دراین پایان نامه پایداری معادله تابعی ((f(x) = af(h(x)) + bf(?h(x را با شرایطی که روی aوb و تابع hدر نظر می گیریم بررسی می کنیم.نتایج حاصله در این پایداری رابرای معادلات تابعی با چندین متغیر به کار خواهیم برد.همچنین پایداری معادله تابعی ((f(x) = af(h(x)) + bf(?h(x در حالت یکنواخت فازی بررسی می کنیم.

در این پایان نامه پایداری معادله ی گواب-شینزل پکسیدر شده که به صورت زیر است بررسی می شود: (f(x+yf(x))=g(x)h(y تحت این شرط که (lim_(t?0)h(tx موجود و مخالف صفر می باشد.

مفهوم ریاضیات فازی برای اولین بار توسط زاده در سال 1965معرفی گردید. از آن زمان به بعد، بسیاری از ریاضیدانان تلاش های خود جهت ارایه مفهوم فازی در زمینه های مختلف ریاضی، از جمله جبر را آغاز نمودند. مفهوم ابر گروهها برای اولین بار در حدود 70 سال قبل توسط ریاضیدانان فرانسوی مطرح و مورد مطالعه قرار گرفت.امروزه ابر ساختارها در بسیاری از زمینه های علو ریاضی و کامپیوتر کاربرد دارد. در این پایان نامه ابتدا مفهوم اولیه ی مجموعه های فازی مورد بررسی قرار می گیرد. سپس برخی از ساختارهای جبری معروف را معرفی می نماییم. و خواص اساسی آن ها را بررسی می نماییم و ارتباط بین ابرمدولهای فازی و ابر مدولها را بررسی می کنیم. پس از تحقیق در مورد موضوع پایان نامه، نتایج جدید احتمالی نیز به پایان نامه اضافه خواهد گردید.

مفهوم ریاضیات فازی اولین بار توسط لطفی زاده در سال 1965 معرفی گردید. از آن به بعد بسیاری از ریاضیدانان تلاش های خود را جهت ارائه مفهوم فازی در زمینه های مختلف ریاضی از جمله جبر آغاز نمودند. امروزه جبر جابجایی فازی طرفداران زیادی در دنیا دارد. در این پایان نامه ابتدا مفاهیم اولیه جبر جابجایی فازی را مطالعه می کنیم. سپس زیرمدولهای اول فازی را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. مجموعه همه زیرمدولهای اول فازی یک مدول را مجهز به یک توپولوژی به نام توپولوژی زاریسکی می نماییم. در آخر هم طیف زیرابرمدول های اول کلاسیک را مورد مطالعه قرار می دهیم.

در ریاضیات نوین مسأله تقریب و پایداری از اهمیت ویژه ای نه تنها در ریاضی بلکه در سایر علوم به خصوص فیزیک و کوانتوم برخوردار است. توابع در ریاضی به صورت کلی همه خطی نیستند و لذا بررسی تابع در شرایطی که خطی نباشد اهمیت زیادی دارد. مطالعه مسأله پایداری برای معادلات تابعی با سوال معروف اولام در سال 1940 شروع شد، که در سال 1941 هایرز در این مورد، به پایداری توابع غیرخطی دست یافت. بعد از هایرز در سال 1978، راسیاس به نتایجی جالب در مورد توابع غیرخطی رسید و به همین دلیل این مسأله به مسأله هایرز- اولام- راسیاس معروف است. بررسی های انجام شده در فضاهای باناخ صورت گرفته که در بسیاری موارد لزوم عوض شدن فضا مشهود است. در سالهای اخیر علاقه فزاینده ای در زمینه پایداری معادلات تابعی در فضاهای مختلف بوجود آمده است. رادو در سال 2003 روش جدیدی برای بدست آوردن حل دقیق و تخمین خطا پیشنهاد داد که براساس نقطه ثابت جایگزین بود. اخیراً این روش توسط نویسندگان زیادی مورد استفاده قرار گرفته است. اولین نتیجه روی پایداری معادلات کوشی در فضای نرمدار فازی به دست آمد. در این پایان نامه با استفاده از روش نقطه ثابت، نتایجی از پایداری تعمیم یافته برای معادله تابعی کوشی در فضاهای نرمدار تصادفی ارائه می شود. در فصل اول این پایان نامه پیشینه تحقیق و برخی از تعاریف و مفاهیم اولیه که در فصل های بعدی از آنها استفاده می شود را یادآوری می کنیم، در فصل دوم نتایج مقدماتی که برای اثبات قضیه ی اصلی لازم است را بیان و اثبات می کنیم. سپس در فصل سوم با استفاده از نتایج به دست آمده در فصل دوم، به بررسی پایداری معادله کوشی در فضای نرمدار تصادفی و نتایجی از آن می پردازیم.

هدف، نمایش احتمالی تابع چگالی احتمال و تابع مشخصه با گشتاورهای کسری از مرتبه مختلط می باشد. نشان داده خواهد شد که چنین گشتاورهای مختلطی با انتگرال های کسری ریس و انتگرال های کسری ریس مکمل در مبدا ارتباط دارند. با کمک قضیه تبدیل ملین معکوس ، تابع چگالی احتمال و تابع مشخصه با فرم انتگرالی ، به صورت گشتاورهای کسری مختلط برآورد می شوندوهمچنین گسسته سازی، بازیابی تابع چگالی احتمال و تابع مشخصه را با تعدادی از گشتاور های کسری ممکن می سازد. کاربرد عمده آن، برای مشخصه سازی متغیر تصادفی ? – پایدار، که با جزئیات بحث شده است، نشان دهنده قابلیت شگفت انگیز مشخصه سازی متغیرهای تصادفی با گشتاور های کسری است.

‏در این پایان نامه مسئله ی برآورد پارامتر ‎$‎‎‎‎n$‎ در توزیع های‎‎ دوجمله ای و دوجمله ای منفی از دیدگاه بیزی در دو حالت معلوم و نامعلوم ‏بودن پارامتر‎ ‎$‎‏‎‎‎‎‎ heta$‎ ( احتمال موفقیت)‎‎ ‎‏بررسی گردیده است. پارامتر ‎$‎‎‎‎n$‎ ‎‏در توزیع دوجمله ای تعداد آزمایش ها و در توزیع دوجمله ای منفی تعداد موفقیت ها را در یک دنباله از آزمایش های ‏برنولی نشان می دهد. برآوردگربیز و بیزتجربی پارامتر ‎$‎‎‎‎n$‏‏،‎ ‎‏ در هر توزیع با در نظر گرفتن یک توزیع پیشین از چپ بریده شده برای ‎$‎‎‎‎n$‎ ‎‏و یک توزیع بتا برای ‎$‎‎‎‎ heta$‎ ‏تحت‎‎ تابع زیان مربع خطا بدست آورده شده اند. روش های دیگر برآورد‏، از جمله روش‎ گشتاوری و ماکسیمم درستنمایی و غیره که توسط محققان دیگر بکار برده شده اند نیز معرفی گردیده است. در پایان برآوردگرهای بیز و بیز تجربی بدست آمده با برآوردگرهای قبلی مقایسه می گردد.‎

در این پایان نامه مفاهیم پایداری یرز- اولام- راسیاس و پایداری یرز- اولام معادلات انتگرالی کسری معین را معرفی کرده و قضایای پایداری را با استفاده از قضیه ی نقطه ثابت درفضای متریک کامل تعمیم یافته ارایه می کنیم و پایداری یرز- اولام- راسیاس و پایداری یرز- اولام را برای معادلات انتگرالی ولترای کسری بررسی می کنیم.

در این پایان نامه به بررسی پایداری یرز- اولام توسعه یافته ی معادله ی جمعی و مربعی زیر: f(kx+ly)+f(kx-ly)=f(kx)+f(x)+½(k-1)[(k+2)f(x)+kf(-x)]+l^2[f(y)+f(-y)], (k,l? ?-{0}) ‎در مدول های ??- باناخ روی یک جبر باناخ می پردازیم. به علاوه ما نشان می دهیم که تحت چه شرایطی می توان یک معادله ی تقریباً جمعی و مربعی را به وسیله ی یک تابع جمعی و مربعی تقریب زد. حل کلی معادله ی تابعی aq و بررسی پایداری یرز- اولام تعمیم یافته در مدول های ??- باناخ روی یک جبر باناخ به وسیله ی روش نقطه ثابت بررسی و اثبات خواهد شد.

در این پایان نامه معادله ی تابعی ترکیبی با n متغیر مستقل را در توابع تعمیم یافته معرفی می کنیم. با استفاده از جواب اساسی معادله ی گرما، جواب عمومی معادله را به دست می آوریم و پایداری یرز - اولام آن را در فضاهای توزیع بازگشت پذیر و ابرتابع های فوریه ثابت می کنیم.

در این پایان نامه چهار نوع از پایداری میتاگ-لفلر-اولام را ارائه می دهیم که عبارتند از: پایداری میتاگ-لفلر-اولام-یرز، پایداری میتاگ-لفلر-اولام-یرز تعمیم یافته، پایداری میتاگ-لفلر-اولام-یرز-راسیاس و پایداری میتاگ-لفلر-اولام-یرز-راسیاس تعمیم یافته‎. این چهار نوع پایداری را در فضای باناخ برای معادله تکاملی کسری بررسی می کنیم.

در این پایان نامه، نشان می دهیم که هر شبه-نرم تعریف شده روی مخروط یک شبه-مترنمای توسیع یافته ایجاد می کند. همچنین، فضای دوگان مخروط شبه-نرم دار و توپولوژی ضعیف ستاره تعریف شده بر فضای دوگان مخروط شبه- نرم دار را مورد مطالعه قرار می دهیم. در ادامه، صورتی از قضیه آلااوغلو را برای این توپولوژی بیان کرده و ثابت می کنیم. بعلاوه، مترپذیری و شبه-مترپذیری گوی واحد را مورد بررسی قرار خواهیم داد. همچنین، فضای دوگان یک فضای خطی نرم دار نامتقارن را معرفی کرده و نشان می دهیم که در حالت کلی یک فضای برداری نیست. بالاخره، توپولوژی ضعیف را که به وسیله فضای برداری نرم دار نامتقارن و دوگان آن ایجاد می شود معرفی کرده و در اثبات صورت نامتقارن از قضیه آلااوغلو مورد استفاده قرار می دهیم.

هدف ما در این پایان نامه، تحقیق در مورد مشخصه های همگرایی در احتمال و همگرایی قریب به یقین در فضای سرسنف است. ما ابتدا ثابت می کنیم که اگر دو دنباله از متغیرهای تصادفی همگرا در احتمال و یا همگرای قریب به یقین باشند، آنگاه جمع، ضرب و حاصلضرب اسکالر آنها نیز همگرا در احتمال و یا همگرای قریب به یقین خواهند بود. همچنین ما ثابت خواهیم کرد که هرتابع پیوسته از هر دنباله همگرا در احتمال، همگرا در احتمال است. در نهایت، نشان می دهیم که برای متغیرهای تصادفی مستقل، هر دنباله همگرای قریب به یقین، همگرا در احتمال خواهد بود و نتیجه می گیریم که نتایج مشابه فضای احتمال در فضاهای سرسنف هم برقرار هستند.