ابرگراف کامل ‎‎‏‎‎‎k-یکنواخت ‎k_n^k متشکل از مجموعه ای n رأسی است که شامل تمامیk-تایی ها ‏است. کوچکترین عدد صحیح مثبت n که در هر رنگ آمیزی دلخواه ازk -تایی های مجموعه ی [n]، با رنگ های قرمز و آبی، بتوان کپی k_s^k قرمز یا k_n^k آبی در آن یافت‏، عدد رمزی r_k (s,n) می نامیم. محاسبه ی اعداد رمزی از پیچیدگی بالایی برخوردار است‏، از همین رو روند بهبود کران های اعداد رمزی و نتایج حاصل از آن ها همواره مورد توجه بوده است . اردوش و هاجنال در لمی با عنوان ‎بالا-پله ای‎‏ نشان دادند که می توان از کران پایین اعداد رمزی ابرگراف های کاملk-یکنواخت، کران پایینی برای عدد رمزی ابرگراف های ‏کامل(k+1)-یکنواخت به دست آورد. متاسفانه این روش تنها برای k?3 کارآمد است. به همین دلیل کوچک کردن شکاف بزرگی که میان کران بالا و پایین اعداد رمزی ابرگراف‎ها وجود دارد، با یافتن کران خوبی برای ابرگرف های 3-یکنواخت آسان تر می شود. اردوش و رادو در سال 1952 با استفاده از یک الگوریتم حریصانه کران بالایی برای r_3 (s,n) به دست آوردند. ‎‏روش مبتکرانه ی آن ها مورد توجه سوداکو و همکارانش واقع شد. سوداکو و همکارانش در سال 2009 این کران بالا را با ارائه ی دو راه حل بهبود بخشیدند. یکی از آن راه حل ها استفاده از بازی "بنّا و نقاش "بود‏، آن ها با استراتژی بردی که نشان دادند در این بازی وجود دارد، توانستند کران بالای بهتری برای عدد رمزی r_3 (s,n) ارائه دهند و چندی بعد در سال 2011 با روشی مشابه روش اردوش-رادو‏، یک کران بالا برای ‏عدد رمزی ابرگراف کامل 3-یکنواختd -بخشی‏ k_d^3 (n) ارائه دادند. با ارائه و اثبات این کران بالا به دو سوال باز از اردوش و هاجنال که در سال 1989 مطرح شده بود پاسخ داده شد.

به دوتایی ‎$h=(v,e)$‎ که ‎$v$‎ مجموعه ای متناهی و ‎$e$‎ مجموعه ای از زیرمجموعه های ‎$v$‎ است ابرگراف می گوییم. اعضای ‎$v$‎ را رئوس و اعضای ‎$e$‎ را یال های ابرگراف ‎$h$‎ می نامیم. به مجموعه ای از یال های ‎$h$‎ که اشتراک دوبه دوی آن ها تهی باشد یک تطابق گوییم. در سال ‎1965‎ اردوش حدس زد که یک ابرگراف ‎$n$‎ رأسی ‎$h$‎ که تعداد رئوس هر یال آن برابر ‎$k$‎ و اندازه بزرگ ترین تطابق آن برابر ‎$s$‎ است دارای یکی از دو ساختار زیر است ‎$h$‎ زیر ابرگرافی کامل روی ‎$sk+k-1$‎ رأس دارد و ‎$n-sk-k+1$‎ رأس دیگر آن، رئوس ‎$h$‎ متعلق به خانواده ای از ابرگراف ها می باشد که یال های آن همه ی ‎$k$‎ تایی هایی را شامل می شود که با یک مجموعه ی مشخص رئوس از اندازه ی ‎$s$‎ اشتراک دارند. ‎end{itemize}‎ برای ‎$k$‎ و ‎$s$‎ دلخواه در حالت کلی، اردوش نشان داد که این حدس برای ‎$n$‎ به اندازه ی کافی بزرگ برقرار است، یعنی تابع ‎$g(k)$‎ وجود دارد که برای ‎$ngeq{g(k)s}$‎ این حدس برقرار است. بیشتر تلاش های صورت گرفته برای اثبات این حدس، سعی در بهبود این کران بوده است. سوداکو و همکارانش در سال ‎2012‎ نشان دادند حدس اردوش برای ‎$n>3k^2s$‎ برقرار است. فرانکل نیز در سال ‎2012‎ این کران را به ‎$n>frac{2k^2s}{log(k)}$‎ بهبود داد و در حالت خاص ‎$k=3$‎، این حدس را به اثبات رسانید. در این پایان نامه به بررسی کران های به دست آمده توسط فرانکل، سوداکو و همکارانش می پردازیم. فرانکل در سال ‎2013‎ موفق شد کران بهتری برای حدس اردوش بیابد که اشاره ی مختصری نیز به آن خواهیم داشت.