مترهای فینسلری r-مربعی

در این پایان نامه مـتریک های فینسلر بطور تصویری تخت همراه با s-انحنای تقریبا ایزوتروپیک را بررسی کنیم.بطور دقیقتر براساس شکل خاص انحنای پرچمی این نوع متر ها را دسته بندی می نماییم. چون تمامی مترهای مسطح تصویری از انحنای پرچمی اسکالری هستند لذا می توان گفت که مساله مترهای از انحنای پرچمی اسکالر و از s-انحنای تقریبا ایزوتروپیک را نیز مطالعه کرده ایم.نشان میدهیم متر های فینسلری مسطح تصویری از s-انحنای تقریبا ایزوتروپیک به سه دسته تقسیم می شوند: 1-مترهای راندرزی از s-انحنای ایزوتروپیک 2-متر های موضعا مینکوفسکی 3-ایزومتریک با متر فانک تعمیم یافته در نتیجه این مترها بطور کامل مشخص و دسته بندی می گردند.

در این پایان نامه پس از آوردن تعاریف مختصری از هندسه ریمان و هندسه فینسلر، در مورد متریک های داگلاس همراه با انحنای ایزوتروپیک لندزبرگ نسبی و انحنای ایزوتروپیک میانگین بروالد بحث می کنیم و سپس متریک های فینسلر را که دارای انحنای ایزوتروپیک بروالد هستند، معرفی می کنیم. ثابت می کنیم که بر روی مترهای داگلاس، دو مفهوم ایزوتروپیک بروالد بودن و ایزوتروپیک لندزبرگ نسبی بودن معادلند. لذا قضیه باکچو-ماتسوموتو که در آن، روی مترهای داگلاس مفاهیم بروالدی و لندزبرگی بودن یک متر با هم معادلند، تعمیم پیدا می کند. شایان ذکر است که هدف اصلی این پایان نامه بررسی مقاله زیر می باشد: x.chen and z.shen, on douglas metrics, publ.math.debrecen66/3-4(2005),503-512

اساس پایان نامه بحث بر روی تبدیلات کانفرمال در فضای فینسلر می باشد. برای بیان تبدیل کانفرمال در ابتدا مفاهیم اولیه فضای فینسلر را بیان نموده، تانسورهای موجود را معرفی می نماییم.در ریاضیات، هندسه کانفرمال مطالعه مجموعه هایی است که حافظ زاویه می باشند. در فضای دو بعدی هندسه کانفرمال همان هندسه سطح های ریمانی است. در ابعاد بیشتر از دو، هندسه کانفرمال معطوف به مطالعه تبدیلات کانفرمال فضاهای مسطح می باشد به عنوان نمونه فضای اقلیدسی یا کروی. ‎‎مطالعه ساختارهای مسطح را هندسه موبیوس نامیده می شود که نوعی از هندسه کلاین می باشد.یک منیفلد کانفرمال، منیفلدی دیفرانسیل پذیر مجهز شده با یک کلاس از تانسورهای متریک شبه دریمانی است که در آن دو متر‎‎‎‎ ‎‎$‎g‎$‎‎‎و ‎‎$‎h‎$‎ معادلند اگر و تنها اگر ‎‎$‎h=‎lambda‎ ^2 g‎$‎ که ‎‎$‎‎lambda‎ ‎>‎‎circ‎‎‎‎$‎ یک تابع مثبت هموار است. کلاس معادل با چنین مترهایی معروف به مترهای کانفرمال یا کلاس کانفرمال است. اغلب مترهای کانفرمال با انتخاب یک متر از کلاس کانفرمال و به کارگیری ساختارهای ناوردای کانفرمال در متریک انتخاب شده مورد استفاده قرار می گیرند.یک متر کانفرمال، مسطح کانفرمال خواهد بود اگر متر نمایش آن مسطح باشد. در کلاس مترهای کانفرمال می توان تری یافت که در یک همسایگی باز هر نقطه مسطح باشد. در این حالت آن را موضعاً مسطح کانفرمال می نامیم اگر چه اغلب تمایزی بین این دو مفهوم قایل نمی شویم. کره ‎‎$‎n-‎$‎ بعدی منیفلد موضعاً مسطح کانفرمالی است که در کل مسطح کانفرمال نمی باشد. در حالیکه یک فضای اقلیدسی، یک تیوپ، یا هرمنیفلد کانفرمال که به وسیله یک زیر مجموعه باز فضای اقلیدسی پوشیده شود، مسطح کانفرمال کلی می باشد. یک منیفلد موضعاً مسطح کانفرمال در هندسه موبیوس منیفلدی موضعاً کانفرمال است، یعنی زاویه ای وجود دارد که حافظ دیفئومورفیسم موضعی از منیفلد به هندسه موبیوس می‍باشد.‎‎ در فضای دو بعدی هر متریک کانفرمال به ورت موضعی مسطح کانفرمال می باشد. در فضای ‎‎$‎n>3‎$‎ بعدی متریک موضعاً مسطح کانفرمال است اگر و تنها اگر تانسور ویل آن صفر باشد. در فضای سه بعدی متریک موضعاً مسطح کانفرمال است اگر و تنها اگر تانسور کاتان آن صفر باشد. هندسه کانفرمال دارای خصوصیاتی است که آن را از هندسه شبه ریمانی متمایز می کند. اگر چه در هندسه ریمانی می توان در هر نقطه یک متریک خوش تعریف داشت در هندسه کانفرمال می توان یک کلاس از مترها را تعریف کرد. بنابراین طول یک بردار مماس قابل تعریف نیست اما زاویه ی بین دو راس قابل تعریف است. دومین ویژگی آن است که التصاق لوی چویتا برای آن وجود ندارد زیرا با در نظر گرفتن ‎‎‎g‎‎ و ‎‎lambda‎ ^2 g‎‎ به عنوان دو نماینده از ساختار کانفرمال، ضرایب کریستوفل برابر نخواهند بود. ضرایب ‎‎lambda‎ ^2 g‎‎ به مشتق تابع ‎‎‎lambda‎ ‎ وابسته است در حالیکه ضرایب مربوط به‎‎‎g‎‎ این گونه نمی باشد.

در این پایان نامه به مطالعه دسته هایی از مترهای فینسلری شامل p-کاهشی و لندزیرگی ایزوتروپیک نسبتا عمومی به عنوان حالت خاص می پردازیم و نشان می دهیم روی منیفلد فینسلری فشرده، این دسته از مترهای فینسلری همان مترهای راندرزی هستند. سپس دسته ای از این مترها را که دارای انحنای پرچمی اسکالر بوده بررسی کرده و شرایطی را بیان می کنیم که تحت آنها دسته مذکور به مترهای راندرزی تبدیل شوند.

در این پاین نامه متر فینسلری ریشه mام را بررسی می کنیم و شرایط بروالدی و داگلاسی بودن این متر ها را به دست می آوریم . با این شرایط می توان مترهای ریشه mامبروالدی خاص ی را ساخت. همچنین متر های ریشه mام داگلاسی را بررسی کرده و ثابت می کنیم اگر یک متر فینسلری ریشه mام داگلاسی باشد، حتما بروالدی هست . همچنین نشان می دهیم هر متر فینسلری ریشه mام با انحنای ایزوتروپیک لندسبرگ ، به یک متر لندسبرگ کاهش می یابد. سپس ثابت می کنیم هر متر فینسلری ریشه mام با h انحنای تقریبا ایزوتروپیک، دارای h انحنای تقریبا صفرشده است.

این پایان نامه شامل مقدمه ای مفصل از هندسه ریمانی، مقدمه ای مختصر در مورد هندسه فینسلری و متر های ریشه m-ام است.موضوع اصلی این پایان نامه رده بندی مترهای ریشه m-ام موضعا دوگان مسطح و مترهای ریشه m-ام آنتونلی است. در ضمن ثابت خواهیم کرد که هر متر ریشه m-ام از انحنای میانگین بروالد، در واقع متریکی به طور ضعیف بروالد است. برای مفهوم انحنا در هندسه (ریمانی) مطالب جالبی می توان در آن پیدا کرد.

در این پایان نامه متر های ریشه ‎-‎mام انیشتینی را مورد بررسی قرار داده و نشان می دهیم که اگر f یک متر انیشتینی ریشه ‎ -‎mام باشد ، یعنی ric=(n‎ -‎1 ) kf*f که در آن k یک تابع اسکالر می باشد ،آنگاهk=0 ‎ لذا ric=0.‎ ‎‎‎ همچنین این خاصیت را برای متر های ریشه ‎m-ام انیشتن ضعیف شده مورد بررسی قرار می دهیم. لازم به ذکر است مطالب ذکر شده از مقاله زیر است: y‎. ‎yu and y‎. ‎you, on einstein m-th root metrics‎, ‎differetial geometry and its applications‎, ‎28(2010) 290-294‎

متر های فینسلری به طور موضعی دوگان مسطح از هندسه داده ها به وجود آمده اند. چنین مترهایی خواص هندسی ویژه ای دارند و نقش مهمی در هندسه فینسلر بازی می کنند. در این پایان نامه یک کلاس از مترهای فینسلری به سور موضعی دوگان مسطح که به صورت جمع یک متر ریمانی و یک 1-فرم تعریف شده اند را بررسی می کنیم و آن ها را با انحنای پرچمی تقریبا ایزوتروپیک دسته بندی می کنیم.

در این پایان نامه پس از معرفی یک متر ترفیع روی کلاف مماس یک منیفلد فینسلری و بررسی التصاق لوی-چویتای این متر عملگر لاپلاسین را معرفی کرده و فرمول ویتزنبوک لاپلاسین افقی و لاپلاسین عمودی را برحسب التصاق کارتان بدست می آوریم.در ادامه رابطه بین عملگر لاپلاس-درام متر ترفیع معرفی شده و عملگرهای لاپلاسین افقی و لاچلاسین عمودی و لاپلاسین ترکیبی را بدست می آوریم. در پایان نیز نتایج ناشی از تعریف لاپلاسین و فرمول ویتزنبوک را بیان می کنیم.

همانگونه که اشاره گردید در این پایان نامه به مطالعه گونه ای خاص از مترهای بروالدی خواهیم پرداخت . در این گونه خاص از مترهای بروالدی طی چند قضیه نشان می دهیم که: -این نوع مترهاداگلاس ویل تعمیم یافته اند -انحنای لندسبرگ ضعیف و لندسبرگ معادل هستند و سپس به بررسی انحنای پرچمی این گونه می پردازیم.

این پایان نامه قصد داریمیک کلاس خاص از مترهای داگلاس ویل تعمیم یافته را بررسی کنیم که انفینسلری از این کلاس با انحنای پرچمی ایزوتروپیک غیر صفر ریمانی است اگرو تنها اگر e=0حنای داگلاس انها در طول هر کوتاهترین فاصله ثابت است .و ثابت می کنیم که هر متر

دراین پایان نامه فضای داگلاس-ویل تعمیم یافته را مورد مطالعه قرار داده و نشان داده ایم که کلاس فضای فینسلری r-مربعی زیرمجموعه محض کلاس فضای داگلاس-ویل تعمیم یافته است پس از آن اثبات کرده ایم که مترهای داگلاس-ویل تعمیم یافته باانحنای لندسبرگ صفر دارای h-انحنای صفر است.

دسته بندی کردن مترهای راندرزی از نوع داگلاس-ویل تعمیم یافته

هدف اصلی این پایان نامه بررسی مترهای c-کاهشی، p-کاهشی و ایزوتروپیک لندسبرگ عمومی می باشد. ابتدا مترهای p-کاهشی تعمیم یافته را مورد بررسی قرار می دهیم. این نوع مترها شامل مترهایی از نوع p- کاهشی و ایزوتروپیک لندسبرگ عمومی می باشند. سپس برای این نوع مترها از انحنای پرچمی اسکالر، شرطی را می یابیم که به مترهای c-کاهشی تحلیل می یابند. این پایان نامه براساس مقاله زیر می باشد: a.tayebi, e. peyghan, a. heydari, on generalized p-reducible finsler metrics, boull. iran. math. soc, accepted

این پایان نامه از دو قسمت تشکیل شده است. قسمت اول مربوط به تعمیم الصاقهای مهم فینسلری و در نهایت به دست آوردن یک الصاق فینسلری تعمیم یافته است که کلیه الصاقهای فینسلری مشهور را به عنوان حالت خاص در بر میگیرد. این نوع نگرش موجب میشود تا یک نمایش جالب از تئوری الصاقها در هندسه فینسلری ارائه شده و یک دسته بندی از الصاقهای فینسلری فراهم شود. همچنین برخی از کاربردهای عملی این الصاقها مورد بررسی واقع میشوند. در قسمت دوم از این پایان نامه به مطالعه منیفلدهای فینسلری از انحنای اسکالری می پردازیم. منیفلد فینسلری از انحنای اسکالر را همراه با دو شرط انحنای ایزوتروپیک میانگین لندسبرگ و ایزوتروپیک میانگین بروالد تعمیم یافته در نظر گرفته و با استفاده از قضیه تعمیم داده شده اکبرزاده، نشان میدهیم که انحنای پرچمی در یک معادله صدق می کند و با استفاده از این معادله شرطی را پیدا می کنیم که منیفلد فینسلری را به یک منیفلد ریمانی تبدیل می کند. سپس فضاهای با انحنای ایزوتروپیک لندسبرگ و ایزوتروپیک میانگین لندسبرگ را مورد مطالعه قرار داده و قضایای متعددی از جمله قضیه نیوماتا، هاشیگوچی و سینگ را تعمیم می دهیم. یک کلاس از منیفلدهای فینسلری تصویری تعریف شده و مترهای راندرزی از این نوع را بطور کلی دسته بندی می کنیم. در ادامه یک انحنای جدید غیر ریمانی پیدا می کنیم که به انحنای پرچمی مربوط می شود. نشان میدهیم که این انحنای غیر ریمانی یک فرم خاص به خود می گیرد اگر و فقط اگر انحنای پرچمی، شکل خاصی به خود بگیرد. با استفاده از خاصیت این انحنای جدید، قضیه اکبرزاده تعمیم داده میشود. بالاخره برای فضاهای – r مربعی با بعد بزرگتر از 2، ثابت میکنیم که مفهوم هندسی از انحنای اسکالری بودن و از انحنای ثابت بودن، معادل هستند و نشان می دهیم که هر منیفلد – r مربعی از انحنای ایزوتروپیک بروالد ثابت، یک منیفلد بروالدی است. در انتها ثابت میکنیم که فضای – r مربعی مشمول فضاهای داگلاس-ویل تعمیم یافته است.

انحنای پرچمی یک تعمیم طبیعی از انحنای برشی در هندسه ریمانی می باشد، و s-انحنا یک کمیت غیر ریمانی است که برای مترهای ریمانی صفر می شود. مترهای فینسلری غیرریمانی (نا کامل) روی زیرمجموعه بازی از r^n با انحنای پرچمی منفی و s-انحنای ثابت وجود دارند. در این پایان نامه، می خواهیم نشان دهیم که هر متر فینسلری با انحنای پرچمی منفی و s-انحنای ثابت، ریمانی است اگر که فشرده باشد. هم چنین حالت انحنای پرچمی نامثبت را بررسی خواهیم کرد.

در این پایان نامه ما دو مفهوم فضاهای داگلاس و فضاهای لندزبرگ که حالت کلی از فضاهای بروالد است، را مورد مطالعه قرار می دهیم. سپس شرایطی را که فضای فینسلر مسلح به یک و یا چند (α , β)- متریک باشند، را با داشتن انحنای بروالد ضعیف مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه به بررسی انحناهای یک کلاس از مترهای فینسلری می پردازیم که به جهت سهولت مطالعه انحناهای آن به مترهای محاسبه پذیر مشهورند. کلاس (?, ?)-متریک ها یکی از مهمترین مترها در هندسه فینسلر می باشند که کاربرد مهمی در بیولوژی اکولوژی و نسبیت دارند. این مترها برای اولین بار توسط هندسه دان ژاپنی به نام ماتسوموتو معرفی شده است. تاثیر این مترها به اندازه ای است که کتاب های مختلفی در رابطه با آن نگاشته شده است. بررسی انحناهای این دسته از مترها از جمله کارهای مهمی است که تا یه حال انجام شده است و این مطالعات همچنان ادامه دارد.

در این پایان نامه، کمیت جدید فینسلری ?-انحناوانحنای پرچمی را مشخص می نماییم.در آخر اثبات دیگری از قضیه ی نجفی -شن-طیبی ارائه خواهیم داد.