در این پایان نامه به مطالعه انشعابات موج سیار برای چهار دسته از معادلات موج غیر خطی می پردازیم.با پیاده سازی جواب های موج سیارروی این معادلات آنها را به یک دستگاه دینامیکی تبدیل می کنیم و سپس انشعابات آن را تحلیل می کنیم. در ادامه با استفاده از دستگاه حاصله جوابهای صریح برای این معادلات بدست می آوریم. یکی از این معادلات را به صورت عددی شبیه سازی میکنیم. یکی دیگر از این معادلات معادله کوراموتو- سیواشینسکی است که دارای دینامیک پیچیده ای بوده و یک انشعاب جدید به نام انشعاب دام در آن اتفاق می افتد. تحلیل این انشعاب با استفاده از نظریه گره انجام می گیرد.

موضوع این رساله مطالعه ی ویژگی تحلیلی توابع ملنیکف مرتبه ی اول برای دستگاه های همیلتونی است که شامل یک حلقه ی گوشه دار هستند. بسط تابع ملنیکف در مقدار همیلتونی نظیر به حلقه در کاربردها اهمیت فراوانی دارد، زیرا با استفاده از ضرایب اولیه در بسط می توان شرایطی را به دست آورد که تحت آن شرایط دستگاه مختل شده در یک همسایگی از حلقه دارای 4، 5 و 6 سیکل حدی است. موضوع بعدی بیان یک کاربرد از نتایج اصلی و به کارگیری آن ها به ویژه بسط مجانبی تابع ملنیکف در نزدیکی حلقه بر دستگاه های چندجمله ای لینیارد و یافتن حداکثر 4، 5 یا 6 سیکل حدی در آنها است. سرانجام هم به عنوان کاربردی از نتایج اصلی به بررسی و مطالعه ی تعداد سیکل های حدی در دستگاه های همیلتونی چندجمله ای هم پایا از درجه ی 3 و 4 می پردازیم و نشان می دهیم که این دستگاه ها به ترتیب دارای 4 و 10 سیکل حدی هستند.

چکیده: در این رساله دستگاه های مختل شده تکین یا دستگاه های کند-تند را بررسی می کنیم. یک سیستم کند-تند شامل شامل دو نوع متغیر دینامیکی است که دارای مقیاس زمانی متفاوت می باشند. در فصل سه این رساله مفاهیمی مانند زیردستگاه های کند و تند و منیفلد کند و منیفلد آدیاباتیک را معرفی کرده و قضایای مربوط به آن ها را بیان می کنیم. قضایای اول و دوم فنیشل را به عنوان قضایای اساسی درنظریه کند تندبیان کرده و به مفاهیم جدید هندسی، مانند مدارهای کانارد ، نوسان های آرام ساز و انفجار کانارد در چنین دستگاه هایی می پردازیم و قضایای مربوط به آن ها را بیان می کنیم. در ادامه معادله فیتزهاگ -ناگومو که ساده شده معادله هادگ کین –هاکسلی برای پتانسیل غشاء یک تار عصبی است معرفی می کنیم و با استفاده از تکنیک های نظریهمعادله دیفرانسیل و نظریه دستگاه های مختل شده تکین این معادله را بررسی می کنیم. در فصل سوم این پایان نامه معادله فیتزهاگ-ناگومو را در یک حالت خاص دوبعدی بررسی می کنیم. مولفه اصلی تحلیل کند-تند برای زیردستگاه تند آن است. در این پایان نامه ما نشان می دهیم که زیردستگاه تند معادله فیتزهاگ-ناگومو یک جفت مدار هتروکلینیک دارد.همچنبین وجود انشعاب هاپف را در این دستگاه بررسی می کنیم. در نهایت ما نشان می دهیم این معادله یک جفت مدار هتروکلینیک دارد.همچنین ما در این رساله وجود مدار هموکلینیک را در این معادله بررسی می کنیم.

یکی از مسائلی که در رفتار مجانبی جواب دستگاه های گ.ناگ.ن مورد سوال است، ایجاد دورهای تناوبی است که قسمت دوم مسأله شانزذهم هیلبرت نیز به همین موضوع اختصاص دارد. هیلبرت در این مسأله خواستار یافتن یک کران بالا برای تعداد سیکل های حدی برای دستگاه های چند جمله ای مسطح، شده است. حل این مسأله بسیار مشکل است، لذا آرنولد شکل ضعیف شده ای از آن ارائه کرد که بر مبنای یافتن تعداد ریشه های انتگرال آبلی نظیر با دستگاه مورد مطالعه استوار است. در مطالعه ی بسیاری از پدیده های به دستگاه های نزدیک به همیلتونی برمی خوریم. لذا مطالعه ی این دستگاه ها از اهمیت فوق العاده ای برخوردار است. انتگرال آبلی ظاهر شده در مطالعه ی این دستگاه ها را با نام تابع ملنیکف می شناسند. در این پایان نامه با در نظر گرفتن یک دستگاه نزدیک به همیلتونی که شامل یک حلقه ی زینی پوچ توان گذرا از مبدأ است، پس از یافتن بسط مجانبی تابع ملنیکف مرتبه اول آن، فرمول هایی را برای محاسبه ی ضرائب اولیه ی آن ارائه می کنیم و به یافتن تعداد صفرهای این تابع و در نتیجه یافتن تعداد سیکل های حدی برای دستگاه نزدیک به همیلتونی مورد مطالعه می پردازیم.

در بسیاری از مدل های دینامیکی متغیرهای مختلف، مقیاس های متفاوتی دارند. از این رو مطالعه ی دستگاه های دینامیکی با مقیاس زمانی متفاوت یا دستگاه کند-تند مورد توجه قرار گرفته است. ویژگی جواب های چنین دستگاه هایی معمولاً به کمک نظریه اختلال تکین یا نظریه تیخونف بررسی می شود. این پایان نامه به سه بخش اصلی تقسیم می شود. در بخش اول به معرفی دستگاه های کند-تند یا مختل شده تکین پرداخته و مفاهیمی مانند منیفلد کند، زیر سیستم های کند و تند را معرفی کرده، ابتدا نشان می دهیم در این دستگاه انشعاب تبادل پایداری اتفاق می افتد. با استفاده از نظریه اختلال تکین هندسی و نظریه تیخونف مفاهیم کانارد، ناپایداری تاخیری و رفتار مجانبی منحنی های جواب را بررسی می کنیم. در بخش پایانی مدل شکار-شکارچی کلارک را به عنوان کاربردی از دستگاه ارائه شده در بخش دوم معرفی کرده و دینامیک آن را بررسی می کنیم.

یکی از مهم ترین مسائل باز در نظریه معادلات دیفرانسیل در صفحه‏، تعیین تعداد ماکزیمم سیکل های حدی برای یک سیستم چندجمله ای مرتبه ‎ nدر صفحه است که اولین بار توسط هیلبرت در ابتدای قرن گذشته در دومین کنگره بین المللی ریاضی دانان در پاریس مطرح شد. این مسئله با گذشت بیش از یک سده‏، هنوز برای ‎‎‎‎n=2‎‎‏ باز است. معمولاً ماکسیمم تعداد سیکل های حدی با ‎‎‎‎h(n) ‎‏ نمایش داده می شود و عدد هیلبرت نامیده می شود. در بسیاری از مسائل کاربردی‏، تعداد و موقعیت مکانی سیکل های حدی برای درک رفتار دینامیکی یک سیستم حائز اهمیت است. وجود سیکل حدی در بسیاری از ‎‏مدل های‎ زیستی‏، اکولوژی و فیزیکی قابل اهمیت است. سیکل های حدی در سیستم های خطی‏، سیستم های پایستار و سیستم های گرادیانی نمی توانند ظاهر شوند بلکه در سیستم های غیر خطی ظاهر می شوند.‎‏‎ ‎‎‏در ریاضیات‏، به خصوص در مطالعه ی سیستم های دینامیکی و معادلات دیفرانسیل‏، یک معادله ی لیینارد یک معادله ی دیفرانسیل مرتبه دوم است که بسیاری از مدارهای نوسانی توسط آن مدل می شوند. کاربردهای معادله لیینارد را می توان در بسیاری از مثال های مهم از جمله سیستم های شکار-شکارچی و واکنش های شیمیایی یافت. ‎‎‏در این پایان نامه به مطالعه ی سیکل های حدی و انشعاب هاپف در سیستم های لیینارد هموار و غیرهموار می پردازیم. با استفاده از یک روش جبری، ثابت های لیاپانف را برای سیستم های لیینارد هموار تعمیم یافته در صفحه می یابیم. به کمک ثابت های لیاپانف، سیکل پذیری هاپف در سیستم های لیینارد غیرهموار در صفحه را مطالعه می کنیم. همچنین شرایط لازم و کافی برای این که مبدأ یک مرکز باشد را به دست می آوریم. در پایان، کاربردهایی از نتایج به دست آمده را در قالب چند مثال خاص ارائه می دهیم.

در این ‏پایان نامه به مطالعه ی کامل انشعابات سیکل های حدی در اختلالات کوچک میدان های برداری همیلتونی با یک همیلتونی فوق بیضوی از درجه پنج می پردازیم. در واقع‏، سیستم لینارد به شکل x ?=y و y ?=q_1 (x)+? y q_2 (x) را مطالعه می کنیم که در آن q_1 (x) و q_2 (x) به ترتیب چندجمله ای از درجه چهار و سه هستند. نشان داده می شود که برای 0<??1 و به اندازه کافی کوچک‏، این سیستم می تواند تحت انشعابهای هاپف تباهیده قرار گیرد و حداکثر سه سیکل حدی پدید آورد. همچنین‏، این سیستم تحت انشعاب پوانکاره قرار می گیرد و حداکثر ‏چهار سیکل حدی در صفحه پدید می آورد

در این پایان نامه به مطالعه ویژگی تابع ملنیکف مرتبه اول در دستگاه های نزدیک به همیلتونی می پردازیم که دستگاه همیلتونی مربوطه دارای یک حلقه هتروکلینیک گوشه دار شامل دو مدار هتروکلینیک متصل به دو گوشه و یک زین هذلولوی است. برای این منظور بسط مجانبی تابع ملنیکف را در نزدیکی این نوع حلقه های هتروکلینیک به دست می آوریم و فرمول هایی برای چند ضریب اول این بسط ارائه می دهیم. سپس با استفاده از نتایج به دست آمده، به مطالعه ی انشعابات سیکل های حدی در نزدیکی این حلقه ها در دستگاه های چندجمله ای ?-z?_qهم پایا از درجه ی 5 به ازای q=2,3 می پردازیم.

در این پایان نامه به بررسی تعداد سیکل های حدی در اختلالات عام مرتبه ی دوم از مراکز مرتبه ی دو در حالت همبعد چهار (q_4) می پردازیم که دستگاه دیفرانسیل مربوطه دارای یک مرکز، یک گره و یک انتگرال اول گویا است. برای این منظور ابتدا تابع ملنیکف مرتبه ی اول iو معادلات پیکارد فوکسی که i در آن صدق می کند را به دست می آوریم. علاوه بر این نشان می دهیم فضای جواب یکی از عملگرهای دیفرانسیل مرتبه دو در این معادلات، فضای چبیشف است و بااستفاده از این ویژگی و محاسبه ی مستقیم، سیکل پذیری طوق تناوبی q_4 را به دست می آوریم. نشان می دهیم این سیستم دارای حداقل 3 و حداکثر 5 سیکل حدی است که از طوق تناوبی آن منشعب می شوند علاوه بر این به بررسی صحت حدس زلادک در چند حالت خاص می پردازیم.

هدف اصلی در این پایان نامه، بررسی رفتار مدل های زمان-گسسته انگل-میزبان و هم چنین گروه خاصی از آن ها به نام سیستم های گیاه-گیاه خوار است. سه نظریه مهم و پرکاربرد، یعنی نظریه پایداری، نظریه انشعاب، نظریه آشوب و قضایای مرتبط با آن ها، اساس کار ما در این پایان نامه هستند. یکی از مباحث مهم این پایان نامه راجع به بررسی دینامیک های یک مدل گیاه-گیاه خوار است. وجود رفتار پیچیده مانند انشعابات گره-زینی، تبادل پایداری، چنگال، دوره-مضاعف، نیمارک-ساکر و هم چنین رفتار آشوبی و نیز پایداری دوگانه از ویژگی های جالب و مورد بحث این مدل می باشند. نمایش نمودارهای انشعاب و مدارهای این مدل به ازای بعضی مقادیر پارامترها، در نشان دادن این ویژگی ها به ما کمک می کنند. هم چنین به بررسی این مدل با یک اختلال کوچک در دینامیک گیاه می پردازیم. در ادامه به دو مفهوم مهم زیستی یعنی انگلی شدن و وابستگی به چگالی، اشاره می کنیم که تاثیر مهمی در دوران زندگی جانوران دارند و هم چنین جابه جایی این دوعامل مهم و تاثیرات آن ها را بررسی می کنیم و نتایج را در قالب چند قضیه بیان می کنیم. در آخر، به بررسی پایداری وانشعابات عام چند مدل زیستی می پردازیم.

در این پایان نامه انشعابات سیکل های حدی برای یک نوع از سیستم های چند جمله ای ناهموار را با مختل کردن یک سیستم همیلتونی قطعه ای خطی دارنده یک مرکز در مبدأ و یک حلقه هموکلینیک حول مبدا مطالعه می کنیم. با استفاده از تابع ملنیکوف مربوط به سیستم های تکه ای هموار نزدیک به همیلتونی، کران های پایینی برای ماکزیمم تعداد سیکل های حدی در انشعابات هاپف و هموکلینیک بیان می کنیم. هم چنین تخمینی برای تعداد سیکل های حدی که از طوق تناوبی بین مرکز و مدار هموکلینیک منشعب می شوند را به دست می آوریم. وقتی درجه جملات اختلال کم است، نتیجه دقیقی روی تعداد صفرهای تابع ملنیکوف مرتبه اول به دست می آوریم.

در این پایان نامه معیاری ارائه خواهد شد که یافتن تعداد صفرهای انتگرال آبلی را ساده می کند. این مسأله ناشی از این حقیقت است که اثبات چبیشف کامل بودن یک سیستم می تواند با محاسبه رونسکین مشخص شود. نشان دادن اینکه مجموعه ای انتگرال آبلی دارای خاصیت چبیشف است تا حد زیادی ساده است و در بعضی موارد ما را قادر می سازد که مسأله را از یک راه به طور کامل جبری دوباره فرمول بندی کنیم. البته معیاری که در اینجا ارائه خواهد شد برای همه موارد نمی تواند به کار برده شود، چون انتگرال های آبلی باید دارای ساختار خاصی باشند. و حتی در مواردی که امکان به کارگیری آن وجود دارد، ممکن است شرایط مسأله با شرایط کافی که ارائه می دهیم سازگار نباشد. با این حال تأکید می کنیم که در صورت به کارگیری این روش، راه حل مسأله بسیار ساده تر می شود

معادلات کلاسیک لیینارد معادلاتی به شکل زیر هستند x ?=y-f(x) y ?=-x, که در آن f(x) یک چندجمله ای است. درجه معادلات کلاسیک لیینارد، درجه چندجمله ای f(x) است. در سال 1976 میلادی لینزف دملو و پو حدس زدند که تعداد سیکل های حدی معادلات کلاسیک لیینارد از درجه n برابر [(n-1)/2] (بزرگ ترین عدد صحیح کوچک تر یا مساوی (n-1)/2 ) است و حدس خود برای n=3 را ثابت کردند. در این پایان نامه ابتدا وجود ‎4‎ سیکل حدی هذلولوی در معادلات لیینارد از مرتبه 6‎ را اثبات می کنیم. روش اثبات مبتنی بر نظریه اختلال تکین هندسی یا همان معادلات کند تند است. در ادامه این اثبات را توسیع داده و نشان می دهیم که معادلات کلاسیک لیینارد از درجه n?6‎ می توانند ‎[(n-1)/2]+2 ‎ سیکل حدی داشته باشند، که این اثبات نشان می دهد حدس ارائه شده توسط لینز و همکارانش درمورد ‎ n?6‎ نادرست است. در فصل پایانی این پایان نامه نشان می دهیم که معادلات کلاسیک لیینارد از درجه 4‎ حداکثر یک سیکل حدی دارد که این سیکل حدی در صورت وجود یکتاست. با این اثبات حدس لینز و همکارانش درمورد تعداد سیکل های حدی برای ‎ n = 4 ‎ اثبات می شود.

در این پایان نامه مفهوم انشعاب تاکنز ــ بوگدانف کند ــ تند معرفی و مطالعه کاملی از نمودار انشعاب و تصاویر فاز مربوطه انجام می شود. براساس نظریه هندسی اختلال تکین (نظریه هندسی سیستم های کند-تند) از جمله بزرگ نمایی، نتایج معتبری در یک همسایگی یکنواخت هم در فضای پارامتر و هم در صفحه ی فاز ارائه می شود.

کاناردها اولین بار توسط ریاضیدانان فرانسوی در مطالعه نوسان_های آرام دو بعدی، خصوصاً نوسان های وندرپل کشف شدند. پدیده کانارد، توصیف کننده یک انتقال بسیار تند، تحت تغییرات یک پارامتر است که این انتقال، از یک سیکل حدی کوچک - دامنه به یک سیکل آرام بزرگ - دامنه توسط سیکل های کانارد انجام می شود. این انتقال بسیار تند که انفجار کانارد نامیده می شود، در یک بازه پارامتری کوچک رخ می دهد، در نتیجه آشکار سازی آن بسیار سخت است. به علاوه شکل یک سیکل کانارد در فضای فاز، شبیه به یک اردک است. روش های تحلیل پدیده کانارد، بر اساس آنالیز غیراستاندارد، بسط های مجانبی تطبیق یافته و روش بزرگ نمایی هستند. این روش ها باعث بسط یافتن نظریه اختلال تکین (قضیه فنیشل) در نقاط غیر هذلولوی شد. در میدان های برداری مختل شده تکین، که در آن ها میدان برداری مختل نشده، دارای یک منحنی بحرانی است، بسته به علامت دیورژانس میدان برداری در منحنی بحرانی، مدارها به سمت آن جذب یا دفع می شوند. هنگامی که به ازای برخی نقاط انشعاب، این علامت از منفی به مثبت تغییر کند، مدارها به سرعت پس از عبور از نقطه انشعاب، از منحنی دور می شوند. رفتار غیر معمول زمانی رخ می دهد که پس از عبور از نقطه انشعاب، مدار تا مدتی منحنی بحرانی را دنبال می کند و سپس از آن دور می شود. در این حالت یک تاخیر در انشعاب رخ می دهد. برخی سیستم ها، نمایش دهنده بحران های تکرار شونده ای هستند که تکامل تناوبی اشان را مختل می کند. بطور مثال می توان به مسائلی در علوم اجتماعی، فیزیولوژی، دینامیک های جمعیتی، اقتصاد و محیط زیست اشاره کرد. بسیاری از این سیستم های پیچیده، از نظر رفتاری به یکدیگر شباهت دارند. البته چنین سیستمی متشکل از دو نوع مقیاس زمانی مختلف است: یکی برای حالت تناوبی عادی و دیگری برای بحران های دوره ای. نکته بسیار مهم در این سیستم زنجیره غذایی، درک تطبیق بین دینامیک های کند و تند است که توسط تحلیل انشعابات دینامیک های تند انجام می گیرد. دینامیک های جمعیتی آشوبی، اولین بار در اواسط دهه هفتاد میلادی قرن بیستم با استفاده از نگاشت لجستیک کلاسیک مورد استفاده قرار گرفت و پس از آن مفهوم آشوب در مدل های زیستی به دفعات استفاده شد. جاذب هایی که در این مدل ها رخ می دهند، اکثراً از نوع راسلر می باشند. نسل بعدی زنجیره های غذایی آشوبی، توسط هستینگز کشف شد. نوع دیگری از زنجیره غذایی که شامل مدارهای گره زینی هموکلینیک شلنیکوف هستند، توسط مک کان و یودزیس بررسی شدند. تمامی این اکتشافات، برگرفته از مدل های ریاضی هستند. جاذب هستینگز به شکل فنجان چای است که بر اساس آن، یک مدل هندسی توسط کوزنتسف و رینالدی (1996) پیشنهاد شده است. در این مدل فرض بر اینست که جمعیت ابر شکارچی بطور آهسته در حال رشد است. اگر جمعیت ابر شکارچی ثابت در نظر گرفته شود، آنگاه سیستم را می_توان به عنوان خانواده ای دو بعدی از شکار و شکارچی با پارامتر ابرشکارچی در نظر گرفت. این خانواده تک پارامتری، تحت یک انشعاب هاپف فوق بحرانی قرار می گیرد. وقوع انشعاب هاپف، منجر به تشکیل خانواده ای از سیکل های تناوبی در زیر نقطه انشعاب و خانواده ای از نقاط تعادل پایدار در بالای نقطه انشعاب می شود. سیکل های تناوبی تشکیل یک رویه سهمیگون می دهند که در راس آن نقطه انشعاب قرار دارد و نقاط تعادل پایدار تشکیل یک منحنی می دهند که از راس سهمیگون شروع شده و از طریق یک انشعاب گره زینی به محدوده تراکم ابرشکارچی می رسند. بدین ترتیب، یک جاذب فنجان چای توسط قسمت های تناوبی انشعاب هاپف و منحنی نقاط تعادل تشکیل می شود. این جاذب را می توان با دنبال کردن یک مدار نوعی سیستم شکار – شکارچی تصور کرد که در آن، تغییرات پارامتر سیستم (نرخ مرگ و میر ابر شکارچی)، کند است.

در این پایان نامه به فشرده سازی و تکین زدایی معادلات چندجمله ای لیینارد از نوع (m,n) می پردازیم. به عبارت دیگر، میدان های برداری مسطح مربوط به یک معادله دیفرانسیل اسکالر مرتبه دوم مانند x ?+f(x) x ?+g(x)=0 را در نظر می گیریم که در آن f و g به ترتیب چندجمله ای هایی از درجه ی m و n (بر حسب متغیر x) هستند. علاوه بر فشرده سازی صفحه ی فاز یا همان صفحه ی لیینارد، نشان داده می شود که فضای معادلات لیینارد از نوع (m,n) را نیز می توان به ازای هر (m,n) به طور جداگانه، فشرده ساخت و تکین زدایی نمود. این کار هم به وسیله ی افزودن مسائل اختلال تکین و هم به وسیله ی افزودن مسائل اختلال همیلتونی انجام می شود.

سیستم های کند-تند دو بعدی که با دو مکانیسم شکست مواجه می شوند را مورد مطالعه قرار می دهیم. آن ها را سیکل های کانارد دو لایه می نامیم. این سیکل های کانارد شامل یک نقطه تاشدگی و یک مدار تند متصل به دو نقطه پرش است.

در این پایان نامه به بررسی این مساله می پردازیم که چه زمانی مجموع های از انتگرالهای آبلی، یک سیستم چبیشف تعمیم یافته کامل (به اختصارetc ) را تشکیل میدهند. این مساله در چهارچوب بررسی بخش دوم مساله شانزدهم هیلبرت ظاهر میشود، که در مورد حداکثر تعداد و مکان سیکلهای حدی یک میدان برداری مسطح چندجملهایاز درجهd بحث میکند. حل کامل این مساله به نظر میرسد دور از دسترس دانش امروز باشد. به این علت آرنولد نسخه ای ضعیف تر از آن را ارائه داد که مساله بینهایت کوچک ?1 هیلبرت نامیده میشود. فرض کنید ? یک فرم دیفرانسیلی درجه ? حقیقی با ضرائب چندجملهای از درجه حداکثرd باشد. چندجمله ای حقیقیh با درجه ? +d در صفحه را در نظر بگیرید. منحنی ترازh = h یک بادامی ازh نامیده میشود و آن را با?h نشان میدهیم. این بادامی ها خانواده ی پیوسته ای از منحنی های ترازh = h را تشکیل میدهند. در مساله بینهایت کوچک هیلبرت، هدف تعیین کران بالای (v (d از تعداد صفرهای حقیقی انتگرال آبلیi است. این کران فقط به درجهd بستگی دارد، یعنی باید نسبت به انتخاب چندجملهایh ، خانواده ی بادامی های {?h}و فرم دیفرانسیلی? یکنواخت باشد. صفرهای انتگرال آبلی با سیکلهای حدی به صورت زیر در ارتباط هستند. یک تغییر کوچک از میدان برداری هامیلتونیx? = xh + ?y را در نظر بگیرید که در آن xh = ?hy?x + hx?y وy = p?x + q?y. اولین تقریب نسبت به? از تابع تغییر مکان از نگاشت پوانکارهx? توسطi(h) = ??h? با? = pdy + qdx داده میشود. بنابراین تعداد صفرهای (i(h با احتساب تکرار یک کران بالا برای تعداد بادامی هاh فراهم میکند که سیکلهای حدیx? را برای ? ?? تولید میکند. تابع (i(h میتواند به ترکیب خطی زیر تجزیه شود ??i?(h) + ??i?(h) + ••• + ?n??in??(h) که در آن هر?k به ضرایبp وq بستگی دارد که به عنوان پارامتر در نظر گرفته میشوند. هرik یک انتگرال آبلی به شکل? = xiyjdx یا? = xiyjdy است. بنابراین این مساله با پیداکردن یک کران بالا برای تعداد صفرهای ایزوله ی تابعی دلخواه در فضای خطی تولید شده از (i_0,i_1,…,i_n-1)معادل است. این دقیقا همان جایی است که مفهوم سیستمect اهمیت پیدا میکند.

تاریخ علم زمانی آغاز شد که بشر در صدد آن بود که علت پدیده های طبیعی را تشریح کند تا بتواند رخدادهای آتی جهان طبیعت را پیش بینی و به دلخواه خود در آن ها تأثیر بگذارد. بدون شک ریاضیات زبان علمی بیان و تفسیر پدیده هاست. پدیده های طبیعی و فیزیکی مانند حرکت آونگ، حرکت سیارات، جریان در مدل های الکتریکی، اتلاف حرارت در اشیاء صلب، پراکنش و ردیابی امواج زلزله ای، تغییر جمعیت موجودات زنده و هم چنین مسائل علوم مهندسی همگی به عنوان یک سیستم وابسته به زمان هستند. وابستگی این پدیده ها به زمان باعث پویایی و خاصیت دینامیکی آن ها می شود، لذا تغییرات این رخدادها به تغییرات زمان وابسته است. به زبان ریاضیات، این رخدادها معادله ها هستند و نرخ تغییرات، همان مشتقات اند. معادله های شامل توابع و مشتقات آن ها، معادلات دیفرانسیل هستند. پس برای رسیدن به تابعی که این رخدادها را تفسیر می کند، مجبور به حل معادلات دیفرانسیل هستیم. گرایش معادلات دیفرانسیل از معادلات نیوتن (1727-1642م) و لایب نیتز 1716-1646م) در زمینه ی حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن هفدهم میلادی نشأت گرفته است. اگر چه کارهای نیوتن در زمینه ی معادلات دیفرانسیل نسبتاً کم بوده است، اما با بسط حساب دیفرانسیل و انتگرال و توضیح اصول مکانیک، پایه ای برای معادلات دیفرانسیل در قرن هجدهم مخصوصاً توسط اویلر‎ { }‎فراهم کرد. لایب نیتز مستقل از نیوتن، اگر چه کمی پس از او، به نتایج بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال رسید، اما اولین کسی بود که آن ها را، در سال ‎1648‎ میلادی منتشر کرد. هم چنین برادران برنولی‎،‎ ژاکوب 1705-1645م) و یوهان1748-1667م)،‎ کارهای بسیاری برای بسط روش های حل معادلات دیفرانسیل و دامنه ی کاربرد آن ها انجام دادند. این دو برادر با صورت بندی بسیاری از مسأله های مکانیک به صورت معادلات دیفرانسیل توانستند آن ها را با کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال حل کنند. دانیل}‎برنولی ‎(1782-1700م)‎ پسر یوهان، به معادلات دیفرانسیل جزئی و کاربردهای آن علاقه مند بود و معادله ی برنولی در مکانیک سیالات به او منسوب است. هم چنین او اولین کسی بود که به توابعی که یک قرن بعد به توابع بسل‎معروف شدند برخورد. اویلر ( ‎1738-1707م)‎ بزرگترین ریاضی دان قرن هجدهم میلادی، شرط کامل بودن معادلات دیفرانسیل مرتبه ی اول را معین کرد و نظریه ی عامل انتگرال ساز را بسط داد و جواب عمومی معادلات خطی و ضرائب ثابت را در سال ‎1743‎ میلادی ارائه کرد و نتایج اخیر را در سال ‎1751‎ میلادی به معادلات غیرهمگن بسط داد. لاگرانژ (1813-1736م)‎ ثابت کرد که جواب عمومی معادله دیفرانسیل خطی و همگن مرتبه nترکیبی خطی از nجواب مستقل خطی است. لاپلاس ‎ (1827-1749م)‎ در زمینه ی مکانیک سماوی سرآمد بود و عظیم ترین کار وی، رساله ی مکانیک سماوی، در پنج جلد بین سال های ‎1779‎ تا ‎1825‎ میلادی منتشر شد. معادله ی لاپلاس، معادله ی بنیادی بسیاری از شاخه های ریاضی فیزیک است و لاپلاس آن را در ارتباط با نیروی جاذبه به طور مفصل مطالعه کرد. تبدیل لاپلاس نیز به او منسوب است با آن که مفید بودن آن در حل معادلات دیفرانسیل تا مدت ها بعد مشخص نبود. تا پایان قرن هجدهم میلادی، روش های مقدماتی متعددی برای حل معادلات دیفرانسیل کشف شده بود. در قرن نوزدهم میلادی، ریاضی دانان بیشتر به تحقیق در مورد سوال های نظری وجود و یکتایی و بسط روش های پیشرفته تر مانند استفاده از سری های توانی علاقه مند بودند، اما فراوانی معادله های دیفرانسیلی که با روش های تحلیلی حل نشدند، منجر به بررسی روش های تقریب عددی شد. تا سال ‎1900‎ میلادی، روش های کارآمدی برای انتگرال گیری عددی ابداع شده بودند، اما پیاده سازی آن ها به علت نیاز به محاسبات مفصل با دست و یا ابزارهای محاسباتی ابتدایی به شدت با محدودیت مواجه بود. در شصت سال گذشته، توسعه ی رایانه های قدرتمند و همه کاره، دامنه ی مسائلی را که به طور موثر با روش های عددی بررسی می شوند وسعت داد. اما در روش های عددی دو محدودیت عمده موجود است. اول اینکه در این روش ها دو نوع خطا معرفی می شود: ‎1)‎خطای گرد کردن حاصل از محدودیت های محاسباتی کامپیوتر، ‎2)‎خطای برشی حاصل از روش محاسبه حال اگر دینامیک معادله ی دیفرانسیل پایدار باشد، این نوع خطاها از لحاظ کیفی بر نتیجه تأثیر نخواهد داشت. اما وقتی معادله دارای دینامیکی ناپایدار باشد، خطاهای ذکر شده به طور چشمگیر افزایش می یابد به طوری که مسیر پیش بینی شده دور از جواب واقعی به دست می آید. دوم اینکه حتی وقتی که دینامیک معادله پایدار باشد، روش های عددی وقتی مفید است که ما به دنبال یک مسیر خاص جواب باشیم، اما وقتی که ما علاقه مند به بررسی دینامیک سراسری معادله هستیم، روش های عددی ناکارآمد هستند و اینجاست که اهمیت ویژه ی نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل آشکار می شود. در اواخر قرن نوزدهم میلادی، لیوویل }‎ به بررسی کیفی معادلات دیفرانسیل پرداخت که منجر به نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل عادی شد. اساس این نظریه آن است که به جای یافتن جواب، ویژگی های کیفی و مجانبی آن را به طور مستقیم از روی معادله بررسی و تعیین کنیم و هدف آن توصیف ساختار هندسی جواب های معادلات دیفرانسیل است. به ویژه، نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل عادی برای دستگاه معادلات مسطح بسیار توسعه یافته است. در نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل، برای بررسی کیفی جواب ها باید تعداد و موقعیت نقاط تعادل و سیکل های حدی مشخص باشد. مسأله ی یافتن نقاط تعادل به حل یک دستگاه معادلات جبری کاهش می یابد، ولی مسأله ی یافتن تعداد و موقعیت سیکل های حدی بسیار پیچیده و مشکل است. در این نظریه، تحقیق بر روی یافتن تعداد سیکل های حدی بسیار جذاب اما دشوار است. ‎section{‎ سیکل های حدی و مسأله ی شانزدهم هیلبرت‎:}‎ معادلات دیفرانسیل در بسیاری از زمینه ها مربوط به رشته های مختلف علمی به خصوص در ارتباط بین ریاضیات و بسیاری از شاخه های دیگر علم ظاهر می شود. به عبارت دیگر، در بسیاری از شاخه های علوم مانند زیست شناسی، شیمی، مکانیک، مکانیک سیالات، اخترفیزیک، الکترونیک، اقتصاد، ریاضیات مالی و غیره اغلب با خانواده ای از معادلات دیفرانسیل مسطح سروکار داریم که به طور غیرمستقیم پدیده های طبیعی مورد نظر را به عنوان یک مدل ریاضی ساده شده توصیف می کنند. این معادلات را می توان از جهات گوناگونی مورد مطالعه قرار داد به طوری که مطالعه ی این معادلات از دیدگاه کیفی ( دینامیکی) از بسیاری جهات در اولویت قرار دارد. اما متأسفانه مطالعه ی کامل دستگاه های دینامیکی غیرخطی حاصل از این معادلات بسیار پیچیده است، زیرا یک روش کلی برای مطالعه ی آن ها و به خصوص سیکل های حدی و انشعابات آن ها وجود ندارد و معمولاً این مطالعه به صورت ابتکاری برای هر سیستم خاص انجام می شود. یادآوری می کنیم که سیل حدی یک منحنی بسته ی ایزوله است، به این معنی که مسیرهای شروع شده در همسایگی های آن منحنی های بسته نیستند و به صورت مارپیچ یا به سیکل حدی نزدیک یا از آن دور می شوند. سیکل های حدی پایدار که تمامی مدار‎های شروع شده در همسایگی شان را جذب می کنند، سیستم هایی را مدل می کنند که حتی در غیاب نیروهای تناوبی خارجی نوسان می کنند. به عنوان مثال، ضربان قلب و یا ارتعاشات خودبرانگیز و خودجوش در پل ها و بال های هواپیما از این جمله هستند که تحت ‎اختلال های کوچک به حالت استاندارد اولیه ی خود برمی گردند. سیکل های حدی به طور ذاتی پدیده ای غیرخطی هستند و در سیستم های خطی اتفاق نمی افتند. سیکل های حدی هم چنین در سیستم های لیینارد که یک کلاس بزرگ و مهم از سیستم های دینامیکی غیرخطی در علوم فیزیک و غیره هستند ظاهر می شوند و نقشی کلیدی در رفتار دینامیکی سیستم ها بازی می کنند. بنابراین تعداد سیکل های حدی، نحوه ی توزیع و انشعابات آن ها در بسیاری از کاربردها حائز اهمیت است. مطالعه ی سیکل های حدی یکی از زمینه های اولیه ی پژوهش در نظریه ی سیستم های دینامیکی بوده است. برای اولین بار، پوانکاره در سال های ‎(1886-1881)‎ میلادی در چهار مقاله که درباره ی منحنی های انتگرالی معادلات دیفرانسیل بود، سیکل حدی را کشف کرد و پس از آن ریاضی دانان بسیاری درباره ی سیکل های حدی مسائل مختلفی را بیان کردند. سیستم های لیینارد در مدل های ریاضی بسیار مهم هستند. در این پایان نامه ، سیستم های لیینارد از درجه دلخواه روی صفحه را بررسی می کنیم و یک روش جدید برای پایین ترین کران از بیشترین تعداد سیکل های حدی به دست خواهیم آورد.در نیمه ی اول قرن گذشته مدل هایی که براساس سیستم لیینارد بودند، به علت پیشرفت رادیو و تکنولوژی لوله های خلاء، بسیار مورد توجه قرار داشتند. امروزه این سیستم به طور گسترده برای توصیف فرآیندهای نوسانی در شاخه های مختلف مدل های ریاضی - فیزیک، زیست، شیمی، فیزیولوژی، اقتصاد و خیلی از پدیده های دیگر به کار می رود. هدف از ارائه ی این پایان نامه به دست آوردن تعداد سیکل های حدی سیستم لیینارد است. یک سیستم لیینارد به صورت زیر است: ‎egin{equation}‎ ‎dot{x} = y‎ , ‎,,,‎, ‎dot{y} =‎ ‎-g(x)-‎ ‎f(x) y‎, ‎end{equation}‎ که x))g‎ و ‎f(x) ‎ چندجمله ای هایی برحسب x به ترتیب از درجه ی ‎m‎ و ‎n‎ هستند. فرض کنیم h(n,m) ‎ نشان دهنده ی حداکثر تعداد سیکل های حدی است. لذا پایین ترین کران برای ‎ h(n,m) ‎ را به دست خواهیم آورد و تخمین هایی برای ‎ h(n,m) ‎ با ‎ m ثابت، ‎ h(m,m) و‎ h(m+r,m) ‎و h(m-r,m) بیان خواهیم کرد. در پایان، x))g‎ را یک چندجمله ای مشخص در نظر می گیریم و به کمک توابع ملنیکف و روش های انشعاب هاپف، هموکلینیک و هتروکلینیک، پایین ترین کران برای ‎‎ h(n,m) ‎ برای برخی از مقادیر ثابت ‎ m ‎ و n را به دست خواهیم آورد. برای این کار مساله شانزدهم هیلبرت را بیان می کنیم و ارتباط آن با تعداد سیکل های حدی را توصیف می کنیم. کلمات کلیدی: {سیکل حدی، سیستم چندجمله ای لیینارد، انشعاب سراسری، حلقه ی هموکلینیک، حلقه ی هتروکلینیک، تابع ملنیکف‎.}

در این پایان نامه، سیکل پذیری مجموعه های حدی تناوبی را در خانواده هایی از میدان های برداری از نوع کند -تند بررسی می کنیم. این مجموعه های حدی تناوبی از یک مدار تند و یک منحنی کند از نقاط تکین تشکیل می شوند که این منحنی کند یک نقطه تاشدگی یکتا دارد که در آن یک تغییر پایداری رخ می دهد: در یک سمت نقطه تاشدگی جهت جریان قویا به سمت نقاط تکین جریان کند و در سمت دیگر جهت جریان به دور از منحنی کند است. مدارهای تناوبی در یک اختلال، مدارهای کانارد گذرا در نزدیکی این نقطه تاشدگی هستند . یعنی مدارهایی که با وجود دفع قوی به طور نمایی از منحنی کند، نزدیک آن باقی می مانند. نتایج حاصل برای جریان کند ناصفر زمینه ساز ارائه یک برآورد خوب از سیکل پذیری، از طریق بررسی انتگرال دیورژانس کند در طول منحنی کند است. این پایان نامه تاثیر حضور نقاط تکین در جریان کند را بررسی می کند، به ویژه سیکل پذیری سیکل های دوزینی کند-تندی که از یک اتصال زینی منظم (قسمت تند) و بخشی از خم نقاط تکین (قسمت کند) تشکیل می شوند. خواهیم دید که اطلاعات مورد نیاز برای این بررسی صرفا در انتگرال دیورژانس کند نهفته نیست.