گروهی که هر عنصرش با تصویر درونریخت خود جابجا می شود، یک $ e $-گروه نامیده می شود. اگر $ p $ یک عدد اول باشد، آنگاه یک $ p $-گروه $ g $ که یک $ e $-گروه نیز باشد، یک $ pe $-گروه نامیده می شود. واضح است که هر گروه آبلی یک $ e $-گروه است. هم چنین به معرفی $ pmathcal{e} $-گروه ها می پردازیم و با توجه به این که هر $ pe $-گروه، یک $ pmathcal{e} $-گروه نیز می باشد. نشان می دهیم که هر $ pmathcal{e} $-گروه $ 2 $-مولده آبلی است یا با $ q_{8} $ یکریخت است. هم چنین هر $ pmathcal{e} $-گروه $ 3 $-مولده، پوچ توان از کلاس حداکثر $ 2 $ می باشد. در اینجا هدف اصلی ما این است که نشان دهیم هر $ e $-گروه $ 3 $-مولده، آبلی است. آن نتیجه می دهد که کمترین تعداد مولد های یک $ e $-گروه نا آبلی با تولید متناهی، $ 4 $ است.

(کو)همولوژی نسبی نسبت به رده ی مدول های تصویری گرنشتاین و تزریقی گرنشتاین توسط افراد بسیاری معرفی و مطالعه شد. هدف اصلی این پایان نامه، معرفی و مطالعه (کو)همولوژی نسبی نسبت به رده ی مدول های یکدست گرنشتاین می باشد. هم چنین به کمک این (کو)همولوژی، توصیف هایی برای مدول های با بعد یکدست گرنشتاین متناهی به دست می آوریم.

فرض کنید $ r $ و $ s $ دو حلقه و $ {}_sc_r $ یک دو مدول شبه دوگان باشد. در این پایان نامه ما رابطه ی بین $ g_{c} $-مرابطه با $ c $-مرابطه و هم چنین رابطه ی بین تحلیل $ g_{c} $-تصویری و تحلیل تصویری از یک مدول را بررسی می کنیم. به علاوه نشان می دهیم که اگر egin{center} $ mathbf{g}^{ullet} : cdots ightarrow g_{1} ightarrow g_{0} ightarrow g^{0} ightarrow g^{1} ightarrow cdots$ end{center} یک دنباله ی دقیق از $ s $-مدول ها باشد به طوری که $ g_{i} $ و $ g^{i} $ها $ g_{c} $-تصویری باشند و برای هر مدول $ t $ که با جمعوند مستقیم از نسخه های $ c $ یکریخت است، $ hom_{s} (mathbf{g}^{ullet} , t) $ دقیق باشد، آن گاه $ mathrm{im}(g_{0} ightarrow g^{0}) $ نیز $ g_{c} $-تصویری است. هم چنین معیاری برای محاسبه بعد $ g_c $-تصویری مدول ها به دست می آوریم.

چکیده ندارد.