یافتن نمایشهای کوتاه برای گروهها همیشه مسیله ای مورد توجه در نظریه گروهها بوده است بویژه این مسیله در مورد p- گروهها مهم تر است. این رساله شامل چهار فصل است در فصل اول و دوم مقدمات لازم و نظریه هم رده تشریح خواهد شد. در فصل سوم ارتباط این نظریه با نمایشهای گروهها بسط می یابد و در بخش ششم از این فصل نظیه هم رده را برای ارایه نمایشهای 2- گروهها بکار خواهیم برد. با مختصر کردن نمایشهای پرو2- گروهها و ارتباط آن با نمایشهای 2- گروه ها و بکار بردن این روش برای پرو2- گروههای از هم رده یک و دو ثابت خواهیم کرد. قضیه تقریبا همه ( همه بجز تعداد متناهی 9 2- گروههای متناهی از هم رده حداکثر 2 که ضربگر شور آنها بدیهی است فرادوری بوده و لذا کاستی صفر دارند. سپس نمایشهایی برای همه 2- گروههای متناهی از هم رده حداکثر 3 و ضربگر شور بدیهی و همچنین نمایشهای شش خانواده نامتناهی از 2- گروههای 3- ولدی با ضربگر شور بدیهی ارایه خواهد شد. در فصل چهارم برای p- گروههای غیر آبلی مینیمال نشان خواهیم داد که برای زیر گروه مشتق این گروها مجموعه مولد مناسب وجود دارد که نسبت به آن طول فیبوناچی زیر گروه مشتق طول فیبوناچی گروه اصلی رامی شمارد بویژه قضیه زیر ثابت خواهد شد. قضیه: برای هر p- گروه غیر آبلی مینیمال مانند g مجموعه مولدی مانند a برای g وجود دارد بطوریکه lena (g) lena (g) که در آن a مجموعه مولد اصلی g است

فرض کنید i‎ ایده آلی از حلقه ی نوتری m‎، r‎ یک r- مدول ناصفر i- ‎هم متناهی و n‎ یک r- ‎مدول ناصفر با تولید متناهی باشد. همچنین فرض کنید یکی از شرایط زیر برقرار باشد: 1. dim m?1 2. dim n?2 در اینصورت نشان می دهیم بازای هر i?0‎، r- ‎مدول ext_r^i (n,m)‎، ‎i- هم متناهی است‎.

تعیین تعداد جواب های معادله ای به شکل x^p^k=a که در آن a عضوی از گروه مفروض است در مشخص کردن ساختار آن گروه تعیین کننده است.در سال 1931 کولاکف ثابت کرد که در یک p-گروه غیر دوری (p فرد) تعداد جواب های x^p^k=1 مضربی از{ p^{k+1 است به شرط آنکه نمای گروه مضربی از p^k باشد. هرگاه a عضو دلخواهی از گروه باشد در اینصورت تعداد جواب های x^p^k=a برای p-گروه غیردوری که 2-گروه رده ماکسیمال نیست و نمای آن حداقل | p^k|a است مضربی از p^k+1 می باشد. همچنین اگر k عدد طبیعی و g یک p-گروه غیر استثنایی باشد بطوریکه نمای g حداقل p^k است آنگاه تعداد جواب های معادله x^p^k=a در گروه g مضربی از { p^{k+p-1 خواهد بود.

در این پایان نامه به تعاریف زیرمدول اول، زیرمدول اول ضعیف، مدول ضربی، مدول ضربی ضعیف و قضایای اساسی مربوط به آن ها اشاره شده است. از جمله پاسخ به اینکه تحت چه شرایطی مدول ضربی ضعیف، مدول ضربی است و اینکه چه شرایطی لازم است تا زیرمدول اول ضعیف یک زیرمدول اول باشد و در فصل آخر به آشنایی مختصر در مورد مدول های آرتینی و بررسی زیرمدول های اول مدو لهای آرتینی پرداخته ایم.‎

محاسبه مرتبه یاتعیین ساختار گروه خودریختی ها در توسیع گروه ها حایز اهمیت است که می توان معین کرد از مرتبه معلوم چند گروه وجود دارد. اما غالبا این مسئله مشکل است یکی از اساسی ترین رهیافت ها به ساختار یا مرتبه گروه خودریختی ها حل همان مسئله برای گروه خودریختی های مرکزی است که زیرگروهی از گروه خودریختی ها است. در این پایان نامه برای گروه های به طور محض غیرآبلی نشان می دهیم که گروه خودریختی های مرکزی چنین گروهی با گروه همریختی های از گروه به مرکز در تناظر یک به یک است. مرتبه گروه اخیر به راحتی به دست می آید. بنابراین مرتبه گروه خودریختی های مرکزی به دست می آید. در ادامه ناشن می دهیم هر گاه یک گروه و مرکزش جفت کامینا تشکیل دهند یا گروه از رده 2 باشد یا زیرگروه سیلوی آبلی داشته باشد آنگاه مرتبه خود گروه مرتبه گروه خودریختی های آن گروه را می شمارد. این موضوع حالت خاصی از مسئله ای است معروف به حددس شنکمن که سالها بدون جواب مانده بوده اما اخیراً معلوم شده است که این حدس نادرست است.