این افراد که یکی از روشهای ارائه آن می تواند نظریه اندازه باشد و در نهایت بکارگیری این کنترلها در سیستمهای واقعی چرخه تحقیقاتی بسیار مناسب و پویایی را ایجاد می کند. .2 جنبه نظری: در این زمینه نیز موضوعات گوناگونی جهت بررسی به روش نظریه اندازه وجود دارد. بررسی دقیق و کامل فرآیند تقریب در این شیوه، وجود کنترل سیستمهای تحت معادله گرما با منبع درونی در حالت بسیار کلی تر از آنچه در این رساله ارائه شده است با استفاده از روشی که در فصل چهارم به کار گرفته شده است ، بررسی شرایط لازم و کافی برای کنترل پذیری یک سیستم تحت مفروضات این نظریه و در نهایت بررسی کنترل سیستمهای ترکیبی موج و گرما از جنبه های بسیار عالی کاربرد و توسیع این روش یعنی روش نظریه اندازه است .