هدف ‎‎از این پایاین نامه بررسی در هم تنیدگی کوانتومی در ولگشت های کوانتومی ‎2‎ بعدی است. برای این منظور ابتدا روشی تحلیلی، برای به دست آوردن در هم تنیدگی بین سکه و مکان ارائه کرده ایم که بوسیله آن می توان تاثیر حالات اولیه در هم تنیده، حالات غیر موضعی، حالات اولیه با در هم تنیدگی مکانی و حالات اولیه توزیع شده را بر ‎‎‎ ولگشتهای کوانتومی بطور دقیق بررسی کرد. با معرفی سه خانواده از حالات اولیه و انجام محاسبات پیچیده اولیه، بررسی طیف نسبتا کاملی از حالات اولیه به سادگی امکان پذیر گشته است. بعلاوه نشان داده ایم که ماتریس چگالی کاهش یافته در ولگشت های کوانتومی با حالت اولیه موضعی و با فضای سکه ‎m بعدی، با ماتریس ثابتی با ابعاد ‎m^2×m^? بطور کامل توصیف می شود. این ماتریس مشخصه برای ولگشت های کوانتومی ‎1‎ بعدی با عملگر سکه کلی su(2)و برای ولگشت های ‎2‎ بعدی با عملگرهای ‎ h?h و g به دست آمده است. همچنین با تغییر عملگر انتقال در ولگشت های کوانتومی، نوع جدیدی از ولگشت های کوانتومی ‎2‎ بعدی را معرفی کرده ایم که با استفاده از تداخل کوانتومی جهت های حرکتی، در کنار تداخل مکانی ولگرد کوانتومی، مقدار در هم تنیدگی فضای سکه بعد از اندازه گیری مکان را بطرز چشمگیری افزایش می دهد. علاوه بر روشها و روابطی که برای بررسی در هم تنیدگی کوانتومی معرفی گردیده، روابطی تحلیلی برای به دست آوردن واریانس در ولگشتهای کوانتومی واهمدوس‎ به دست آورده ایم که برای تمام انواع نوفه های محیطی قابل کاربرد است. با استفاده از این روابط ثابت کرده ایم که نوفه مکانی در ولگشت های کوانتومی به صورت پدیده تونل زنی غیر همدوس،‎ بر خلاف نوفه های اعمال شده بر فضای سکه، حداقل ‎2‎ خاصیت مهم در ولگشتهای کوانتومی، یعنی واریانس و در هم تنیدگی بین سکه و مکان ولگرد، را به صورت کوانتومی حفظ می کند. بویژه نشان داده ایم که نوفه ای که روی فضای سکه اعمال می شود به سرعت در هم تنیدگی بین سکه و مکان ولگرد را از بین می برد در حالیکه این در هم تنیدگی در حضور نوفه مکانی هیچگاه کمتر از ‎0.7‎ نخواهد شد. همچنین رابطه بسته ای برای تابع توزیع احتمال ولگشت های کوانتومی واهمدوس بر حسب ولگشت کوانتومی همدوس‎ به دست آورده ایم که نشان می دهد چگونه نوفه مکانی می تواند تابع توزیع احتمال را هموار کرده و در سایر فرایندهای رایانش و اطلاعات کوانتومی مفید واقع شود.

در این نوشتار، ابتدا به معرفی و بررسی اجمالی ولگشت کلاسیکی روی خط می پردازیم. توزیع احتمال، انحراف معیار و ضریب پخش را برای آن محاسبه می کنیم و با ‏کمک شبیه سازی بعضی از این خواص را بررسی می کنیم. سپس به ولگشت کوانتومی روی خط می پردازیم. عملگر تحول را معرفی می کنیم و اثر آن را بر حالت ولگشت بررسی می کنیم. نمودار توزیع احتمال را برای این ولگشت محاسبه کرده و تفاوت آن را با ولگشت کلاسیکی نشان خواهیم داد. همین طور، برای مقایسه با ولگشت کلاسیکی نمودار واریانس را برای ولگشت کوانتومی رسم می کنیم. نشان خواهیم داد که چگونه با داشتن هر حالت و استفاده از عملگر تحول می توانیم حالت بعد را بسازیم. با استفاده از تبدیل فوریه، عملگر تحول را به فضای ‎k برده و در آن جا ویژه مقادیر و ویژه بردارهای ولگشت کوانتومی روی خط را تعیین می کنیم. در فصل ‎2‎ مدلی دیگر از ولگشت کوانتومی به نام ولگشت کوانتومی روی دایره ‎(چرخه)‎ را معرفی می کنیم. روابط تحول را برای این ولگشت نیز تعیین کرده و عملگر تحول ولگشت کوانتومی رو خط را به گونه ای تغییر می دهیم که روی ولگشتی با تعداد متناهی جایگاه همچون ولگشت روی دایره، قابل استفاده باشد. برای عملگری که به این شکل تعریف کرده ایم، ویژه مقادیر و ویژه بردارها را به دست می آوریم. سپس مفهوم توزیع حدی را معرفی می کنیم و تلاش می کنیم تا با استفاده از ویژه مقادیر و ویژه بردارهایی که پیش تر به دست آوردیم، یک توزیع حدی را برای ولگشت کوانتومی روی دایره به دست آورده و تحت شرایط مختلف آن را بررسی کنیم. زمان آمیختگی مفهوم دیگری است که در این فصل تعریف کرده و در ولگشت کوانتومی روی دایره برای آن حد بالایی را به دست می آوریم. در فصل آخر، مدل خود را از ولگشت کوانتومی با نام ولگشت کوانتومی موبیوسی ارائه می دهیم. این مدل در واقع نوع بهبود یافته ولگشت کوانتومی روی دایره است. در این مدل از طریق وارد کردن پارامتری به نام ‎?‎ و معرفی فضای هیلبرت جدیدی به مدل، تغییراتی در مدل ولگشت کوانتومی روی دایره ایجاد می کنیم که منجر به بهبود بعضی از پارامترهای مد نظر، از جمله توزیع حدی و زمان آمیختگی می شود. نشان می دهیم که چگونه ‎ ? ‎ باعث بهبود این پارامترها می شود. تغییرات ایجاد شده توسط ? را در ویژه مقادیر و ویژه بردارها بررسی می کنیم. شکل ورود و نحوه تاثیر آن را بر تبهگنی های ایجاد شده برای ویژه مقادیر بررسی می کنیم و به این ترتیب می توانیم ببینیم که چگونه بر پارامتری چون توزیع حدی تاثیر می گذارد. همین روال را در مورد زمان آمیختگی نیز تکرار می کنیم. در پایان فضای افزوده شده به مدل و قسمت اسپینی را به صورت درهم تنیده در نظر می گیریم و تاثیر درهم تنیدگی بر پارامترهای مهم را در ولگشت کوانتومی موبیوسی بررسی می کنیم.

مسئله ی جستجو همواره یکی از مهمترین مسائل در حوزه های مختلف علوم بوده است. در حالت کلاسیکی برای یافتن داده ای مشخص در پایگاه داده نامرتب، جستاری از مرتبه ی o(n) نیاز است، گراور با ارائه ی الگوریتم جستجوی کوانتومی خود نشان داد برای انجام این جستجو جستاری از مرتبه ی رادیکالی نیاز است . یعنی الگوریتم گراور افزایش سرعت توانی را در پی دارد. ولگشت کوانتومی که همتای کوانتومی ولگشت کلاسیکی است، به دلیل امکان استفاده از برهم نهی حالت ها و کار با دامنه ی احتمال (به جای خود احتمال) و درنتیجه امکان تداخل های سازنده و مخرب بین دامنه های احتمال، و نیز درهم تنیدگی کوانتومی بین گشت ها و سکه ها، دارای رفتار متفاوتی نسبت به ولگشت کلاسیکی است. یکی از مهمترین کاربردهای ولگشت های کوانتومی در حوزه ی طراحی الگوریتم های کوانتومی است. در این نوشتار ابتدا مروری کوتاه بر ولگشت کلاسیکی و ولگشت کوانتومی خواهیم داشت. توزیع احتمال و انحراف معیار هر دو نوع را رسم می کنیم و نشان می دهیم سرعت انتشار ولگرد کوانتومی از مبدا در قیاس با همتای کلاسیکی اش افزایش مربعی دارد و این ویژگی در طراحی الگوریتم جستجو بسیار حائز اهمیت است. در ادامه ی فصل اول به بیان تفاوت های دیگر دو نوع ولگشت می پردازیم و یک رهیافت تحلیلی برای بدست آوردن توزیع احتمال کوانتومی معرفی می کنیم. همچنین ولگشت کوانتومی یک بعدی با سکه ی تعمیم یافته و ولگشت در ابعاد بالاتر را نیز بررسی نمودیم. در فصل دوم مرور کوتاه برچند الگوریتم کوانتومی خواهیم داشت، الگوریتم جستجوی گراور را به تفصیل شرح می دهیم و نشان می دهیم چگونه این الگوریتم افزایش سرعت مربعی را در پی دارد، الگوریتم شر نیز به عنوان یکی از مهمترین الگوریتم های کوانتومی شرح داده شده است. در بخش سوم به بررسی الگوریتم جستجو بر روی یک شبکه ی مکعبی به کمک ولگشت سکه ای خواهیم پرداخت و یک رهیافت برای بهینه سازی الگوریتم معرفی می نماییم. در ادامه به معرفی نوع دیگری از ولگشت با تحول گسسته، مرسوم به ولگشت پراکندگی خواهیم پرداخت، در این ولگشت ذره ی کوانتومی (ولگرد) روی یال های گراف قرار می گیرد و رئوس گراف همانند مراکز پراکندگی رفتار می کنند. عملگر تحول و حالت سیستم بعد از گام های مشخص برای این نوع ولگشت و ارتباط یکانی آن با ولگشت سکه ای نیز بررسی شده است. نشان می دهیم با انتخاب حالت اولیه ی مناسب و تعداد گام مشخص، این نوع ولگشت ابزار مناسبی در تشخیص ناهنجاری های گراف می یاشد. سپس یک رهیافت کلی در گراف های ستاره ای که دارای تقارن زیادی هستند ارائه می دهیم و نشان می دهیم با تقلیل فضای هیلبرت مسئله می توان هدف مورد جستجو را در زمانی بهتر از حالت کلاسیکی یافت.

واهمدوسی یک پدیده فیزیکی است که از برهم کنش سیستم های کوانتومی و محیط ناشی می شود. از آن جایی که واهمدوسی معادل از دست رفتن اطلاعات کوانتومی شناخته شده است. به عنوان عامل مزاحم درنظر گرفته می شود. اما مشخص شده است که واهمدوسی در واقع در شرایطی می تواند نقش مفیدی در فرآیندهای طبیعی بازی کند‏‎‎. ولگشت کوانتومی در حقیقت همتای کوانتومی ولگشت کلاسیکی است که از خواص کوانتومی استفاده می کند. به عنوان مثال برهم نهی کوانتومی، به سیستم این اجازه را می دهد، که ذره کوانتومی بطور همزمان در تمام مسیرهای ممکن حضور داشته باشد. از تفاوت های قابل توجه بین ولگشت های کوانتومی و ولگشت های کلاسیکی می توان به وابستگی درجه دو واریانس توزیع احتمال در ولگشت های کوانتومی در مقابل واریانس خطی ولگشت های کلاسیکی و هم چنین توزیع احتمال نوسانی ولگشت کوانتومی در مقابل تابع توزیع احتمال دو جمله ای ولگشت کلاسیکی اشاره کرد. در این پایان نامه در ابتدا‎ به معرفی و بررسی اجمالی ولگشت کلاسیکی روی خط و سپس به ‏بررسی ولگشت کوانتومی می پردازیم. با ذکر تفاوت های این دو نوع ولگشت، روش استاندار تبدیل فوریه برای حل تحلیلی ولگشت های کوانتومی را معرفی می کنیم. در فصل دو با استفاده از عملگرهای کراوس رابطه ای تحلیلی برای واریانس ولگشت های کوانتومی معرفی می کنیم. که استفاده از این روابط در قالب مثال هایی از کانال های کوانتومی متفاوت بصورت مفصل آورده شده است. در فصل سوم رابطه تحلیلی کلی برای واریانس معرفی شده است که برای هر سیستم کوانتومی دارای نوفه (چه نوفه روی مکان باشد و چه روی سکه) قابل کاربرد است. در این فصل با آوردن مثال های مشخصی از نوفه خالص روی فضای سکه و یا نوفه روی سکه و مکان و یا حتی نوفه خالص روی مکان نشان داده شده است که کوچک ترین نوفه روی فضای سکه باعث خطی شدن واریانس و حذف خصوصیات کوانتومی ولگشت می شود در حالی که نوفه خالص مکانی بصورت تونل زنی به نزدیک ترین همسایه مجاور خواص کوانتومی را حفظ می کند. این نتیجه جالب در مورد نوفه مکانی به شکل تونل زنی ما را برآن داشت که در فصل چهارم کلی ترین حالت تونل زنی به شکل تونل زنی نامحدود به تمام همسایه ها را بررسی کنیم. بررسی ما نشان داد که نه تنها تونل زنی به سایر همسایه ها خواص کوانتومی سیستم را حفظ می کند بلکه باعث افزایش اندکی در سرعت انتشار (واریانس) می شود.

در این نوشتار، ابتدا به معرفی و بررسی اجمالی ولگشت کلاسیکی روی خط می پردازیم. توزیع احتمال، انحراف معیار را برای آن محاسبه می کنیم و با کمک شبیه سازی بعضی از این خواص را بررسی می کنیم. در فصل بعد به معرفی نوع خاصی از ولگشت کوانتومی خواهیم پرداخت که به آن ولگشت کوانتومی حافظه دار می گویند.در فصل آخر نوعی از ولگشت کوانتومی یک بعدی را معرفی می کنیم که آن را ولگشت کوانتومی شتاب دار می نامیم.