-اسپلاین درجه چهارم را برای حل مساله های مقدار مرزی منفرد b در این پایان نامه، مورد مطالعه قرار می دهیم. فصل اول به مفاهیم اولیه و مقدماتی اختصاص دارد. درفصل -اسپلاین ها می پردازیم. در فصل سوم،اسپلاین b دوم، به تعاریف و ویژگیهای اسپلاین و مکعبی رابرای حل مساله های مقدار مرزی منفرد بکار می گیریم که بعد از اصلاح مساله مقدار مرزی منفرد از اسپلاین مکعبی برای بدست آوردن جواب تقریبی استفاده می کنیم. در این حالت، ماتریس ضرایب دستگاه به شکل سه قطری است و جوابها به آسانی با استفاده از الگوریتم توماس محاسبه می شوند. ودرفصل چهارم، جواب مساله های مقدار مرزی منفرد -اسپلاین درجه چهارم تقریب می زنیم که ضرایب مقدار bمرتبه دوم را با استفاده از روش از طریق بهینه سازی محاسبه می شوند وسپس آنالیزi=-2,-1,…,n+1 ها برای c_iآن یعنی خطا را مورد بررسی قرار می دهیم. مثال های عددی نشان می دهند که روش ارایه شده کارایی لازم را دارد.

در این پایان نامه، معادلات انتگرال خطی و غیرخطی را با استفاده از چندجمله ایهای برنشتاین حل کرده ایم. بدین منظور، ابتدا در فصل 1، مرور مختصری بر فضای l_2 و ویژگیهای آن، معادلات انتگرال و انواع آن و تعاریف و قضیه هایی در ارتباط با آنها خواهیم داشت. در فصل 2، به معرفی چندجمله ایهای برنشتاین، خواصو ویژگیهای آنها و چند قضیه در ارتباط با آنها پرداخته شده است. در فصل 3، نشان می دهیم که چندجمله ایهای پایه ای برنشتاین بر یک بازه داده شده به صورت بهینه پایدار می باشند، بدین معنی که هیچ پایه نامنفی دیگری قاعدتاً عدد وضعیت کوچکتری برای مقادیر یا ریشه هایی از یک چند جمله ای دلخواه بر آن بازه نتیجه نمی دهد. در فصل های ? و ?، هم به ترتیب به جزئیات روش حل عددی معادلات انتگرال خطی و غیرخطی با حل عددی چند مثال پرداخته شده است.

در این پایان نامه ابتدا تاریخچه ای از حسابان کسری ارائه شده و سپس به بیان قضایا و تعاریف مرتبط با محتوی پرداخته شده است. همچنین در یک فصل به بیان تعبیر هندسی و فیزیکی حسابان کسری پرداخته شده است. و نیز در فصل سوم وجود و یکتایی جواب یک معادله دیفرانسیل مطرح شده است و در فصل چهارم به معرفی معادله چند مرتبه ای و نحوه تبدیل آن به یک دستگاه معادلات پرداخته ایم. پایداری جواب و حل جواب با استفاده از روش آشفتگی هوموتوپی در ادامه مبحث بیان شده. در پایان نتیجه گیری و پیشنهاداتی ارائه شده است.

در این پایان نامه به ارایه تاریخچه ای از حسابان کسری می پردازیم،سپس روابط موثر در حسابان کسری را مورد بررسی قرار می دهیم.وبا بکارگیری روش های تحلیلی مانند روش آشفتگی همپوتوپی به بحث پیرامون وجود، یکتایی و پایداری این معادلات می پردازیم.در ادامه روش آشفتگی هموتوپی را بر روی رده ای از معادلات دیفرانسیل که اهمیت بالای در صنعت،مهندسی و فیزیک بر خوردارند مانند معادلات زاخاروف-کزنتسوف و معادلات مرتبه چهارم انتشار به کار می بریم و جواب های دقیق و عددی را مورد بحث وبررسی قرار می دهیم

اساس روش بر روی اصلاحاتی بر روی روش نیوتن می باشد که با حذف مشتق تابع در روش های تکراری به روش های با مراتب همگرایی بالاتر می رسیم.

در این پایان نامه معادله غیر خطی f(x)=0 که دارای تعدادی محدود ریشه در یک فاصله کراندار می باشد، در نظر گرفته شده است. بر اساس روش انتگرال گیری عددی و بدون هیچ حدس اولیه ای، روش تکراری برای به دست آوردن تمام ریشه های معادله غیر خطی پیشنهاد می شود. همچنین یک الگوریتم برای یافتن همه ریشه های ساده و چندگانه و نیز اکسترمم های تابع f(x) معرفی می شود. علاوه براین معیارهایی برای صفرها و اکسترمم های متمایز در الگوریتم گنجانده شده است.در نهایت مفید بودن روش پیشنهادی با چند مثال عددی نشان داده می شود.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی توابع پایه شعاعی پرداخته و سپس با استفاده از روش تفاضلات متناهی و روش هم محلی مبتنی بر توابع پایه شعاعی به حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی پرداخته می شود. در حل این معادلات بر روی دامنه های بزرگ با استفاده از روش هم محلی مبتنی بر توابع پایه شعاعی، احتمال بدوضعی ماتریس ضرائب دستگاه معادلات خطی حاصل بالا می رود. برای غلبه بر این مشکل، روشی تحت عنوان روش تجزیه دامنه ارائه می شود که در این روش دامنه مسئله به چندین زیر دامنه تقسیم می شود و سپس جواب مسئله بر روی هریک از این زیر دامنه ها بدست می آید. این کار باعث تنک تر شدن ماتریس ضرائب و به دنبال آن کاهش بد وضعی ماتریس ضرائب می شود.

در این پایان نامه یکی از روش های تکراری به نام روش تکرار تغییرات ارائه شده است که جواب های تقریبی از حل معادلات دیفرانسیل را نتیجه می دهد. در ادامه این روش بر روی تعدادی از معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی و همچنین بر روی رده ای از معادلات دیفرانسیل به نام معادلات دیفرانسیل کسری به کار برده می شود و همچنین بهبودی از این روش به نام روش تکرار تغییرات چند مرحله ای معرفی و سپس با ارائه ی مثال هایی متنوع این دو روش مورد مقایسه قرار می گیرند.

روش تکرار تغییرات که به وسیله پرفسور جی هوان هی بیان شده،یک روش تحلیلی جدید برای حل معادلات خطی و غیر خطی می باشد.در این پایان نامه،روش تکرار تغییرات در حل معادلات دیفرانسیل فازی خطی مرتبه n با شرایط اولیه فازی به کار گرفته شده است.این روش با حل چندین مثال شرح داده شده است.

در این رساله ‎‎ابتدا مشتق و انتگرال مرتبه کسری معرفی می شود. ‎‎‎‎سپس جواب های دقیق معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی غیر خطی از مرتبه کسری با استفاده از روش زیر معادله کسری مورد بررسی قرار می گیرد. در‎‎ ادامه ماتریس های عملیاتی بر اساس پایه های برنشتاین و بی-اسپلاین را مطرح می نماییم و این ماتریس ها را برای حل مسائلی مانند معادلات دیفرانسیل کسری خطی و غیر خطی، دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری غیر خطی‏، معادلات دیفرانسیل کسری چند مرتبه ای خطی‏، معادلات دیفرانسیل جزیی‎ کسری‎ خطی و مسائل کنترل بهینه کسری‎ به‎‎‎‎ کار می بریم. همچنین ‎با‎ به کار گیری برخی روش های تحلیلی از جمله تکرار تغییرات هی و آنالیز هموتوپی و بهبود آن ها به حل این نوع معادلات کسری می پردازیم.

در این رساله یک روش عددی برای حل مسائل کنترل بهینه کسری وحساب تغییرات بیات شده است.برای حل مسئله ابتدا مسئله کنترل بهینه کسری به یک مسئله تغییراتی معادل تبدیل میشودوبا استفاده از پایه یکا متعامد به مسئله دستگاه معادلات جبری تبدیل میشود . سپس با استفاده از ماتریس عملگر انتگرال کسری ریمان لیوویل و فرمول انتگرال گاوس و روش تکراری نیوتن دستگاه معادله جبری به طور تقریبی حل شده است.

در این پایان نامه، مطالعه ای بر روش های حل عددی معادلات دیفرانسیل کسری مبتنی بر الگوریتم های چندگامی، برونیابی و پیشگو- اصلاحگر بررسی می شود. بدین منظور ابتدا، مرور مختصری بر معادلات کسری و قضایای مورد نیاز خواهیم داشت سپس روش چندگامی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی و کسری ارائه خواهد شد که هدف بررسی روش های عددی برای بهبود معادلات دیفرانسیل کسری است. همچنین در مورد ویژگی های پایداری و مرتبه دقت بحث شده است. در ادامه یک نوع الگوریتم برونیابی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل کسری معرفی نموده که یک نتیجه جدید براساس دنباله ای از راه حل های تقریبی از این معادلات است، که دارای بسط مجانبی با توجه به اندازه گام است.روش های پیشگو- اصلاحگر براساس کاربرد تکنیک های انتگرال گیری عددی معادل یک انتگرال ولترا غیر خطی و به طور ضعیف هستند.روش کلاسیک منجر به الگوریتم با پیچیدگی محاسباتی بسیار بالا می شود بنابراین به دنبال استخراج روشی خواهیم بود که منجر به پیچیدگی کمتر بودن از دست دادن دقت بیش از حد شود.

در این پایان نامه وجود و یکتایی جواب و سازگاری روش تفاضل متناهی برای معادلات دیفرانسیل کسری اثبات شده است و جواب مسئله کوشی برای معادلات دیفرانسیل کسری تقریب زده شده است. همچنین مسئله مقدار مرزی-اولیه دیریکله برای معادله انتشار کسری در دامنه های یک بعدی و چند بعدی به صورت مجزا بررسی و طرح های تفاضلی یک بعدی موضعی برای معادله انتشار کسری در دامنه های چند بعدی شرح داده شده و در ادامه پایداری و همگرایی این طرح ها اثبات شده است. در نتیجه با استفاده از قضیه هم ارزی لکس اثبات می شود که در مسائل مقدار اولیه خطی خوش وضع، وقتی روش تفاضل متناهی سازگار باشد، همگرا است اگر و تنها اگر پایدار باشد.

در حال حاضر محاسبات کسری مورد توجه بسیاری از پژوهشگران قرار گرفته است ، همچنین معادلات دیفرانسیل کسری در رشته های مختلف علوم مانند مکانیک ، فیزیک ، زیست شناسی و مهندسی به کار برده می شود . به علت افزایش کاربرد این دسته از معادلات توجه ویژه ای به روش های عددی و دقیق معادلات دیفرانسیل کسری شده است . اخیراً استفاده از ماتریس های عملیاتی از مرتبه کسری برای حل معا‏دلات دیفرانسیل کسری توسعه پیدا کرده است . در این تحقیق با مبحث حساب کسری و روش های طیفی از جمله روش تاو آشنا می شویم . سپس به معرفی ماتریس های عملیاتی کسری انتگرال و مشتق با پایه های متعامد شیفت لژاندر و شیفت چبیشف می پردازیم ، و از آن برای حل معادلات دیفرانسیل کسری استفاده می کنیم . و در نهایت در فصل پنجم به یک سری از مسایل باز اشاره می کنیم.