در این رساله برای جبر باناخ a و مشخصه ناصفر ? روی a شرایط لازم و کافی را برای ?-انقباض |پذیری چپ جبر باناخ a به دست می آوریم و به خواص موروثی آن می پردازیم. همچنین ارتباط مفهوم ?-انقباض پذیری چپ (?-میانگین پذیری راست) و ویژگی های همولوژیک برخی از a-مدول های چپ باناخ را بیان می کنیم. در ادامه انقباض پذیری مشخصه ای چپ جبرهای گروهی وابسته به گروه فشرده ی موضعی g را مطالعه می کنیم. در آخر به بررسی ویژگی های همولوژیک برخی مدول های باناخ بر روی جبر های گروهی وابسته به گروه فشرده ی موضعی g می پردازیم.

در این رساله، به بررسی خواص ارثی مشخصه های تعمیم یافته روی جبر باناخ a می پردازیم. سپس برای مشخصه ی تعمیم یافته ی ناصفر? روی a، مفهوم ?-میانگین های پایای برداری-مقدار را معرفی و مطالعه می کنیم. همچنین شرایط لازم و کافی برای وجود این میانگین ها را به دست می آوریم و به خواص ارثی آنها می پردازیم. در ادامه، برای مشخصه ی ناصفر ? روی a، رابطه ی بین وجود ?-میانگین های پایای توپولوژیک روی دوگان جبرهای باناخ و ?-میانگین های پایای برداری-مقدار را بیان می کنیم و برای ‍‍c>0، یک مشخصه سازی برای وجود ?-میانگین های پایای توپولوژیک کران دار به c روی دوگان جبرهای لیپ شیتز ارایه می دهیم. رده بندی موضوعی: "43a07" ، "46h05" . کلمات کلیدی: جبر باناخ، میانگین های پایای برداری-مقدار، ?-میانگین های پایای توپولوژیک، جبرهای لیپ شیتز، فضای مشخصه.

در این پایان نامه به نظریه ی جبرهای c^* -سگال با تاکید بر نمایش تابعی آن ها می پردازیم. جبرهای سگال از زیرجبرهای l^1 -جبریک گروه فشرده ی موضعی به جبرهای باناخ دلخواه تعمیم داده شده است. بنابراین ساختار جبرهای سگال جبرهای باناخ دلخواه را بیان می کنیم و به معرفی ایده آل تقریبی و مدول های ضربگر می پردازیم که ابزار مناسبی برای مطالعه ی جبرهای سگال بدون همانی تقریبی می باشند. همچنین قضیه ی گلفاند-نایمارک را از c^*-جبرها به کلاس بزرگی از جبرهای c^*-سگال توسعه می دهیم. لذا به عنوان یک کاربرد، ایده آل های یک c^*-جبر را توصیف می کنیم. بنابراین نوعی از جبرهای ناخ بین را به دست می آوریم که به جبرهای باناخ نرم-نامنظم معروف می باشند و با مجهز کردن آن ها به توپولوژی نرم سوپریمم وزن دار به یک جبر استون- وایرشتراس تبدیل می شوند و نشان خواهیم داد جبر باناخ c_0^? (x) دارای ویژگی استون-وایرشتراس است. همچنین جبرهای یکنواخت وزن دار خودالحاق تقریبی و ضربگرهای آن ها را بیان می کنیم. در نهایت به اثبات نظریه ی مدولی قضیه ی گلفاند-نایمارک خواهیم پرداخت.

در این پایان نامه گزارش مبسوطی از بدیهی بودن کوهمولوژی ساده ی جبر پیچشی ??1(s)‎ ‏ وقتی s یک نیم گروه نواره ای است‏‏، می آوریم؛ این مطلب توسط چو اثبات شده است. ‏محاسبه ی کوهمولوژی هوخشیلد جبرهای باناخ حتی وقتی به رده ی جبرهای ??1‎-پیچشی نیم گروه ها محدود می شویم‏، به سختی انجام می شود. چو نشان داده است که کوهمولوژی ساده ی جبر نیم گروهی ??1(s) وقتی ‎s‎ یک نواره ی نرمال است‏، یعنی نواره ی s که در آن برای هر ‎a,b,x,y?s ‎‏، داشته باشیمxaby=xbay ‎؛ صفر می شود. با اینحال این روش برای نیم گروه های نواره ای کلی کارآیی ندارد. دقت کنیم که نواره ها یک رده ی قدرتمند و جالب از نیم گروه ها هستند که انواع خاصی از آن ها در هر دوی نظریه ی نیم گروهی مجرد و زمینه ی نظری عملگرها مطالعه شده اند. در این پایان نامه‏، همه ی گروه های کوهمولوژی ساده و دوری ??1(s)‎‏ را وقتی ‎s‎ یک نیم گروه نواره ای دلخواه است‏، محاسبه می کنیم. به طور واضح تر‏، می خواهیم موارد زیر را نشان دهیم -کوهمولوژی دوری ??1(s)‎ در درجات زوج یکریخت با فضای اثرها روی ‏ ??1(s) است‏‏و در درجات فرد صفر می شود؛ -کوهمولوژی ساده ی ??1(s)‎ ‎ در همه ی درجات به طور اکید مثبت صفر می شود. ‎‎‎‎‎‎ برای نزدیک شدن به این مطلب نیم شبکه ی ساختاری s‎ و شرکت پذیری ‎ s‎ ‏را همراه با یک روند نرمال سازی استقرایی در کوهمولوژی دوری به کار می بندیم؛ تکنیک آخر به نظر جدید می آید و ‏استراتژی تحت آن ممکن است برای جبرهای پیچشی جالب دیگری به کار آید. روش استفاده شده برای اثبات این نتایج همانند روش کارهای قبلی گوردو‏، جانسون و وایت است؛ در آنجا محاسبات مستقیم روی هم زنجیرهای دوری انجام می شود و سپس دنباله ی دقیق کانز-زیگن برای محاسبه ی کوهمولوژی ساده به کار برده می شود. در اینجا نیز همانند آن کار، تصمیم برای کار کردن با کوهمولوژی دوری به دلیل طبیعت ساختارمان به ما تحمیل شده است و اصلاً تصادفی نیست. بعضی از نتایج برای تعمیم دادن به زمینه ی جبرهای باناخی که ‎ ??1 -رده های روی یک نیم شبکه هستند‏،ظاهر می شوند. به ویژه‏، به نظر می رسد که محاسبات مشابه یک شیوه ی دیگر برای بعضی نتایج موجود چو برای نیم گروه های کلیفورد فراهم کند. با اینحال ‏، در متن می خو‎‏اهیم روی جبرهای نیم گروهی نواره ای تمرکز کنیم تا شرح به طور معقول کامل باشد. یک شیوه که ممکن است کسی وسوسه شود تا آن را برای اثبات اینکه جبرهای نیم گروهی نواره ای کوهمولوژی دوری بدیهی دارند‏، اتخاذ کند‏، این است که نواره را به وسیله ی نواره های به طور متناهی تولید شده بپوشاند و هم دورها را در مجموعه های بزرگ افزایشی هم مرز کند. این شیوه حتی ممکن است وسوسه انگیزتر شود وقتی یادآوری شود که نواره های به طور متناهی تولید شده‏، متناهی هستند. با اینحال‏، این شیوه با مشکلاتی مواجه می شود. این مشکل است که کنترل یکنواختی از نرم هم مرزها به دست آید تا مجموعه های تولید شده ی بزرگ افزایشی را برای این نواره ها اتخاذ کنیم. این مطلب حتی در نواره ی جابه جایی نیز صحیح است. نکته ی دیگر این است که جبرهای نواره ای متناهی‏، به طور کلی‏، نه نیم ساده اند و نه میانگین پذیر که بدیهی بودن کوهمولوژی ساده ی آن ها را شگفت انگیز می سازد.

در این پایان نامه به معرفی دو خاصیت bsp و absp میپردازیم و نشان می دهیم جبرهایی مانندl1(g) ,c0(g) دارای خاصیت bsp می باشند. همچنین نشان می دهیم هر همریختی فشرده از یک جبر باناخ منظم قوی که دارای خاصیت bsp باشد به یک جبر باناخ دیگر دارای بردی با بعد متناهی می باشد. در نهایت نشان می دهیم هر جبر باناخ منظم آرنز ، wsc که یک همانی تقریبی کراندار داشته باشد یکدار است. به عنوان اصلی ترین قضایای این پایان نامه نشان می دهیم که اگر a یک جبر باناخ منظم آرنز با یک همانی تقریبی کراندار و b یک جبر باناخ wac باشد، آنگاه برای هر همریختی پیوسته h از a به b جبر بستارh(a) یکدار است.

در این پایان نامه، به ازای گروه فشرد ه ی موضعیg و متعلق به (?,1) ثابت خواهیم کرد که l^p(g) به عنوان l^1(g)مدول چپ باناخ تزریقی است اگر و تنها اگر g میانگین پذیر باشد. در این راستا، ابتدا نظریه ی فضاهای چندنرمی را مطرح می کنیم و در ادامه میانگین پذیری گروه فشرد هی موضعی را به (p,q)میانگین پذیری آن توسیع می دهیم.

دراین پایان نامه، به ازای گروه فشرده ی g ثابت خواهیم کرد که ایده آل راست بسته ی i از جبر سگال ( s ( g، یک همانی تقریبی چپ صادق در شرط یکنواختی دارد اگر و تنها اگر i در جبر سگال ( s ( g متمم تقریبی باشد .در این راستا ابتدا مفاهیمی از جمله مفهوم متمم تقریبی بودن یک فضا و شرط یکنواختی را بیان می کنیم و در ادامه با استفاده از مفهوم ویژگی تقریب، قضایا و گزاره های متعددی را عنوان می کنیم که یکی از این گزاره های پر اهمیت نشان می دهد که اگر فضای باناخ x ویژگی تقریب داشته باشد، آن گاه یک زیرفضا از x این ویژگی تقریب را به ارث می برد در صورتی که متمم تقریبی باشد.