پایان نامه فوق به حل عددی یک معادله انتگرال ولترای به طور ضعیف منفرد می پردازد. به علت رفتار منفرد گونه جواب در نزدیکی مبدا، مرتبه همگرایی کلی ‎(سراسری)‎ روش های انتگرال گیری ضربی و هم محلی بهینه نیست. به منظور دست یافتن به مرتبه های بهینه، یک روش هم محلی مرکب استفاده شده است که ترکیبی از یک تقریب غیر چندجمله ای روی اولین زیربازه و چندجمله ای هم محل تکه ای روی یک شبکه مدرج می باشد. چند مثال عددی برای نشان دادن کارایی روش و شرح نتایج نظری ارایه شده است. همچنین یک مقایسه از این روش با روش هم محلی مدرج استاندارد انجام شده است.

تعیین موقعیت مقادیر ویژه ماتریس ها نقش کلیدی در نظریه ماتریس ها و آنالیز عددی دارد. قرص های گرشگورین، بیضی های کاسینی برائر و مجموعه شمول برالدی نمونه های شناخته شده ای از چنین نواحی شمول برای مقادیر ویژه هستند. اخیرا پنا با معرفی خانواده جدیدی از ماتریس های نامنفرد به نام c-ماتریس ها و استفاده از ویژگی های آن ها یک بازه غیرشمول جدید برای مقادیر ویژه حقیقی ماتریس های مثبت به دست آورده است. در این پایان نامه، ابتدا خانواده جدیدی از ماتریس های نامنفرد، به نام mc-ماتریس ها که خانواده c-ماتریس‍ها را دربر دارند، معرفی می شود. با استفاده از خواص این ماتریس ها، بازه های غیرشمول جدیدی برای مقادیر ویژه یک ماتریس حقیقی ارایه می شود که در ادامه بازه های فوق برای تعیین موقعیت مقادیر ویژه حقیقی غیریک از ماتریس های تصادفی مثبت استفاده می شوند. همچنین در این پایان نامه بازه های شمول جدیدی برای قسمتهای حقیقی مقادیر ویژه ماتریس های حقیقی ارایه شده اند. برای ماتریس های که درایه های غیرقطری محدود دارند کران های بالا و پاینی ساده ای از مقادیر ویژه حقیقی به دست آمده اند. بعلاوه شرایطی کافی ارایه شده است که نشان می دهند بازه های شمول به دست آ مده توسط پنا مشمول در بازه های متناظر ارایه شده بوسیله بیضی های کاسینی برائر هستند.

در این پایان نامه‎‎‏، مفهومی از یک نرم فازی غیرارشمیدسی را معرفی کرده و پایداری معادله کوشی در متون فضاهای فازی غیرارشمیدسی هایرز-اولام-راسیاس-گاوراتا مورد مطالعه قرار می گیرد و به عنوان یک نتیجه‏، پایداری‏ معادله ینسن‏، مورد بحث قرار می گیرد. در واقع یک رابطه بین نظریه فضاهای فازی‏، نظریه فضاهای غیرارشمیدسی و نظریه معادلات تابعی ارا‎‎یه می شود.

رفتار عددی یک معادله ی انتگرال ولترای منفرد با مجموعه ای نامتناهی از جواب ها، که یکی از این جواب ها هموار و بقیه دارای شیب نامتناهی در مبدأ هستند، را بررسی می کنیم. در رابطه با تقریب جواب هموار این معادله قبلاً بحث شده است. در اینجا روش های عددی ارائه می شود که ما را قادر می سازند تا تقریب هایی برای هر خانواده نامتناهی از جواب ها به دست آوریم. چند مثال عددی ارائه شده است که کارایی روش های به کار گرفته شده را نشان می دهند.

‎‎پایان نامه حاضر در ابتدا برخی تعاریف و مفاهیم پایه ای را ارائه می دهد و در ادامه روش های تفاضل متناهی غیر استاندارد برای معادلات دیفرانسیل معمولی و جزیی معرفی شده و با روش های تفاضل متناهی استاندارد مقایسه شده و کارائی این روش ها بررسی می شود‎.‎ روش های تفاضل متناهی غیر استاندارد برای قوانین بقاء (انرژی‏، ماده‏، ...) که حافظ خاصیت کاهش تغییرات کلی جواب می باشند، پیشنهاد می شوند. روش های ضمنی محاسباتی ساده که از تقریب غیر موضعی عبارت های غیرخطی استفاده می کنند‏، به دست آورده می شوند. با دوباره سازی مخرج فرمول‏ های مشتق، روش های صریح مرتبه یک یا بالاتر به دست آورده می شوند. برخلاف روش های رایج‏، جواب های این روش ها تغییرات کلی را به ازای هر طول گام کاهش می دهند.

تمرکز این رساله روی حل عددی معادلات انتگرال دو بعدی خطی و غیر خطی نوع اول و دوم می باشد چند روش عددی مبتنی بر استفاده از توابع پالس بلوکی و توابع هارگویا شده دو بعدی ارایه شده است. همچنین یک روش عددی که روش های اویلر و ذوزنقه ای را برای تقریب جوای یک خانواده از معادلات انتگرال ولترای دو بعدی غیر خطی به کار می برد ارایه شده است. روش های فوق معادلات انتگرال خطی و غیر خطی در نظر گرفته شده را به ترتیب به سیستم خطی و غیر خطی از معادلات جبری تبدیل می کنند به طور کلی روش های ارایه شده به دو دسته متفاوت تقسیم بندی می شوند روش های محلی و روش های مستقیم. خانواده روش های هم محلی دو روش هم محلی دو متغیره را شامل می شود که همراه با گروه های نیوتن –کوتس توابع دو بعدی پالس بلوکی و توابع دو بعدی هارگویا شده برای تقریب جواب معادلات انتگرال ولترا و فردهلم غیر خطی نوع دوم به کار برده شده اند. این دسته همچنین یک روش هم محلی دیگر را شامل می شود که روش های اویلر و ذوزنقه ای و یک خانواده از نقاط گره هم فاصله ( به عنوان نقاط هم محلی ) را به کر می برد و یک خانواده از معادلات انتگرال دو بعدی نوع دوم غیر خطی را به یک سیستم غیر خطی را به کار می برد و یک خانواده از معادلات انتگرال دو بعدی نوع دوم غیر خطی را به یک سیستم غیر خطی از معادلات جبری گسسته سازی می کند. تتحت شرایط مشخصی روی هسته و جمله پیشرو معادله انتگرال مرتبه اول همگرایی برای روش ذوزنقه ای ثابت شده است. سپس دقت جواب های به دست آمده با روش های اویلر و ذوزنقه ای به وسیله روش برونیابی ریچاردسون بهبود بخشیده است. برای حل عدید معادلا انتگرال ولترا و فرد هلم دو بعدی یک روش مستقیم بر پایه استفادهع از ماتریس های عملیاتی انتگرال گیری و فرم های برداری توابع پالس بلوکی دو بعدی ارایه شده است رویکرد به کار برده شده در اینجا در اصل یک تعمیم از روش به کار رفته برای مساله یک بعدی توسط بابلیان و ماسوری (5) است. در حقیقت ما در این روش یک خانواده از ماتریس های عملیاتی اتگرال گیری متناظر با یک خانواده ضربی از توابع پالس بلوکی را معرفی کرده ایم و سپس روش به کار رفته در (5) را به حالت دو بعدی تعمیم داده ایم. این روش برای هر نوع معادلات انتگرال دو بعدی نوع اول و دوم به کار رفته است. بعلاوه حل عددی معادلات انتگرال فردهلم دو بعدی غیر خطی نوع دوم با استفاده از یک روش مستقیم مبتنی بر استفاده از فرم های برداری توابع ها ر دو بعدی بررسی شده اند. این کار هم یک تعمیم از کار ارایه شده توسط بابلیان و شاهسوران برای حالت یک بعدی است. برای نشان دادن موثر بودن و کارایی محاسباتی روش های ارایه شده نتایج به دست آمده با استفاده از روش های ارایه شده در این رساله با نتایج به دست آمده توسط روش های دیگر مقایسه شده است. همچنین برای تحلیل خطای روش های فوق معیارهایی از خطای مطلق همراه با یک تخمین از مرتبه همگرایی محاسبه شده اند و در جدول ها وارد شده اند.

عملکرد روش های هم محلی اسپلاینی را برای یک خانواده از معادلات انتگرال ولترای به طور ضعیف منفرد بررسی می کنیم. نشان می دهیم که اگر جواب دقیق معادله در شرایط خاصی صدق کند، با انتخاب مشخصی از پارامترهای هم محلی، می توان نتایج فوق همگرایی به دست آورد. این ویژگی، در نظریه روش های هم محلی برای معادلات از نوع آبل برقرار نیست. در پایان چندین مثال عددی ارایه می شود که نتایج نظری را شرح می دهند.

یک معادله ی انتگرال ولترای خطی نوع دوم و به طور ضعیف منفرد که به وسیله ی یک عملگر غیرفشرده تعریف شده است را در نظر می گیریم و با استفاده از گره های انتگرال گیری گاوس-رادو یک درونیاب از نوع نیستروم برای جواب آن به دست می آوریم. با فرض پایداری درونیاب، که مثال های عددی هم آن را تأیید می کنند، تخمین هایی از همگرایی به دست می آوریم.

در این پایان نامه خواص همگرایی روش های هم محلی و هم محلی تکراری اسپلاینی، برای یک معادله انتگرال ولترای به طور ضعیف منفرد را بررسی می کنیم، این کار روش های عددی مربوط به مطالعات قبلی در مورد این نوع معادلات با هسته غیر فشرده را تکمیل می کند.

در این پایان نامه روش های اصلاح خطا ی تک گامی نیمه صریحecm)‎)از مرتبه ی بالا برای حل مسائل مقدار اولیه توسعه داده می شوند.‎‎‎ecm ‎ همگرایی بالا از مرتبه ی‎‎ را بدون هیچگونه فرآیند تکراری‏، که در اکثر روش های ضمنی نیاز است‏، فراهم می آورد. این کار با ساختن یک تقریب موضعی با خطای باقیمانده از مرتبه ی در هر گام زمانی امکان پذیر است. به عنوان مثال، یک تقریب درجه ی دو موضعی ساخته می شود. علاوه براین، نشان داده می شود که انتخاب پارامتر های خاص برای چندجمله ای درجه ی دو موضعی منجر به روش های مرتبه ی دو صریح معروف می شود که می تواند به ‎ecm‎ نیمه صریح از مرتبه ی دقت شش توسعه داده شود. تابع پایداری نیز برای این روش به دست آورده می شود و چند مسئله ی سخت و غیر سخت برای تایید نتایج تحلیلی ارائه می شود. یادآوری می شود که ‎ecm‎ توسعه یافته در اینجا روش های صریح را نتیجه می دهد. بلکه روش های نیمه ضمنی از نوع رزنبراک را می دهد. در هر دو روش ‎ecm‎ و رزنبراک نیاز است که در هر گام چند دستگاه خطی حل شود. اما باید خاطر نشان شود که ‎ecm‎ در هر تکرار ‎2p+2‎ برآورد از ماتریس ژاکوبی دارد در حالیکه در روش رزنبراک تنها یک برآورد نیاز است. با این وجود به دست آوردن روش های از مرتبه ی بالا با استفاده از ‎‎‎‎ecm‎‎ ساده تر است.

در این پایان نامه، الگوریتم های سریعی برای محاسبه جواب های نرم مینیمال -‎2‎ در دستگاه های فرومعین ارائه می شود. برای تعمیم این الگوریتم ها، از تئوری محاسبه کران های خطا برای حل عددی چنین مسائلی استفاده شده است. علاوه بر این، تکنیک هایی برای بهبود الگوریتم محاسبه کوچک ترین کران خطا معرفی می شوند.

در این پایان نامه، خطی بودن انتگرال های فازی و تعمیم خطی بودن آنها مورد مطالعه قرار می گیرد. برای انتگرال های فازی از پایین پیوسته، خطی بودن به انتگرال لبگ منتهی می گردد در حالی که نتایج خطی هم یکنوا به انتگرال چاکوت نسبت به یک اندازه فازی خود دوگان m منجر می‎ شود. نتایج مشابهی در حالت خطی بودن خودتوان ارائه می گردد. سرانجام، شبه-خطی بودن مربوط به دو نوع از نیم حلقه ها مورد بحث و مطالعه قرار می گیرد.

در این پایان نامه، یک رابطه بازگشتی کلی برای توصیف جواب های معادله پخش زمان-کسری با استفاده از روش تبدیل دیفرانسیلی تعمیم یافته ارئه شده است. رابطه به دست آمده، به ما کمک خواهد کرد تا معادلات پخش زمان-کسری را توسط نیروهای بیرونی متفاوت و شرایط اولیه حل کنیم.

دو الگوریتم جدید براساس موجک های هار ارایه شده است. الگوریتم اول برای حل عددی معادلات انتگرال فردهلم غیرخطی نوع دوم و دومی برای حل عددی معادلات انتگرال ولترای غیرخطی نوع دوم به کار برده شده است. این روش ها جهت بکارگیری و استفاده از ویژگی های خاص موجک های هار در هر دو حالت یک و دو بعدی طراحی شده است. فرمول هایی برای محاسبه‎ ی ضرایب هار بدون حل دستگاه معادلات به دست آمده اند. سپس این فرمول ها در روش های عددی ارایه شده مورد استفاده قرار می گیرند. در مقایسه با سایر روش های عددی ، مزیت روش ارایه شده در این است که در آن هیچ روش عددی میانی برای محاسبه ی انتگرال موجود در معادلات انتگرال استفاده نمی شود. کارایی روش ارایه شده برای حل مسایل منتخب مورد تایید می باشد و نتایج عددی با نتایج موجود در نوشتارهای دیگر مقایسه شده اند.

روش گرادیان مزدوج یک روش تکراری برای حل مسائل بهینه سازی می باشد .این روش به دو دسته خطی و غیرخطی تقسیم می شود.روش خطی بر روی دستگاه ‎‎‎‎qx=b‎‎‎ که در آن ‎‎‎‎q‎‎‎ یک ماتریس متقارن معین مثبت است به کار می رود.از این روش برای حل مسایل برنامه غیرخطی نامقید استفاده می شود. که در این صورت ماتریس‎‎‎‎q‎ ‎‎ همان ماتریس هسی تابع درجه دو می باشد. ولی روش غیرخطی که می توان بوسیله آن توابع درجه دو و یک را نیز حل کرد خود به دو دسته تقسیم می شود که عبارتند از اولی تقریب درجه دو که تقریبی از روش خطی می باشد ولی دومی مبتنی بر جستجوی خطی می‎‎باشد.

در ابتدا رده های از ماتریس های نامنفرد ارایه میشود. سپس این ماتریس ها جهت به دست آوردن معیارهایr ساده برای تشخیص نامنفرد بودن ماتریس های حقیقی و همچنین به دست آوردن بازه های شمول و غیرشمول از مقادیر ویژه حقیقی آنها به کار برده می شوند. به ویژه مقادیر ویژه غیر 1 از هر ماتریس تصادفی به طور دقیق تر موقعیت یابی شده است.

استفاده از روش های تفاضل متناهی کلاسیک اغلب اشکالات عددی مانند نوسانات اضافی در جواب معادله دیفرانسیل جزئی مشهور بلک-شولز تولید می کنند. در این پایان نامه روش تمام ضمنی را تحلیل می کنیم که یک روش عددی پرکاربرد در امور مالی است و در حضور تابع عایدی ناپیوسته و تلاطم پایین، نوسانات اضافی به وجود می آورد. تصحیحی از این روش ارایه می دهیم که یک جواب عددی هموار و فاقد نوسانات اضافی تولید می کند و این جواب در شرط مثبت بودن که برای جواب مالی معادله بلک-شولز لازم است، صدق می کند. به عنوان یک نتیجه، اگرچه این روش از مرتبه دقت پایین است اما جوابی فاقد نوسانات اضافی تولید می کند.

در حالت کلی معادلات دیفرانسیل با مقادیر اولیه را نمی توان دیفرانسیل می توان جواب طیف وسیعی از مسائل کاربردی را مشخص نمود با روش های تئوری حل نمود، لذا با حل عددی معادلات یک حالت خاص از مسأله مقدار اولیه، مسأله ای به فرم: y^=f(x,y) , y(a)=?, y^ (a)=?^^ است که مشتق اول در آن ظاهر نمی شود. این معادلات طیف وسیعی از پدیده های اطراف ما را شامل می شود، مثلاً معادلاتی که دارای جواب نوسانی هستند از جذابیت خاصی برخوردارند این معادلات را می توان در مکانیک سیالات، مکانیک کوانتوم فیزیک و شیمی، دید. ‎ هدف این پایان نامه ارایه الگوریتمی موثر برای حل تقریبی معادله شرودینگر شعاعی و مسائل مرتبط است.‎ این پایان نامه شامل چهار فصل می باشد. در فصل اول، مفاهیم و مقدمات اولیه مورد بررسی قرار گرفته است. در فصل دوم، تعاریف و قضایای مربوط به معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم که مشتق اول در آنها ظاهر نمی شود، ارایه شده است. در فصل سوم، دو روش ده گامی ضمنی متقارن بهینه برای مسائل مقدار اولیه معرفی شده است. در فصل چهارم، نتایج عددی بررسی می شوند. این پایان نامه براساس مقاله چاپ شده در سال ‎2011‎ با عنوان ‎a family of high-order multistep methods with vanished phase-lag and‎ ‎its derivatives for the numerical solution of the schr?dinger equation‎ ‎ibraheem alolyan,t.e.simos ‎department of mathematics‎, ‎college of sciences‎, ‎king saud university‎, ‎p‎. ‎o‎. ‎box 2455‎, ‎riyadh 11451‎, ‎saudi arabia ‎laboratory of computational sciences‎, ‎department of computer science and technology‎, ‎faculty of sciences and technology‎, ‎university of peloponnese‎, ‎gr-221 0 tripolis‎, ‎greece‎.‎ ‎ تنظیم شده است. حل

در این مقاله, ما یک الگوریتم عددی جدید برای حل معادلات دیفرانسیل کسری خطی و غیر خطی بر اساس ماتریس های عملیاتی انتگرال گیری مرتبه صحیح و مرتبه کسری تابع کلاهی تعمیم یافته ارائه می کنیم. معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری خطی و غیر خطی توسط این ماتریس ها به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل شده و این معادلات جبری از طریق روش های محاسباتی شناخته شده حل شده اند. همچنین چند مثال عددی برای نشان دادن و تصدیق دقت و اعتبار الگوریتم مطرح شده, ارائه شده است. نتایج بدست آمده با استفاده از روش ارائه شده, کاملا منطبق با جواب های تحلیلی و نتایج عددی ارائه شده در سایر منابع می باشد.

در این پایان نامه عملگرهای ترکیبی کراندار با نمادهای ماتریسی روی فضای هیلبرت ‎l^2(mu)‎، که در آن mu یک اندازه بورل مثبت-تعریف شده با یک تابع چگالی لاپلاس، روی فضای اقلیدسی ‎-d‎بعدی است، مطالعه می شود. همچنین هیپونرمالی و زیرنرمالی الحاقی چنین عملگرهایی به طور واضح برحسب نمادهای ماتریسی مشخص می گردد.

یک روش عددی جدید و قوی برای معادلات انتگرال تابعی همرشتاین ارائه شده است. روش فوق روی چند مثال آزمایش و پایداری عددی و همگرایی آن به طریق ریاضی اثبات شده است.