هدف این رساله مطالعه ابرفضاهای برداری و ساختارهای فازی آنها است. در این راستا ابتدا به معرفی و بررسی ابرفضاهای برداری و بعد آنها پرداخته و خواص اصلی آنها را مورد مطالعه قرار می دهیم. در ادامه ابرفضاهای برداری فازی، ابرفضاهای برداری فازی تولید شده توسط یک زیرمجموعه فازی، هم مجموعه های فازی از یک زیرابرفضای فازی و ابرفضای برداری فازی خارج قسمتی را معرفی و نتایج اساسی در مورد آنها به دست می آوریم. در خاتمه مفاهیمی مانند استقلال خطی فازی، پایه فازی و بعد ابرفضای برداری فازی، یکریختی بین ابرفضاهای برداری فازی و آزادی فازی بر اساس نقاط فازی را بررسی می کنیم.

گروههای ‎n‎-تایی که یک تعمیم طبیعی از نظریه گروه هامی باشد، ‎83‎ سال قبل توسط دورنته معرفی شد. تعمیم n-تایی ساختارهای جبری یکی از طبیعی ترین راههای توسعه درک عمیق خواص آنهاست. از آن زمان تاکنون مقالات متعددی در زمینه جبرهای n-تایی منتشر شده است. نظریه ابرگروهها در سال ‎1934‎ توسط مارتی پایه گذاری شد. وی به تجزیه و تحلیل و کاربرد آنها در گروهها و توابع جبری حقیقی مقدار پرداخت.اکنون ابرگروهها در موضوعات محض و کاربردی زیادی و از جمله نظریه اتوماتا مورد استفاده قرار می گیرد.‎‏ ‎‎ ابرساختارهای جبری n‎ -تایی که یک تعمیم از ابرساختارهای جبری می باشد، در هندسه اقلیدسی و ‏نااقلیدسی، گراف ها، مشبکه ها، مجموعه های طبیعی و فازی، کدگذاری و هوش مصنوعی، احتمالات و ... مورد استفاده قرار گرفته است‎. در سال ‎1965‎ زاده نظریه مجموعه های فازی ‎‎را به عنوان یک تابع از مجموعه غیرتهی ‎x‎ ‏ ‎‎به‎‎‎‎‎[0,1] ‎ معرفی کرد. در ادامه رزنفلد در سال ‎1971‎ مفهوم گروه فازی را معرفی کرد. مطالعات رزنفلد در ابتدای امر باعث فازی نمودن ساختارهای جبری شد، ولی کاوش های جدید مسیر تفکر جدیدی در زمینه های دیگر از جمله مهندسی، کامپیوتر و سایر شاخه های علمی باز نمود. ‎میتاس ‎اولین فردی بود که در سال ‎1970‎ ابرگروههای کانونی را به طور مستقل مطالعه کرد. کرسینی ابرگروههای ‎sd‎ را که نوع مخصوصی از ابرگروههای کانونی هستند را مورد مطالعه قرارداد. مولن‏ و پرایس‎ ابرگروه های کانونی را‏ در تجزیه هارمونیک و فیزیک ذره به کار بردند. شبه ابرگروههای کانونی که چندگروهها نیز نامیده می شوند، بوسیله کومردر جبر استوانه ای و جبر بول و توسط کرسینی در گراف و روابط مورد استفاده قرار گرفت. ابرگروههای n‎ -تایی توسط دواز‎ و وجیوکلیس‎معرفی و مورد مطالعه قرار گرفت.‎ابرگروههای n‎ -تایی فازی از دو دیدگاه مورد مطالعه قرار گرفته اند؛ نگرش اول توسط دواز و کر‏سینی ‎و نگرش دوم توسط سن‏‏،‎ عامری و چادوری‎. درنگرش دوم که مورد بحث این پایان نامه است‏، به هر n‎ -تایی از عناصر مجموعه ناتهی s‎ ‏‏، به جای یک زیرمجموعه ناتهی از ‎s‎ (نگرش اول)‏، یک زیرمجموعه فازی غیرصفر از ‎s‎ را نسبت می دهیم. این ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎دیدگاه در مقالات گسترش داده شده است‎.‎ این پایان نامه برخی از مطالعات انجام شده برای رسیدن به مفهوم و نتایج مربوط به ابرگروههای n–تایی کانونی فازی مورد بررسی و تجزیه و تحلیل قرارمی گیرند.

هدف از نوشتن این پایان نامه مطالعه در مورد ابرفضاهای برداری مستقل ساختار است. درفصل اول تعریف ابرعمل، ابرفضای برداری، زیرابرفضا آمده است. در فصل دوم ابرفضای برداری خارج قسمتی ،تبدیلات خطی ابرفضای برداری و در پایان فصل رسته ابرفضاهای برداری،که شامل رسته ابرفضاهای برداری نسبت به تبدیلات خطی قوی ، زیررسته، فانکتور، فانکتور کنترا واریانت و فانکتور دوگان است را بررسی می کنیم. فصل سوم با تعریف استقلال خطی و پایه شروع شده و برای شناخت بیشتر آنها چند گزاره و قضیه آورده می شود و مطالعات با بررسی و تحقیق در مورد پایه مرتب، مختصات یک بردار نسبت به یک پایه و قضایای مربوط به اینها ادامه می یابد. همچنین ماتریس تبدیلات خطی معرفی شده و گزاره هایی در این زمینه می آید. سپس با تعریف ابرفضاهای برداری تشکیل شده روی تبدیلات خطی ابرفضاهای برداری و تعیین بعد این گونه ابرفضاهای برداری با بیان چند قضیه و نتیجه این مبحث خاتمه می پذیرد. در فصل آخر در مورد ابرفضاهای برداری مستقل ساختار صحبت می کنیم. در ابتدا تعریف اصل تبادل و تعریف ابرفضاهای برداری مستقل ساختار را می آوریم و سپس به بیان چند گزاره و قضیه در این مورد می پردازیم و در پایان در مورد ابرفضاهای برداری صفر-مستقل ساختار و یک-مستقل ساختار قضایایی را ذکر می کنیم.

در این پایان نامه، ابتدا نیمگروه های مرتب (منظم، منظم داخلی) را معرفی نموده و برخی خواص آنها را ارائه می دهیم و سپس به تعریف ایده آل در یک نیمگروه مرتب پرداخته و انواع ایده آل، دو-ایده آل (تعمیم یافته) و شبه-ایده آل را معرفی کرده و ویژگی ها و ارتباط بین آنها را بررسی می کنیم در ادامه به معرفی ایده آل های فازی پرداخته و انواع مختلف آن را یعنی ایده آل فازی، دو-ایده آل (تعمیم یافته) و شبه-ایده آل فازی را معرفی کرده و ویژگی ها و ارتباط بین آنها را با دقت بیشتری مورد توجه قرار می دهیم. بالاخص نشان می دهیم که در نیمگروه مرتب، هر شبه-ایده آل یک دو ایده آل فازی است ولی عکس آن در حالتی برقرار است که نیمگروه مرتب منظم باشد سرانجام با در نظر گرفتن مفاهیم تعلق" ∋ "و شبه-منطبق" q " به معرفی انواع ( α , β) - ایده آل های فازی پرداخته و در ادامه انواع ( vq ∋ ,∋) - ایده آل فازی (دو-ایده آل) فازی را به طور مجزا بررسی می کنیم در انتها بخش های بالایی و پایینی ( vq ∋ ,∋) - ایده آل فازی را معرفی و نتایجی را در مورد آنها بیان می کنیم

هدف این پایان نامه مطالعه برخی از ساختارهای جبری فازی براساس نقاط فازی است. در این راستا در فصل اول مفهوم مجموعه های فازی به طور مختصر بیان می شود. در فصل دوم نقاط فازی در نیم گروه ها و گروه ها و خواص اساسی آن ها به ویژه ایده آل فازی تولید شده توسط نقاط فازی مورد بررسی قرار می گیرند. فصل سوم به مطالعه نقاط فازی در مدول ها و فضاهای برداری پرداخته شده و مفاهیمی از قبیل ترکیب خطی فازی, فضای خطی فازی و آزاد فازی مورد بررسی قرار میگیرند. در فصل آخر برخی نتایج مقدماتی جدید درباره زیرنیم گروه های فازی بیان می شوند.

هدف این پایان نامه مطالعه گروه های مشبکه-مرتب l-فازی است. در فصل اول مطالب ضروری بخش های بعدی شامل رابطه، مشبکه و مجموعه فازی بیان می شود. در فصل دوم، مفاهیم زیر گروه های l-فازی و زیرگروههای پادl-فازی و زیرگروههای پاد l-q-فازی مورد مطالعه قرار می گیرد. در فصل سوم به مطالعه گروههای مرتب، گروههای مشبکه-مرتب، گروههای مشبکه-مرتب فازی، زیرگروه مشبکه-مرتب محدب فازی و m-گروههای مشبکه-مرتب پاد فازی پرداخته و قضایای مربوط به آن بیان و اثبات شده اند. در فصل چهارم زیر l-گروههای l-فازی، حاصلضرب مستقیم از زیرl-گروههای l-فازی، l-ایدال l-فازی در l-گروهها، هم نهشتی های l-فازی در l-گروهها، زیر l-گروههای خارج قسمتی l-فازی را مطرح کرده وقضایای مربوط به آنها بررسی می شود.

در این پایان نامه به بحث پیرامون ماتریس های فازی، دترمینان، الحاقی وچند ویژگی ماتریس های فازی پرداخته شده است. همچنین چند نوع خاص از ماتریس های فازی مثلثی که درایه های آنها اعداد فازی مثلثی هستند مورد مطالعه قرار گرفته اند.

نرم در فضای برداری توسعه مفهوم طول در ‎r^2 است و ‎n‎ -نرم ، یک تابع حقیقی مقدار است که توسعه نرم می باشد. ‎ با تعمیم عمل روی یک جبر به ابرعمل، یک ابرجبرحاصل می شود که یکی از ابر ساختارهای جبری حاصل از این روش ، ابرفضای برداری است. هدف این پایان نامه بررسی ‎n‎-نرم ها روی ابرفضای برداری و معرفی مفاهیم جدید ابرفضای برداری ‎$‎‎‎n‎$‎‎‏-نرمدار و‎$‎‎‎n‎$‎‎‏-نرم تعمیم یافته با ذکر مثال و قضیه می باشد. ‎