چکیده در این پایان نامه ابتدا حسابان کسری را به طور مختصر معرفی کرده تعاریف ومفاهیم مربوط به آن را بیان می کنیم. سپس به معرفی روش تبدیل دیفرانسیل کسری(fdtm) که یک روش نیمه تحلیلی بر مبنای بسط تیلور است می پردازیم. در ادامه به معرفی وبررسی روش اختلال هموتوپی (hpm) که آن نیز یک روش نیمه تحلیلی وبر پایه معرفی پارامتر هموتوپی p است خواهیم پرداخت.سپس کارایی این دو روش را در حل دستگاه های معادلات دیفرانسیل کسری و انتگرال- دیفرانسیل کسری بررسی می کنیم. در پایان برای نشان دادن درستی و دقت این دو روش مثال هایی ارائه خواهد شد.

دراین پایان نامه مدل ریاضی بر گرفته از تراکنش بین دستگاه ایمنی بدن و یک غده سرطانی از لحاظ دینامیکی مورد بررسی قرار گرفته است. فرض می کنیم که بعضی از لمفوسیت ها به درون غده نفوذ کرده و با سلول های سرطانی تراکنش پیدا می کنند. دراین صورت ترکیبی از لمفوسیت ها و سلول های سرطانی بوجود می آید که کمپلکس نامیده می شود. در واقع این کمپلکس حاصل دو ماده شیمیایی است که توسط سلول های سرطانی و لمفوسیت ها ایجاد می گردند. این کمپلکس منجر به مرگ سلول های تومور و یا غیر فعال شدن یا حتی مرگ لمفوسیت ها می شود. نتیجه این تراکنش ها بصورت یک دستگاه معادلات شامل چهار معادله دیفرانسیل جزئی با مشتقات کسری غیرخطی از لمفوسیت ها، سلول های سرطانی، کمپلکس و ماده شیمیایی تبیین شده است و رفتار این دستگاه از لحاظ دینامیکی بررسی شده است. به همین منظور ابتدا دستگاه های معادلات دیفرانسیل به عنوان یک دستگاه دینامیکی مورد بررسی قرار گرفته است. سپس مشتق و انتگرال از مرتبه کسری معرفی شده است. همچنین چند روش حل عددی معادلات دیفرانسیل بیان شده است. در نهایت تراکنش بین دستگاه ایمنی بدن و یک غده سرطانی به صورت یک دستگاه معادلات دیفرانسیل با مشتقات مرتبه کسری تبیین شده و از لحاظ دینامیکی مورد بررسی قرار گرفته است.

بدیهی است که بسیاری از پدیده های طبیعی و مصنوعی را می توان به صورت یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی مدلسازی کرد. اما با توجه به موضعی بودن عملگرهای دیفرانسیل با مرتبه معمولی، در برخی اوقات این مدل به خوبی پدیده مورد نظر را تبیین نمی کند. علاوه بر این گاهی دامنه این پدیده ها هموار نبوده و به گونه ای است که مشتقات با مرتبه معمولی را نمی توان در تمام دامنه به کار برد. در چنین شرایطی این پدیده را می توان توسط معادلات دیفرانسیل با مشتقات مرتبه کسری تبیین نمود. به همین دلیل و دلایل مهم دیگر در چند دهه اخیر حساب دیفرانسیل و انتگرال با مرتبه کسری مورد توجه بسیاری از ریاضی دانان قرار گرفته است. در حساب دیفرانسیل و انتگرال با مرتبه کسری به بررسی مشتق و انتگرال با مرتبه دلخواه می پردازیم، که در آن مشتق و انتگرال با مرتبه صحیح به کل اعداد حقیقی تعمیم داده خواهد شد. مهمترین مزیت استفاده از معادلات دیفرانسیل با مرتبه کسری، خاصیت غیر موضعی بودن این عملگر است، که در این پایان نامه به بررسی و تحلیل آن می پردازیم.

بررسی حرکت های موجی یک مدل ریاضی واکنش سیستم ایمنی بدن به سرطان در این تحقیق یک مدل ریاضی به فرم معادلات با مشتقات پاره ای توصیف کننده واکنش سیستم ایمنی بدن به سرطان مورد بررسی قرار گرفته است. ابتدا با استفاده از روش های حل عددی نشان داده می شود که این مدل به ازای یک دسته از مقادیر پارامترها نشانگر حالت نهفته سرطان و به ازای دسته ای دیگر دارای جواب هایی به فرم حرکت موجی می باشد. جواب های موجی از این جهت حائز اهمیت است که نشانگر هجوم سلول های سرطانی به سایر بافت های بدن می باشند. همچنین نشان داده می شود که با حذف یکی از معادلات دستگاه اصلی تغییری در ماهیت دستگاه ایجاد نمی شود. سپس با استفاده از تغییر متغیرهای مناسب زیر دستگاهی از دستگاه اصلی بدست آورده که این دستگاه متشکل از معادلات دیفرانسیل معمولی می باشد. حال با بررسی ویژگی های دینامیکی دستگاه جدید می توان به وجود جواب های حرکت موجی پی برد. در ادامه پژوهش، با توجه به بعضی ویژگی های مهم مشتقات مرتبه کسری نسبت به مشتقات مرتبه صحیح، از جمله خاصیت غیر موضعی بودن مشتقات مرتبه کسری، به بررسی دستگاه مورد بحث با مشتقات مرتبه کسری می پردازیم. جهت این منظور مشتق مرتبه اول دستگاه، یعنی مشتق نسبت به زمان، را به مشتق مرتبه کسری تبدیل می نماییم. بدیهی است دستگاه بدست آمده دستگاهی است شامل مشتق مرتبه کسری نسبت به زمان و مشتق مرتبه صحیح نسبت به مکان. به منظور حل این دستگاه ترکیبی از روش حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی و معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری را به کار می بریم. سپس به تحلیل نتایج بدست آمده خواهیم پرداخت.

پایان نامه حاضر به مطالعه یک مدل ریاضی برگرفته از عملکرد سلول های سرطانی در مواجه با سلول های ایمنی و سلول های سالم (میزبان) بدن می پردازد. در این مدل تاثیر دارو نیز در نظر گرفته شده است. تحلیل پایداری حالت های تعادل دستگاه معادلات دیفرانسیل توصیف کننده بیماری، که به کمک تئوری سیستم های پویا انجام گرفته، ما را در جهت کنترل بیماری به کمک دارو یاری می کند. ارائه مدل در قالب سیستم معادلات دیفرانسیل با مشتقات مرتبه کسری ابتکار به کار رفته در این پایان نامه می باشد. از جمله مزایای مشتقات مرتبه کسری در مقایسه با مشتقات مرتبه صحیح، دارا بودن خاصیت غیر موضعی است. مقایسه نتایج حاصل از حل دستگاه معادلات با مشتقات مرتبه کسری و مشتق معمولی، نزدیکتر بودن سیستم معادلات با مشتقات مرتبه کسری به واقعیت را تقویت می کند.

چکیده ازبین رفتن وتخمین میزان افت حرارت برای یک جواب از معادله نیم خطی گرما به وسیله ی: جواد تیرگان وجود یا عدم وجود جواب های سراسری برای معادلات دیفرانسیل جزئی همواره مورد توجه ریاضی دانان بوده است. با پیشرفت علم و مطرح شدن مسائل پیچیده فیزیکی و نیاز برای جواب های این نوع مسائل، اثبات قضایای وجودی نقش بسیار مهمی در عرصه معادلات دیفرانسیل پیدا کرده اند، به خصوص که دست یافتن به جواب های صریح تحلیلی در بسیاری از این معادلات بسیار دشوار است. بنابراین در بسیاری از این موارد، ریاضی دانان به جای بدست آوردن جواب های تحلیلی یک مسأله، به بررسی رفتار جواب ها روی دامنه های مورد نظر می پردازند.در این پایان نامه ،در فصل سوم ما یک مسأله مقدار اولیه با رابطه ی زیر را در نظر می گیریم u_t-div(|?u|^(?-2) ?u)=b|u|^(p-2) u p>??2,b>0 x??,t>0 تحـت شرایط مناسب روی داده های اولیه ثابت می کنیم که انرژی جوابهای ضعیف برای 2=?? به صـورت تابع نمایی و برای 2<?? با نرخ چند جمله ای افت می کند ،سپس در فصل چــهارم یک مسأله غیرخطی هذلولوی با تابع لویس را درنظر می گیریم، در واقع در این فصل با استفاده لم کالانتاروف-لادیژنسکایا ثابت می کنیم که دریک زمان متنـاهی جواب غـیرقابل کنترل می شود. درنهایت نشان خواهیـم داد جواب ها دریک زمان متـناهی باانرژی نامثبت اولیه غیـرقابل کنترل می شود.

آشوب آن دگرگونی های ناهماهنگ و پیش بینی نشدنی هستند که در بسیاری از دستگاه های غیر خطی نسبت به زمان پدید می آیند. رفتار آشوبناک به نوعی بی نظمی در عین داشتن نظم دلالت دارد . در حقیقت علم آشوب در جستجوی الگوهای مشخصی که در سیستم های پیچیده ظاهر می شوند، می باشد . هنری پوآنکاره اولین کاشف آشوب بود و پس از آن از سال 1963 میلادی نگرش به آشوب و به طور کلی دینامیک غیر خطی به تندی افزایش یافت. حتی برخی از دانشمندان این علم را در موازات دو انقلاب مهم در نظریات فیزیکی یعنی نسبیت و مکانیک کوانتومی، در نظر گرفتند. نظریه آشوب در بسیاری از شاخه های علوم مانند فیزیک، علوم کامپیوتر، روباتیک، هواشناسی، اقتصاد، فلسفه، علوم سیاسی، روانشناسی و پزشکی مورد استفاده قرار گرفته است. هدف از این تحقیق بررسی تکامل تدریجی تجزیه و تحلیل پیچیدگی ریتم سینوسی قلب با استفاده از ابزارهای اندازه گیری غیرخطی به منظور تشخیص فوری شدت آسیب دیدگی بیماران حادثه دیده در موقعیت های اضطراری و بهبود مراقبت های ویژه ی اورژانسی است . پیچیدگی ریتم سینوسی قلب از جدیدترین علائم حیات در بیماران آسیب دیده با وضعیت بحرانی محسوب می شود. در این تجزیه و تحلیل ها ما از داده های حقیقی که در مجموعه های 270 ضربانی از قلب 65 بیمار اورژانسی منتقل شده به بخش حوادث بیمارستان شهید رجائی شیراز و پیش از انجام مراقبت های درمانی، تهیه شده استفاده کرده ایم . در این مطالعه، ادعای ما مبنی بر رابطه ی مستقیم میزان مرگ و میر در بیماران حادثه دیده ی اورژانسی با اندک در ضربان قلب، اثبات خواهد شد که این ادعا طی مقالات پیشین در این r بودن پیچیدگی فاصله ی دو موج زمینه نیز ذکر شده است.

از آنجا که اکثر مباحث کاربردی فیزیک به عنوان مثال شناسه دینامیک، الکترومغناطیس، نظریه فیزیک کوانتمی و . . . توسط معادلات دیفرانسیل جزئی بررسی می شوند، بنابراین مطالعه معادلات دیفرانسیل جزئی و به خصوص جواب های تحلیلی آنها از اهمیت ویژه ای برخوردار است. اما در عمل به دست آوردن جواب صریح تحلیلی دشوار و اغلب غیر ممکن است. بنابراین در بسیاری از موارد ریاضی دانان به جای به دست آوردن جواب تحلیلی یک مسئله، به بررسی رفتار جواب روی یک دامنه خاص می پردازند. در این پژوهش،معادله ی ویسکولاستیک غیر خطی که در سال2001توسطmarcelomoreiracavalcanti،valérianevesdomingoscavalcantiوferreiraدر مجله ی maringaبه چاپ رسیده است را بررسی کرده و وجود سراسری جواب ضعیف و همچنین افت یکنواخت تابع انرژی با فرض تاثیر عامل میرایی قوی در دامنه و اینکه تابع سست سازی به طور نمایی نزول می کند را ثابت می کنیم

راکتورهای با جریان پیوسته و دارای هم زن، ابزار مناسبی جهت مطالعه و بررسی خواص سیستم های دینامیکی می باشند. این نوع راکتورها، سالهاست که بعنوان یک سیستم دینامیکی مورد مطالعه و پژوهش قرار گرفته اند. مطالعات انجام شده چه از جنبه ی تجربی و چه از جنبه ی نظری گویای این واقعیت بوده است که رفتار دینامیکی مشاهده شده در این راکتورها، متاثر از نحوه ی ترکیب مواد در داخل راکتور و شرایط مواد ورودی به راکتور است (بدین معنی که مواد ورودی به راکتور، قبل از ورود مخلوط شده باشند و یا مخطوط نباشند). از بین مدلهای ارائه شده جهت توجیه رفتار دینامیکی مشاهده شده در این پایان نامه مدل iem را بکار می بریم. معادلات مدل iem برای یک راکتور با جریان پیوسته ی دارای هم زن با شراط غیر مخلوط از قبل، بصورت دستگاهی از معادلات دیفرانسیل انتگرال - پاره ای تبیین می شود. چون حل تحلیلی این دستگاه معادلات بندرت امکانپذیر است و نیز جهت بررسی خواص دینامیکی مدل iem و بافتن جوابهای وابسته بزمان مدل ناایستای iem، باید با استفاده از تکنیک های تبدیل مناسب این دستگاه را به دستگاهی ساده تر و قالب حل تبدیل کرد. در این پایان نامه با استفاده از بسط چند جکمله ایهای لگر، دستگاه معادلات دیفرانسیل انتگرال پاره ای مذکور را به سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل می کنیم. آنگاه بعنوان کاربرد و برای آزمون روش معرفی شده، این روش تبدیل را برای یک واکنش دوبعدی بکار می بریم و با استفاده از نرم افزارهای موجود برای تحلیل نقاط انشعاب سیستم های دینامیکی، از قبیل bifpack برخی از نقاط انشعاب مدل تبدیل یافته iem برای واکنش فوق را بدست خواهیم آورد. سپس با استفاده از نرم افزارهای موجود جهت حل عددی معادلات دفرانسیل عادی غیرخطی، جوابهای وابسته بزمان این واکنش را پیدا خواهیم نمود.