در این پایان نامه، ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع در حلقه چندجمله ای های s=k[x1, …, xn] را مورد مطالعه قرار می دهیم. با توجه به نتیجه جالب وفابل توجهی که از بایر و استیلمن به دست آمده است و نیز با توجه به تکنیک قطبی سازی، مساله دسته بندی ایدآل های همگن از حلقه s که دارای تحلیل خطی هستند، هم ارز با مساله دسته بندی ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع است که دارای تحلیل خطی می باشند. در هر صورت، مساله دسته بندی ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع که دارای تحلیل خطی می باشند، یک مساله خیلی مشکل به نظر می رسد. زیرا با توجه به قضیه ایگن-رینر، حل این مساله هم ارز با حل مساله دسته بندی ایدآل های (تک جمله ای خالی از مربع) از حلقه s می باشد که حلقه s/i کوهن-مکالی می باشد. شایان ذکر است که، ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع از حلقه s، از یک سو در تناظر یک به یک با حلقه های استنلی-رایزنر از مجتمع های سادکی، و از سوی دیگر در تناظر با ایدآل های نسبت داده شده با ابر گراف ها هستند. این تناظر، ریاضی دانان را بر آن داشت تا از خواص ترکیبیاتی و هندسی این اشیا (مجتمع های سادکی و ابر گراف ها) استفاده کرده تا نتایج جبری دلخواه خود را استنتاج کنند. دسته بندی ایدآل های همگن ازحلقه s که دارای تحلیل 2-خطی هستند، توسط فروبرگ در سال 1990 انجام شد. فروبرگ دریافت که ایدآل متناظر با گراف ها، دارای تحلیل 2-خطی هستند اگر و تنها اگر گراف مورد نظر قطری باشد؛ بدین معنی که گراف مورد نظر دارای دور القایی با طول بیشتر از 3 نباشد. در [em, thvt, vtv, w]، مولفان تعمیمی جزئی از قضیه فروبرگ را ارائه نمودند. آنها تعریف های متفاوت از ابر گراف های قطری ارائه کردند و ثابت کردند که ایدآل متناظر با این دسته از ابر گراف ها، دارای تحلیل خطی می باشد. با در نظر گرفتن دورها به عنوان اشیا هندسی (مثلث بندی از خم های بسته)، در این پایان نامه تلاش می کنیم که مفهوم دورها در گراف ها را به مفهوم مثلث بندی شبه منیفلدها گسترش دهیم و یک تعمیم از قضیه فروبرگ را برای ابر گراف های از بعد بیشتر از 2 به دست آوریم. همه نتایج فصل های 4 و 5 و نیز برخی از نتایج فصل 3، نتایج جدید در این پایان نامه می باشند.

در سال 2002 هرزوگ و تاکایاما در مقاله resolutions by mapping cone ایدآل جدیدی به نام ایدآل با خارج قسمت های خطی معرفی کردند. این ایدآل خواص جالب توجهی از نظر جبری و از نظر ترکیبیاتی دارد. در این پایان نامه علاوه بر بررسی خواص جبری و ترکیبیاتی این ایدآل ها، همبافت های کزول، همولوژی کزول، مجتمع سادکی و ایدآل هایی که به صورت مولفه ای خطی هستند و ایدآل هایی که به صورت مولفه های خالی از مربع خطی هستند معرفی و خواص آن ها به همراه ارتباط این مفاهیم با مفهوم ایدآل با خارج قسمت های خطی بررسی می شود. این پایان نامه عمدتا از کتاب و مقالات monomial ideals و ideals with linear quotients و graded betti number of ideals with linear quotients اقتباس شده است.

فرض کنید $ r $ حلقه جابجایی و یکدار باشد که $ 1 eq 0 $ و $ mathop z(r) $ مجموعه مقسوم علیه های صفر حلقه $mathop r $ باشد. منظور از گراف کلی حلقه $ r $ ، گرافی با رأس های متشکل از عناصر $ r $ است به طوری که دو رأس متمایز $x $ و $ y$ مجاورند اگر و تنها اگر $ x+yin z(r) $ که آن را با $ t(gamma(r)) $ نشان می دهیم. ewline گراف های کلی متناظر با حلقه های جابجایی و یکدار دارای ویژگی های جالبی هستند که برخی از آن ها توسط ریاضی دانانی مانند اندرسون و بداوی مورد مطالعه قرار گرفته اند. بر اساس کارهای اندرسون و بداوی، در این پایان نامه ویژگی های گراف کلی متناظر با حلقه هایی که $ ( z(r $ یک مجموعه متناهی است را مورد بررسی قرار می دهیم. بویژه کلاس همه حلقه های متناهی را که گراف کلی آن ها دارای گونای حداکثر یک است ، رده بندی می کنیم . در بخشی دیگر، به بررسی همبندی گراف کلی و زیر گراف های آن و محاسبه برخی از کمیت های گرافی مانند قطر و کمر خواهیم پرداخت.

بشر از زمانی که محل ثابتی برای اسکان انتخاب کرد، به فکر پوشاندن دیوارها و کف آن محل و سپس زیبایی این پوشش ها افتاد. از همان زمان مسئله کاشی کاری آغاز می شود. در این پایان نامه تعریف ریاضی کاشی کاری ارائه شده و تحت شرایطی تعداد کاشی کاری های ممکن محاسبه می شود. بررسی ها محدود به کاشی کاری با چندضلعی های منتظم و ستاره ای است. حرکات صلب در صفحه که منجر به کاشی کاری ها می شوند، تشکیل یک گروه می دهند که همان گروه تقارن ها است. گروه تقارن ها نیز در مورد کاشی کاری های مطرح شده بررسی می شود. به عنوان یک تمرین عملی، کاشی کاری های بنای سلطانیه بررسی شده است.

عدد نظم کاستلنوو-مامفورد از ناورداهای مهم مدول های مدرج است که تعبیر جبری و نیز هندسی دارد، مطالعه ی عدد نظم ایدآل های متناظر با گراف ها، از موضوعات فعال است که توسط ریاضیدانان زیادی مورد بررسی قرار گرفته است. یکی از مسائل مهم در این حوزه، مطالعه ی عدد نظم ایدآل های متناظر با گراف های قطری است. در این پایان نامه نشان داده خواهد شد که همه ی توان های ایدآل های متناظر با این دسته از گراف ها، دارای تحلیل خطی هستند.

مطالعه ی گرافهای جابجایی حلقه ها و گروهها از سابقه ی زیادی در شاخه ی جبر برخوردار است و تشخیص پذیری های زیادی بر مبنای این ساختار جبری گرافی ارایه شده است. با این زمینه و به دلیل کاربردهای زیاد این ساختار، گرافهای جابجایی نیم حلقه ها به تازگی مورد توجه قرار گرفته و با دیدگاههای جبری و ترکیبیاتی، این گرافها بررسی و مطالعه شده اند. در این پایان نامه قطر گراف جابجایی ماتریس های روی نیم حلقه ی بولی و نیم حلقه ی حاره ای و نیم حلقه ی جابجایی غیرتام دلخواه بررسی می شوند. همچنین کران پایینی برای قطر گراف جابجایی نیم گروه ماتریس ها روی نیم حلقه ی نامنفی تام جابجایی می یابیم. کلمات کلیدی: نیم حلقه، نیم حلقه ی بولی، نیم حلقه ی حاره ای، گراف جابجایی، قطر.