در این رساله در ابتدا دستگاه های فرا معین و خواص تحلیلی جواب های معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مختلط تعمیم داده شده است و در قسمت های دوم, و سوم کاربرد های جدید از روش جبری مستقیم برای یافتن جواب های مختلط از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی ومعادلات با مشتقات جزئی کسری مطرح شده است. با توجه به اینکه دستگاه های فرا معین از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مختلط مورد بحث بوده و در این بین یکی از روش هایی که جواب های مختلط از معادلات دیفرانسیل را به نحو مطلوب به ما می دهد که قابلیت کاربرد در این موضوع را دارد روش جبری مستقیم می باشد که برای یافتن جواب های مختلط معادلات دیفرانسیل جزئی خاص گسترش داده شده است تا علاوه بر تعمیم جواب های تحلیلی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مختلط، جواب های مختلط این دسته از معادلات را نیز داشته باشیم. کارایی این ایده ها با بررسی معادلات مختلف در این پایان نامه به اثبات رسیده است.

فرض کنید $ r $ و $ s $ دو حلقه و $ {}_sc_r $ یک دو مدول شبه دوگان باشد. در این پایان نامه ما رابطه ی بین $ g_{c} $-مرابطه با $ c $-مرابطه و هم چنین رابطه ی بین تحلیل $ g_{c} $-تصویری و تحلیل تصویری از یک مدول را بررسی می کنیم. به علاوه نشان می دهیم که اگر egin{center} $ mathbf{g}^{ullet} : cdots ightarrow g_{1} ightarrow g_{0} ightarrow g^{0} ightarrow g^{1} ightarrow cdots$ end{center} یک دنباله ی دقیق از $ s $-مدول ها باشد به طوری که $ g_{i} $ و $ g^{i} $ها $ g_{c} $-تصویری باشند و برای هر مدول $ t $ که با جمعوند مستقیم از نسخه های $ c $ یکریخت است، $ hom_{s} (mathbf{g}^{ullet} , t) $ دقیق باشد، آن گاه $ mathrm{im}(g_{0} ightarrow g^{0}) $ نیز $ g_{c} $-تصویری است. هم چنین معیاری برای محاسبه بعد $ g_c $-تصویری مدول ها به دست می آوریم.